Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 26
Текст из файла (страница 26)
28. Элементарная теория многообразий Замечание. Исходным моментом изложения является пространство М„которое является просто набором (несчетным) никак не определенных элементов, называемых тачками. В некоторых приложениях пространство М„задано заранее, например, оно может быть группой. С другой стороны, в геометрии Римана или в общей теории относителыюсти исходным материалом служит множество функций д„,(х', ..., х"), определенных на координатах х', ..., х", лежащих в некоторой области Аг координатного пространства к', тогда предполагается, что каждая точка в М определяет точку Р многообразия Римана или описываемого физического пространства.
Затем эта область многообразия (или физического пространства) может расширяться при помощи преобразования координат, подобных (23.2.1), (23.2.2), до тех пор, пока на основании какого-либо критерия мы не убедимся в том, что получилось полное многообразие (см., например, критерий Крускала геодезической полноты, описанный в гл. 28). В этом методе построения многообразий заранее ничего не говорится об абстрактном пространстве М„или о его подмножествах сл', 0' и т. д., пока описание не стало полным. Каждая карта определяется описанием У, и явно ничего не говорится об 0 и ер, поэтому мы предпочитаем сохранять Аг в обозначении (К ф, М) карты.
Многообразие должно удовлетворять следующей аксиоме, которая выражает очевидное свойство евклидовых пространств. Аксиома отделимости Хаусдорфа. Если Р и Ц вЂ” любые различноге точки, то Существуют такие окрестности П и и точек Р и че соответственно, что 0П )Г=. Я. Когда две системы координат при построении многообразия составляются вместе, возможно нарушение этой аксиомы, что и подтверждает следующий одномерный пример.
Пространство М, состоит из трех экземпляров прямой К, его точки обозначаются как (х, а), где х — вещественное число, а а — одна из букв а, Ь или с. На М, определяются следующие две карты: Еl, = ((х, а): х )~ О)() ((х, Ь): х ( О), ф, =((х, а)) =х, У, = ес; сг,=((х, с): х-.О) В((х, Ь): к <О), й, ((х, а)) =- х, АГе = Й.
Каждая карта сама по себе гюрождает гомеоморфизм и, однако точки Р=(0, а) и 9=(0, с) не отделены, потому что любые два открытых интервала, содержащие Р и 9 соответственно, включают общие точки вида (х, Ь), х(0. Ясно, что такое явление можно легко исключить при практическом построении многообразий. 28.5. Кривые и функции нп мноэообрээнн !23 Определение.
и-мерное многообразие М есть пространство М, вместе с (конечным или счетным) множеством согласованных п-мерных карт, которые вместе покрывают все Ме так, что получающаяся топология удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. Ясно, что согласованные системы координат могут быть добавлены или отброшены, когда это желательно, если только покрытие всего М, сохраняется. Внутренние свойства М вЂ” это те свойства, которые не изменяются от таких добавлений и исключений. Многообразие М называется С"-многообразиелп если преобразования (23.2.)), (23.2.2) любых двух систем координат принадлежат классу С", т.
с. если функции хг(...) и у'(...) имеют непрерывные частные производные (чистые и смешанные) всех порядков вплоть до порядка й, В таком случае добавление новых систем координат ограничивается этим же требованием. Аналогично М называется С"-многообразием, если эти преобразования принадлежат классу С, или вещественным аналитическим миогообраеием, если они задаются аналитическими функциями. Многообразия непрерывных групп (групп Ли) — вещественные аналитические многообразия, С другой стороны, в общей теории относительности целесообразно допускать Са-многообразия с конечным й, потому что полевые уравнения Эйнштейна являкпся гиперболическими и, в принципе, гравитационные волны могут переносить разрывы различных производных компонент дн, метрического тензора.
Упражнения В Е 19.6 были определены внутренние координаты О„, Оя, О, в группе вращений 50(3). Лля того чтобы они удовлетворяли дайному выше определению, их нужно ограничить огякрмшым шаром О„+Оз+Оз < и. Введите дополнительные системы координат так, чтобы все вместе они покрывали многообразие 80 (3). (Общий метод построения таких систем для групп описан в гл. 27.) хзль КРИВЫЕ И ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ Предположим, что 7(Р) — вещественно- или комплекснозначная функция, определенная на всех точках Р многообразия М. Для любой карты (О, <р, )У) можно определить функцию 7(х) = = 7(х', ..., х") путем задания равенств 77(х)=7(Р), х=гр(Р) для всех точек х открытого множества Аг, в которое отображением Р— х = чз(Р) переводится К поскольку эти соотношения взаимно однозначны, 7" (...) определена корректно. Если получающаяся так функция 7(...) непрерывна при любом выборе карты (с7, ф, Аг) на М, то ((Р) называется непрерывной функцией иа М; если М есть Са-многообразие, а ( — функции класса С' (г~)г), Гя.
