Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(Для этого потребовалось бы растягивать бумагу, не говоря уж о трудностях с самопересечением.) В 2 19.5 были рассмотрены многообразия групп. Многообразие группы 50(3) было представлено в виде определенной трехмерной алгебраической поверхности в девятнмерном пространстве. Некоторая окрестность каждой точки этой поверхности гомеоморфна некоторой области Е', однако в целом поверхность не гомеоморфна никакой области в Е', в $ 23Л будет показано, что эта поверхность имеет такие свойства связности, какими область в Е'обладать не может. Многообразие группы 50 (3) можно рассматривать также и как результат трехмерной операции склеивания, использованной выше для получения листа Мебиуса.
Если О„, Огм О,— внутрен. ние координаты, введенные в 2 19.6, то каждая точка шара ~0$ =и представляет единственный элемент группы Ю(3), и обратно, за исключением того, что любые диаметрально противоположные точки на поверхности, О и — О, !)0)=п, представляют один и тот же элемент группы ЕО(3) и поэтому должны отождествляться. Это отождествление нельзя осуществить (по аналогии с листом Мебиуса) путем деформации сферы в трех- ') Точнее говоря, дело обстоит так. Склеивание сторон прямоугольника дает следуюшне простейшие многообразия: если снленть только вертикально (нлн только горнзонтально) противоположные точки, то получатся цилиндр; еслн склеить диаметрально противоположные (относнтельно центра прямоугольника) точки двух сторон, то получится лист Мебиуса; если скланть днаметрально противоположные точки сторон АВ н С0 н горизонтально протнвоположные точки АП н ВС, то подучится бутылка Клейна; если склеить днаматрально противоположные точки всех сторон,то получнтсн проектнвная плоскость Прз; если скленть вертикально протнвоположныс н горнзонтально противоположные точки, то получится тор, н, наконец, если склеить вертикальные н горнэонтально противоположные точки все вместе в одну точку, то получится с$сра Вз.
†Пр. перез. Гл ез. Элементарная теория яногооораеиа 118 мерном пространстве и склеивания поверхностей, однако это склеивание можно очевидным образом выполнить при помощи подходящей деформации сферы в девятимерном пространстве. Согласно упражнению 1 из 5 20.0, многообразие группы 5У(2) можно реализовать в виде трехмерной сферы, т. е. единичной сферы в Ее. Это многообразие односвязно, однако также не гомеоморфно никакой области в Ее. ЕЗЛ. КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ ИЛИ КАРТЫ.
СОГЛАСОВАННОСТЬ, ГЛАДКОСТЬ Пусть М,— некоторое пространство, т. е, множество обьектов, называемых точками. (М„может быть группой или еще чем-либо подобным, однако пока не предполагается, что оно обладает какой-либо топологической структурой; см замечание в Ч 23.4.) Введение и-мерной координатной карты в М, означает присвоение каждой точке Р определенного подмнох(ества У многообраее~ зия М, п вещественных координат (х', ..., х")=х таким образом, что соответствие Р х является взаимно однозначным ото. бражением ф множества У на связное открытое подмножество й/ координатного пространства й'1 в этом случае пишут х=~р(Р), а тройку (тл', «р, й1) называют координатной картой на М,.
Такое обозначение карты удобно, хотя и избыточно, поскольку 0 и ер ОПрЕдЕЛяЮт й1 (СМ. ЗаМЕЧаНИЕ В 8 23.4). ВЕКтОр Х=ер(Р) ИНОГда называют координатой точки Р. Если, например, О и р — сферические координаты на сфере (О=х', ч:=х'), то указанное отображение переводит определенные точки сферы в точки открытого прямоугольника (О < О < п, — я < ер < и) на (О, ер)-плоскости 1се.
Чтобы сделать это отображение взаимно однозначным, нужно отбросить северный и южный полюсы (0=0 и О=я соответственно), а также международную линию смены дат р= ~п. Чтобы описать всю сферу, можно было бы использовать метод склеивания, т. е. расширить это отображение на границу прямоугольника, а затем принять соглашение о том, что все точки 0=0, — и «р < я склеиваются в одну Точку (северный полюс), все точки О =и, — я < Ч < и тоже склеиваются в одну точку (южный полюс) и для каждого 0 изинтервала (О, и) точки с координатами ~р=+ и и ер= — я означают одну и ту же точку.
