Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Аналогичным образом указанные выше неприводимые представления группы 51.(2, С) [из которых путем сужения получаются неприводимые представления 50(2)1 приводят к конечномерныч обычным и спиновым представлениям группы Лоренца .2р. Однако в этом случае имеются еще и другие неприводимые конечномерные представления группы 50(2, 6), которые будут описаны в Э 22.11; они также определяют обычные и спиновые представления группы .2р, причем ни одно из них не является унитарным. 22ак ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ 317(2) Классы сопряженности группы 5У(2) легко определить.
Прежде всего, матрицы и, и и, в 5У (2) имеют одинаковые собственные значения тогда и только тогда, когда существует такая унитарная матрица и [элемент 5У(2)1, что и*и,и=ие. Поскольку и можно умножить на любое комплексное число с модулем, равным 1, то мы можем без потери общности считать, что г[е1 и=1, и, значит, и принадлежит 5У(2), Отсюда следует, что и, и и, входят в один класс сопряженности группы 5У(2) тогда н только тогда, когда они имеют одинаковые собственные значения.
Поэтому каждый класс сопряженности можно представить матрицей вида ,''е-га!е () 0 Ееа7ее) Гл. лл. Представления групп и нвантавая лпланика для некоторого аЕ [О, 2п). Лля такого и оператор О'(и) просто умножает базисный вектор (22,8,1) на е'т"; следовательно, 0'(и)— диагональная матрица, следом которой является у' (сс) = з1п 1(1 + ! !2) сс)!з1п (сс(2), (22.9.1) точно так же, как и в случае целого 1, согласно упражнению 3 в конце э 21.13, В том параграфе было показано, что функции (22.9.1) при 1 = О, в!м 1, в/„ ... образуют полную систему для разложения функций, зависящих только от классов сопряженности, иа многообразии группы Ял'(2); следовательно, представления 0г исчерпывают неприводимые представления группы Я/(2). ахлв.
явкннции от в и я Введенные в этом параграфе обозначения удобны при рассмотрении представлений группы Я. (2, 0) и используются во многих разделах математики. Пусть и(х, у) и о(х, у) — две вещественные функции класса С" от двух вещественных переменных х и у. Мы запишем г=х+(у. 1(г)г м(х, у)+(о(х, у), так что ~(з) есть комплекснозначная функция комялексной переменной г, вообще говоря не- аналитическая. В случае когда )(х) — аналитическая функция, ее производная может быть записана в различных видах при использовании уравнений Коши — Римана, а именно 1' (з) = д(и+ )о)/дх = — (д (и+ (о)/ду дв(и+ и), где оператор д, определяется следующим образом: д, = '!, (дгдх — (д/ду).
(22.10.1) Оператор д; определяется аналогичное ог '1г (д)дх+ (д)ду); (22.10.2) следует отметить, что д;)(г) = 0 для аналитической функции 1".(г) в силу уравнений Коши †Рима. С другой стороны, если((х)— многочлен (или сходящийся степенной ряд) от г, то д,((з) =О. Кроме того, операторы (22.10,1) и (22.10.2) являются линейными дифференциальными операторами; следовательно, справедливо обычное правило дифференцирования произведения.
Поэтому если ) — многочлен (или сходящийся степенной ряд) как от х, так и от г [в этом случае обычно пишут г(г, г), чтобы указать, что эта функция может быть неаналитичной либо по з, либо по х], то х можно полагать постоянной при вычислении д, и г полагать постоянной при вычислении д;. Иначе говоря, х и г при дифференцировании можно рассматривать как независимые переменные. 22./1. Коначномерыае прадетаееанннгрвппый/.(2, С) 109 22.11. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ И. (2, С! Метод однородных многочленов, использованный в В 22.8 для группы Яl(2), можно применить и к группе 3/. (2, 6), но в таком случае возникает новый аспект.
При заданном представлении р группы 6 имеется много способов, при помощи которых можно получить другие представления р'. Например, р'(и)=р(и) Х1иЕ6 (22. 11.! ) [это означает, что каждый матричный элемент р„„(и) заменяется комплексно сопряженным), ибо тогда р'(и, ие)=-р'(и,)р'(ие) и т. д.
Другим возможным представлением является р'(и)=(р(и) ) ', (22.11,2) в случае унитарности представления р (22.11.2) совпадает с (22.11.1). Если 6 представляет собой группу матриц, то появляются две новые возможности; р'(и) = р (и), р (и) р ((иг)-1) (22.11.3) (22.1 1.4) Если 6 — унитарная группа, например (/(и) или Я/(и), то (22.11.3) и (22.11.4) совпадают, в противном случае эти два представления, вообще говоря, различны. Сейчас мы покажем, что если 6 есть 5(/(2), то представление р', заданное в (22.11.3), эквивалентно р; следовательно, в этом случае приведенные способы не дают новых представлений; именно поэтому эти способы не использовалнсь в з 22.8. В самом деле, пусть / 01! ' — 1 О)' так что для общей матрицы размера 2х2 а (1'! и' — с (22.
11. 5) В частности, для любого элемента и пз Я/(2) и=у 'иу, что а е можно установить, записывая и в виде ( — ~. Тогда, посколь- ~ Ьа). ку у также принадлежит Я/(2), р'(и)=р(у 'иу) =р(у) 'р(и) р(у) для всех и; отсюда вытекает, что р и р' — эквивалентные представления. Когда же представления (22,11.3) и (22.11.4) расширяются Гл. лл. Предапавления групп и квампигвая меканика !!О от Я? (2) до Я/(2, В) при помощи определений р' (т', =р(т) и (22. 11. 6) р'( )=р((т') ') для пг из Я? (2, В), то они перестают быть не только идентичными, но даже эквивалентными.
