Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 24
Текст из файла (страница 24)
СПИНОРЫ Спиноры представляют собой совокупности величин, которые связаны с группами Яl(2) и 51 (2,6) подобно тому, как тензоры (включая векторы и скаляры) доквантовой физики связаны с фи. зичес кими группами 50 (3) и .У . Законы преобразований спиноров дают некоторые (вообще говоря, приводимые) представления групп о(l(2) и Я.(2,С) и, следовательно, некоторые однозначные или двузначные представления указанных физических групп '1'е из спиноров, законы преобразований которых дают обычные или однозначные представления физических групп, являются на самом деле тензорами в несколько измененном виде (см. ниже упражнение !); в этом смысле тензоры являются частным случаем спиноров. иначе говоря, и — собственное значение оператора — г1,11,, + '1,К„ а лг' — собственное значение оператора г1е1!.,+'1,К,.
Отсюда при помощи соображений, использовавшихся во всех предыдущих случаях, следует, что если некоторое инвариантное подпространство в подпространстве Х(1, 1') содержит какую-либо функцию (многочлен), то оно содержит и любой одночлен фгтгт, входящий в этот многочлен с ненулевым коэффициентом. Далее мы находим, что !.'+ гК = — 2гх,деп !. + 1К' = — 2!х,деа !. — гК+=2гхдэп 1.' — гК =2гх,дзг гг.1З. Спинори !!з Для того чтобы описать некий тензор, совокупность величин (скажем, Тгь Т„,..., Т„) связывают с каждой системой координат, и тогда соотношения между этими совокупностями для различных систем координат образуют законы преобразований.
Коль скоро первоначальная система координат задана, это эквивалентно соот- ветствию такой совокупности величин каждому элементу группы вращений или группы Лоренца; тогда совокупности, соответствую- щие другим системам координат, определяются законами преобра- зований. В случае спиноров совокупность величин для первоначаль- ной системы координат сопоставляется с каждым элементом группы 5(.2 (2) или 5(. (2, С), и это приводит к соответстви1о каждой физи- ческой системе координат двух совокупностей, отличающихся, одна- ко, лишь фазой (фактически только знаком). Но, поскольку фазы (в частности, знаки) несущественны с физической точки зрения, мы свободно можем говорить о соответствии совокупности (системы) величин каждой системе координат. В таком случае спинар ранга ! есть соответствие каждой системе координат пары чисел $1 и $2, причем такое, что при преобразова- нии Лоренца, которое определяется элементом группы 52.(2, С) 1 ' 11 12 (,тм ~„/' числа $1 и $, преобразуются согласно закону $1 — $'-т11з +т з2, $2 — в! = тм$1 + т„$2.
Спиноры более высокого ранга определяются совершенно анапа. гично тензорам: спинор ранга г есть такое соответствие каждой системе координат системы 2' комплексных чисел с„,, „(каждый "'- "2 индекс принимает значения 1 и 2), при котором эти числа преоб- разуются согласно закону 2 $22, а ~х1 та з, 1пч 2 22м, ~1 .
(22. 13.2) г 22 ""вг Г1ока мы ограничиваемся лишь вращениями осей х, у, г, а не преобразованиями Лоренца, т. е. лишь группол 5(2'(2), это все, что можно сказать. Однако из предыдущих параграфов ясно, что при рассмотрении представлений группы 5(. (2, С) матрица т играет самостоятельную роль по сравнению с матрицей т. Пунк- тирный спинор ранга 1 есть соответствие каждой системе коор- динат пары комплексных чисел К ~.„при котором эти числа преобразуются согласно закону $; =1п11$; + т,Д,, (22.13.3) $,.=1п,1з; + т,Д 114 Гл. 22. Представления груня и нванснввая механика УПРАЖНЕНИЯ 1.
Пусть $ . — смешанный спинор ао определены как си= ай,(+ъд ав= $,1 + й,(, ранга 2 и величины о) ()=1, ..., 4) из= 2 ° — ь °, с. П зз' о = с(с,. — Е ° ). Покажите, что при вращениях и преобразованиях Лоренца величины оо ..., о, преобразуютсн подобно компонентам вектора. Аналогично покажите, что смешанный спинор ранга 2г, имеющий г индексов с точками и г индексов без точек, определяет тензор ранга е. 2. Спивор называется симмегнричнмл, если он симметричен по индексам с точками (т. е. не меняется при любой перестановке таких индексов), а также симметричен по индексам без точек.
Покажите, что закон преобразования такого спинора дает представление группы а(.(2, С), которое зквивзлентко представлению рп н1, определенному в предыдущем параграфе, причем 21 и 21' являются числом индексов с точками и числом индексов без точек соответственно. Наконец, смешанный спинор, имеющий г индексов без точек и з индексов с точками, есть соответствие каждой системе координат совокупности 2г+е комплексных чисел, при котором эти числа преобразуются согласно закону ьа, саго,...п т„,т, ...