23. Эяемено»арноя а»еория многооброэии то Г(Р) называется функцией класса С' на М. Ясно, что на М не может быть функций класса С' с г >)» (кроме константы), потому что допустимые преобразования координат могут исключить существование производных порядка г ) й.
Непрерывность, или С'-гладкость, функций может быть определена так же п на части М. Если Р (Т), где г — вещественная переменная, — однопараметрическое множество точек на М и если для любой карты (е»', »р, д») функции х»((), определенные равенством х (Т) = р (Р (Т)), оказываются непрерывными для всех Т, на которых они определены, то Р(Т) называется кривой или путем на М. Если функции х»()) принадлежат классу С', то и про кривую Р(») говорят, что она С'-гладкая. Если» изменяется на интервале (»„г,], то функция Р(») описывает путь й, идущий из начальной пшчки Р(Г») до конечной точки Р(»е). Предполагается, что все кривые либо кусочно дифференцируемы, либо имеют не более чем изломы (т.
е, так выглядят их образы в любой карте), если особо не указано нечто иное. Для обеспечения этого предполагается также, что все рассматриваемые многообразия являются хотя бы С'-гладкими. Непрерывность и С'-дифференцируемость функций двух или более переменных Р(», з, ...) определяется аналогично. 23.6. СВЯЗНОСТЬ. КОМПОНЕНТЫ МНОГООВЯАЗИЯ Многообразие М называется линейно связныл», если для любых двух точек Р, и Р, из М найдется путь, соединяю..цнй Р, и Р,. Если М не только линейно связно, но и, кроме того, любую из двух произвольных кривых й» и и'„соединяющих любые две точки Р, и Р„можно непрерывно деформировать на М в другую (т. е. если найдется такая непрерывная функция Р(», з), что для каждого з, скажем из интервала (О, 1], Р(», з) описывает при изменении» путь из Р, в Р, и этот путь совпадает при э=0 с в„а при э =1 с и»), то М называется одноовязным Точка Р многообразия М называется предельной точкой множества 5»:М, если л»обая ее сколь угодно малая окрестность (открытое множество, содержащее Р) включает точки из множества 5.
Если 5 содержит все свои предельные точки, то оно называется зал»кнута»л». Дополнение замкнутого множества является, очевидно, открытым, и обратно. Топологи обычно дают другое определение связности, а именно говорят, что топологическое пространство связно, если его нельзя представить в виде 5,() 5„где 5, и 5,— непустые непересекаю. щиеся (5, ()5,= »о) открытые множества (или, что эквивалентно, 125 28.7. Гомотопнне пунш. Фундаменеаеьнан группа непустые непересекающиеся замкнутые множества). Любое линейно связное пространство связно (докажите это). Для многообразий верно и обратное, так что для них эти два понятия совпадают.
Компоненгпой многообразия М называют максимальное связное подмножество М, т. е. для данной точки Р„ из М множество 3 = (Р: Р можно соединить с Р„ некоторым путем) является компонентой М. В Э 19.6 было показано, что многообразие группы О (3) имеет две компоненты. Как подмножество М компонента 3 является одновременно и открытым, и замкнутым множеством. С одной стороны, 8 открыто, потому что (1) любая точка Р из 5 есть внутренняя точка М (все точки М внутренние) и (2) окрестность Р, являющаяся образом некоторого шара в кн (в некоторой карте, содержащей Р), состоит, очевидно, из тех точек М, которые можно соединить с Р, поэтому вся эта окрестность содержится в 5.
С другой стороны, 3 замкнуто, потому что если Р— предельная точка последовательности точек из 3, то Р можно соединить (путем) с любой точкой, лежащей в аналогичной окрестности Р, и поэтому ее можно соединить с точками последовательности. Обратно, если множество 5 связно и одновременно и открыто, и замкнуто, то оно является максимальным связным множеством, т. е. компонентой М; этот факт будет использован в теории групп Ли. Предостережение. Понятие открытого в М множества ие имеет никакого отношения к возможному вложению М в пространство большей размерности. Например, если единичная сфера хг+уе+з'=-1 рассматривается как двумерное многообразие М, то полярная шапка, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