Второе из представлений р' эквивалентно р, потому что (глг) '=у 'глу в силу (22.11.5) с учетом того, что г(е1т= !. В то же время представление р', заданное в (22.11.6), не является эквивалентным р, так как если бы равенства (22.11,7) р(т) =У ' р (т)У (22,11.8) имели место для всех гл, то в случае гп Е Я/ (2) для этого матрица У должна была бы совпадать с р(у), но тогда (22.11.8) теряло бы смысл для т(ЯI (2), поскольку, вообще говоря, для такого т у 'ту не равно гл. Таким образом, ясно, что группа Я.(2, В) имеет в некотором смысле больше представлений, чем группа Я? (2). Для того чтобы их найти, допустим, что Х" — множество всех комплекснозначных функций двух комплексных переменных х, и х„причем эти функции принадлежат классу С в вещественном смысле, но не являются целыми аналитическими в отличие от рассматривавшихся в ~ 22.!О; мы обозначим этн функции подобно тому, как это делалось в 8 22.10, чеРез 7(хг, х„хео х,).
Вместо (22.7.2) мы имеем (р(и) )) (х„х„х„х,) = 7(бх,— ()х„— ух, +ах„бхе — (!х„— ух, +ахи), (22,11 9) где и есть матрица (22,1 1.10) (" сЬ гв12 зЬ га/2'~ ~зйв/2 сйга)2г) с ей со/2 — ! зй га)21 Е зй из/2 с)г га/2 ~ (22.11.11) с емге О 0 е "ге т. е. произвольная матрица нз И (2, В). Теперь дополнительно к трем матрицам (22.?.3), принадлежащим Яl(2), соответствующим вращениям в пространстве и определяющим инфинитезимальные операторы Ьь е.„е.е посредством (22.7.6), мы имеем три новые. матрицы 22./2.
//елраоодилеые лодлооеелралотоа Х дяя оа(2, С) 111 соответствующие преобразованиям Лоренца и определяющие новые инфинитезимальиые операторы /(„К„К,. Следовательно, инфииитезимальные операторы группы 5/. (2, С) получаются сле- дуюшим образом: матрицы (22.73) и (22.11.11) подставляются в (22.11.3), каждый оператор р (и) дифференцируется по ео и, наконец, ео полагается равным нулю. Если вспомнить, что при дифференцировании х,, х„х„х, рассматриваются как независи- мые переменные (см.
следующий параграф), то мы найдем, что 1, = — (1/2)(х,д„+х,д„)+(1/2)(х,д;. +х1де ), /., = (1/2) (х,д„— х,д„)+ (! /2) (х,д;- — х,дд ), 1 о = — (1/2) (х,д„— х,д„)+ (1/2) (х,д-„— х,д-„), (22.11.12) К, = †(1/2) (х,д„ + х,д„ ) †(1/2)(х,дч + х,д-, ), К„= (1/2) (х,д„— х,д„) — (1/2) (х,д-,. — х,д-е ), К, = — ( ! /2) (х,д„— х,д„) — (1/2) (х,дч — х,д-, ). Полная система соотношений коммутации имеет вид !/-и /.,)=/, [Ко К/)=/.„, (К,, /./)= — К„, !Ко /.,)=О (22. 11. 13) (1/ /г = 1 2 3, 2 3 1, 3 1 2), Введем, кроме того, операторы =(и+1/.„К" =К, /КР (22. 11.
14) 2232а НЕПРИВОДИМЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПРОСТРАНСТВА Х ДЛЯ ГРУППЫ УЕ(2, С) В качестве базисных векторов для пространства Х" или по крайней мере для множества всех многочленов в Х" введем одиочлены ф = ~1ъ е ° = (1/С) х, 'х',+™ х," 'х",+"', (22,12.1) где С'=(1 — лт)1(/+ еп)1(à — еп')1(Г 1 оГ)1, 1 и à †люб два числа из О, '/„ 1, '/„ ..., а т=1, 1 — 1, ..., — 1, т'=Г, à — 1, ..., — Г. Для данных 1 и 1' пространство Х(1, Г), представляющее собой линейную оболочку векторов фе о, является пространством всех однородных многочлеиов степени 21 от переменных х, и х, и степени 2Г от переменных х, и х,.
Это пространство имеет (комплексную) размерность (2/-1- 1) (21'+ 1). Из (22.11.9) ясно, Ы2 Гж 22. Представления вруна и яванеывая иеяанина что каждое подпространство Х(1, П) отображается само на себя при любом р(и) и, значит, является инвариантным подпространством. Из (22. !!.!2) мы видим, что 1.еф г (и — нг') ф Квф = (гп+ лг') ф; Следовательно, 1.' + гК опускает лг, !. — гК+ опускает лг', +!К+ поднимает лг, 1+ — гК поднимает т' в том смысле, что функция (1.++гК )фг и пропорциональна функции фг „, г „, и т. д, Это значит, что для данных ! и 1' все фг и сцеплены при помощи инфинитезимальных операторов.
Таким образом, мы заключаем, что если некоторое инвариантное подпространство содержит любую функцию (миогочлен) в Х (ц 1'), то оно содержит и все подпространство Х(1, !'). Иначе говоря, представление р, суженное до Х(1,!'), неприводимо; такие представления обозначаются через р" " и являются единственно возможными конечнолгерьыми неприводимыми представлениями группы И.(2, С). 22Л3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