т„т тз,з ... тп з йт, т А,,з (22.13.4) Глава 23 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ У!окально я-мерное пространство; сфера; тор; круг; лист Мебиуса; бутылка Клейна; отождествление краев; координатные карты; согласованность карт; индуцированная топология; аксиома отделимости Хаусдорфа; многообразие; кривые; функции на многообразии; связность; односвязносттк компонента; гемотопные кривые; гомотопические классы кривых; фундаментальная группа; двусвязность группы 50 (3); конфигурационное пространство механической системы; декартово произведение многообразий.
Лредварцтельные сведения: гл. !8 и !9. Теория многообразий лежит в основе теории групп Ли и геометрий Римана и Эйнштейна. В общую теорию относительности понятие многообразия было введено примерно в 1960 г. (в основном р(артином Крускалом), и это позволило по-новому оценить содержание этой теории и прояснить как локальные, так и глобальные топологические свойства пространственно-временных моделей. Статистическая механика имеет дело с потоками на многообразиях. Время от вре.
мени возникают другие приложения теории многообразий, что связано с геометрической природой физических задач. Здесь будут рассмотрены только конечномерные многообразия; теорию более общих многообразий см. в книге Лента!19621. 2ЗЛ. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ. МЕТОД ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ Грубо говоря, а-мерное многообразие является пространством, которое локально топологически неотличимо от а-мерного евклидова пространства Е"; иначе говоря, каждая точка многообразия лежит в какой-то области (связном открытом множестве), которая гомеоморфна некоторой области в Е". Формальное определение будет дано в $ 23.4. Любое евклндово пространство само, очевидно, является многообразием. Простым нетривиальным примером служит двумерная сфера, т.
е. множество Зз точек Е', для которых х'+р'+за=! (х, у, г — декартовы координаты точек). Любую достаточно малую область 0 на За можно взаимно однозначно отобразить на плоскую область при помощи любой из проекций, используемых в картографии. (В стереографической проекции в качестве аг' берется все Зз, за исключением одной точки.) В силу этого Ез является двумерным Гл. 23.
Влеменогарная огеория мноеообралий 116 многообразием. Тор (поверхность кольца) — также двумерное многообразие. Любое открытое подмножество многообразия (например, открытый круг х'+у'~1 на плоскости) является многообразием. Лист Мебиуса (без края) — это многообразие. Граничные точки следует отбрасывать, потому что они не лежат на той части поверхности, которая отображается в открытое множество плоскости. Шар и заполненный тор (без их поверхностей) — трехмерные многообра- Рис.
23.2. Рис. 26.1. Бутылка Клейна. зия. Многообразия с краем здесь не рассматриваются; о них см. книгу Ленга 11962). Поверхность, известная под названием булгылки Клейна, является двумерным многообразием. Представьте себе поверхность в виде винной бутылки с длинным горлышком и вдавленным донышком, как на рис. 23.1, а.
Затем представьте, что горлышко бутылки изогнуто вниз так, что оно проходит сквозь стенку бутылки (как в Я на рис. 23.1, б), а потом соединяется внутри бутылки с отверстием во вдавленном донышке, образуя тем самым замкнутую одностороннюю поверхность. Эту поверхность нельзя представить вложенной в Е' без самопересечений (как в Д), но ее можно вложить без само- пересечений в Е'. Чтобы убедиться в этом, возьмем поверхность (см. рис. 23.1, б), вложенную а Е'"; тогда каждая ее точка имеет три координаты х„х,, х,. Теперь нужно определить для каждой точки четвертую координату х4 так, чтобы ке на поверхности изменялась гладко, а в окрестности гг принимало одно значение (скажем, О) на стенке бутылки н другое значение(скажем, 1) — на ее УЗД. Примеры многообразий горлышке. В этом случае на поверхности уже не найдется двух разных точек с одинаковыми координатами х„х„ха, х,.
Многие двумерные многообразия можно получить при помощи метода отождествления (склеивания) краев. Лиса! Мебиуса получается из прямоугольника А ВСР (рис. 23.2) с помощью склеивания (отождествления) каждой точки стороны АВ (выбирая их по порядку от А до В) с соответствующими точками стороны СР так, чтобы А отождествлялась с С, а  — с Р. Две отождествленные точки рассматриваются как одна точка многообразия, и все выглядит в точности так, как если бы прямоугольник был узкой полосой бумаги, которая изогнута в виде окружности, а ее края склеены друг с другом, причем перед склеиванием один из концов был повернут на полуоборот. Если в последнем примере аналогичным образом склеить так же и края АР и СВ, то в результате получится бутылка Клейна ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
