Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если г, и г,— два луча. то расстояние между ними можно определить как д(г„г)= 1п((!)ф,— фе!1: ~(, Ег„ф,Е г„)!ф,)=)ф,!1 !), Физические свойства двух соответствующих состояний (описываемых при помощи математических ожиданий наблюдаемых) близки, когда расстояние между лучами с((г„г,) мало. Каждое вращение в пространстве (каждое изменение ориентации установки) индуцирует преобразование в 5, как описано выше.
Оно не является линейным преобразованием, поскольку 5 не представляет собой линейное пространство, но ояо непрерывно по агношению к метрике в 5. Отображение элементов группы 50(3) на шо Гл. 22. Предггаавлеяия гррая и квактевая мехакика соответствующие преобразования в пространстве 5 есть изоморфизм: оно взаимно однозначно, и произведение двух любых элементов из 50(З) отображается на композицию (произведение) соответствующих преобразований в 5 и т, д. Каждое такое преобразование в 5 соответствует классу эквивалентности унитарных преобразований в пространстве Н. В общем случае гомоморфизм группы 0 па группу классов эквивалентности унитарных преобразований в векторном пространстве (г называется лучевым представлением группы 6 на )г. Как и выше, два унитарных преобразования У, и Уе в )г являются вквиваленлтными, если О, =б0„где р — некоторая константа.
С физической точки зрения лучевые представления группы 50(З) на Н являются вполне подходящими выражениями сферической симметрии. Но для вычислительных целей хотелось бы описывать преобразования в пространстве 5 при помощи более осязаемых объектов, подобных матрицам. Следовательно, возникает задача отбора некоторым подходящим образом одного унитарного преобразования 0(йе) из каждого класса эквивалентности. Если бы фазы преобразований У(д) можно было выбрать так, чтобы множитель у(й, е) в (22.2.1) был равен единице для всех й и д, то отображение д — 0(я) было бы обычным представлением группы 50(З) на Н. Но, вообще говоря, этого сделать нельзя; сейчас мы выясним, что же можно сделать, но прежде всего ограничим задачу конечномерным случаем. 22.4. КОНЕЧНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ Предположим, что физическая система обладает сферической симметрией и что существует дискретное энергетическое состояние конечной кратности и с энергией Е.
В этом случае соответствующее собственное подпространство оператора энергии является инвариаитным подпространством Н- пространства Н. Тогда лучи в Не преобразуются при вращениях в другие лучи из Н; следовательно, Н» инвариантно относительно каждого из операторов (/ (д) и сужение оператора 0(у) на Н„может быть представ лено для каждого д унитарной матрицей размера и хи, которую мы также будем обозначать просто через У(д). Начиная с этого места наше обсуждение будет ограничиваться конечномерным случаем. 2?лв ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Теперь примем вполне оправданное с физической точки зрения допущение, состоящее в том, что фазы унитарных преобразований можно выбрать во всяком случае так, что матричные элементы 0ы(д) будут непрерывными функциями от д.
Далее пусть 0„, лл.д. Происхождение двквнаннме представлений 101 0„0,— внутренние координаты в 50(3), определенные в 0 19.5, ав,$' и яг,— множества элементов группы, для которых 10(< л и (!!(<и/2 соответственно. Хотя многообразие группы в целом двусвязно, области 4Г и,М'„г>редставляк>т собой односвязные окрестности единичного элемента. Если д и Ь принадлежат й"„ то йЬ принадлежит вйр.
Пусть теперь д, Ь и дЬ вЂ” матрицы вращения; тогда матричные элементы дЬ являются непрерывными функциями матричных элементов й и Ь; следовательно, когда д и Ь непРеРывно менЯютсЯ в в)!Г„, то оЬ непРеРывно менЯетсЯ в Дв. Теперь будет показано, что фазы описанных выше унитарных матриц (/(д) можно выбрать в окрестности вМ' так, что функция у(й, Ь) в (22.2.1) равна 1 для всех д и Ь, принадлежащих дт'",. Когда это выполнено, отображение л — (/(й) называется локальным лредставлением группы 50(3) (см. гл.
25). Поскольку (/ (д) непрерывна в 4р, то в силу односвязности 4Г многозиачная функция (г(е1 (/ (п))ын расщепляется на п независимых непрерывных ветвей в М'. Очевидно, (/ (е) кратна единичной матрице /, и можно записать (/(е) ()и/, где (~( 1. Тогда (бе!(/(е))ы" есть корень п.й степени из единицы, умноженный на р, и функцию а(й) можно определить как ту ветвь (е(е((/(й))"л, которая равна 6 для й=е. Теперь мы утверждаем, что если в Д' определить новые унитарные матрицы У(д) как У (д) 11/а (д)) (/ (й), (22.5.1) У(>т)У(Ь)=У(йЬ) для всех д,Ь в Д',. (22.5.2) Чтобы это доказать, заметим, что в любом случае У(д)У(Ь) =6(й, Ь) У(йЬ), где 6(й, Ь) — непрерывная функция [ср. с (22.2.1)). Из (22.5.1) видно, что сне!У (й) = ! для всех й, откуда 6 (й, Ь)в = 1, и, значит, 6(й, Ь) является корнем л-й степени из единицы для всех й и Ь; но 6(е, е)=1, откуда по непрерывности 6(д, Ь) ==1, что показывает справедливость (22.5.2).
ТКЬ. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Остается следующий вопрос: в каком случае локальное представле. ние д-~-У(д) может быть расширено до представления всей группы Ю(3)? Если Н вЂ” группа матриц, порожденная матрицами У(д), когда й ЕД', то отображение д-нУ(й) есть локальный гомоморфизм группы НО(3) в группу Н. Согласно теореме 3 0 25.13, локальный гомоморфизм группы Ли О в группу Ли Н можно расширить до гомоморфизма всей группы 6 в Н, если 6 односвязна, но в других случаях такого расширения может не быть. Группа 6=50(3), конечно, не является односвязной; однако из отображения д У(с) )02 Гм 22.
Лредетааленал арала а кеантаеае механика можно построить тоже локальный гомоморфнзм группы 5(/(2) в Н, и уже этот гомоморфизм л(озкет быть расширен, поскольку Я/ (2) односвязна. Обозначим через и- и(и), где и Е5У(2), а д(и) Е50(З), гомоморфизм группы 5У(2) на группу 50(3), который был описан в де( ч 19.7. Тогда отображение и — Ю(и)=)/(д(и)) есть локальный гомоморфнзм группы 5У(2) в группу Н, определенный для таких значений и, для которых л(и) Е а())". Его расширение (которое также будет обозначаться как и-~В'(и)1 является представлением группы Я/(2). Далее и- й(и) есть (2- 1)-гомоморфизм; в самом деле, д( — и) =д(и); следовательно, два уравнения д=д(и), В'= Ч() (и) дают или (!) представление и В' группы 50(3) [в этом случае 'я) (и)=(г'( — и)1, или (2) соответствие двух унитарных матриц размера пхи, скажем $) (д) и )',(д) (причем ))2(д)= — ~)(й)), каждой матрице вращения д таким образом, что каждое нз четырех произведений У((и)1' (й) ((1=!1, 12, 21, 22) равно 1)) (дй) 'или Р,(йй).
Это соответствие называется двузначным предспи)влением группы 50(3). Очевидно, каждое представление 5(/(2) определяет двузначное представление и, значит, лучевое представление группы 50(3). Резюме. Так как квантовомеханические состояния соответствуют лучам в гильбертовом пространстве, а не векторам, вращению д физической системы соответствует не единственное преобразование векторов данного инвариантного подпространства с матрицей У=У (д), а множество унитарных преобразований (иУ; все а Е С, такие, что 1а!=1).
Было показано, однако, что эти множества столь взаимосвязаны, что подходящим выбором матриц из них можно получить представление группы 5У(2). Это может осуществиться одним из двух путей. 1. Оказывается возможным выбрать одну матрицу У=У(п) из каждого множества так, чтобы дать представление 50(3), а значит, и представление 5У(2) при помощи гомоморфнзмов 5У (2) — 50 (3) — (У (ц)); (2Х2) (ЗХЗ) (аха) 2.
Оказывается необходимым выбрать две матрицы У и — У из каждого множества и поставить их в соответствие двум элементам и и — и группы 5У(2), но лишь одному элементу д группы 50(З) таким образом, что этн матрицы образуют обычное представление группы 5У(2) и двузначное, или спиновое, представление группы 50(3).
В гл. 23 будет показано, что других групп, связан. ных с 50(3) подобно группе Я/(2), не существует; следовательно, не существует многозначных представлений, кроме двузначных. 22.7. Предглеввлелия грулл БУ(2) и Бй(2, С) Аналогично для физической системы, которая инвариантна не только относительно группы вращений 50(3), но также и относительно всей собственной группы Лоренца .2'р, преобразование волновых функций, соответствующее данному элементу д группы „Кр, ие является единственным.
В этом случае существует множество преобразований (а(7: (а)=1), соответствующих каждому д, и эти множества столь взаимосвязаны, что можно выбрать из них преобразования так, чтобы дать представление группы 57. (2, О) (которая связана с 9 таким же образом, как 5(7(2) связана с 50(3)1; это может быть как представлением самой группы .9р, включающим скаляры, векторы или тензоры общего вида, так н двузначным представлением (спиновым представлением) группы .2'р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