Однако, для того чтобы иметь возможность учесть требования гладкости и гарантировать, что поверх- вость, полученная после склеивания, действительно похожа на сферу, а не на какие. нибудь чепчик или пилотку, необходим другой подход. Если (О„~р„У,) и (Пе, ч, й1е) — две перекрывающиеся карты на М„то оии устанавливают некоторую связь между двумя 23.2. Координатные системы алн карты. Согласованность 119 множествами координат точек Р из пересечения ел', () й; и эта связь является взаимно однозначной, поскольку каждое отображение Р— ерг(Р) и Р грг(Р) является взаимно однозначным. Если мы положим х=ерг(Р) и у рг(Р), то получающаяся связь между х и у и ее обращение определяют функции (функции перехода), которые мы будем обозначать следующим образом: х'=хг(у', ..., ун), 1 1, ..., и, у'=у'(х', ..., х ), г=1, ..., и.
(23.2.1) (23.2.2) Рис. 23.3. Схематическое изображение двух карт на многообразии. Интуитивно ясно, что любые две разумно выбранные карты любого разумно выбраииого пространства всегда будут согласован. ными. Связи между ними показаны иа рис. 23.3. Отображения, Предполагается, что зти функции непрерывны и определенное число раз дифферепцируемы; если аг',() ель ие пусто, то предполагается, что преобразования (23.2.1) и (23.2.2) заданы иа огпкрыеай области в йн. Точнее, две карты называются Са-согласованными, если 1) множества (х=гр,(Р): Р Е ел', П0,) и(у=~р,(Р): РЕЮ, П С,) являются открытыми подмножествами в Й"; 2) функции (23.2.1) и (23.2.2) принадлежат классу Са. Если К Пел', пусто, карты автоматически согласованы.
Замечание. Из пункта 2 определения следует, что если одно из множеств, указанных в пункте 1, открыто в Кн, то и другое также оказывается открытым. !20 Гл. 23. Элементарная нморая лаеогообразии указанные на этом рисунке, означают следуюп(ее: фэ: р-фт(р), фз: р-фз(р), х'. у'- х'(у', ..., у"), у'. х' — у' (х', ..., х"), Если углы О, ф на сфере есть координаты первой системы, то вторую систему координат можно выбрать так, чтобы координаты О' и ф' являлись углами относительно других осей.
Наири. мер, северный полюс )Уг в новой системе (9'=0) можно вз„ть Рис. 23,4. в точке (О=я,'2, ф=я,2) старой системы, а угол ф', отсчитываемый вокруг нового северного полюса, выбрать так, чтобы новая линия смены дат оказалась частью старого экватора (О=и)2, — и/2 < гр< и!2; см. рис. 23.4). Ясно, что эти две системы в совокупности полностью покрывают сферу. УПРАЖНЕНИЯ !. Найдите для этого примера преобразования (23.2.!) и (23.2.2), т.
е. связь между 6, ф и О', ф'. 2. Опишите системы координат на поверхности тора. Покажите, это тор может быть покрыт двумя картами, однако если требуются односвязныс карты, то для покрытия тора необходимы три карты. 13.3. ИНДУЦИРОВАННАЯ ТОПОЛОГИЯ Если (О, ф, й() — координатная карта в пространстве М„а слав любое подмножество К образ которого является открытым множеством в координатном пространстве (кя, то К называется открытым множеством в М,. В частности, само множество 0 является открытым.
В (к" пересечение конечного числа открытых множеств открыто, равно как и обьедине ние произвольного набора открытых множеств. Поэтому открытые множества в М„, определенные какой-либо картой, обладают теми же свойствами. 2д.4. Оаределеиие многообразия. Аксиома отделилитти Хаисдорфа !21 Условия ! и 2 согласованности двух карт гарантируют, что эти карты определяют одну и ту же топологию в области их перекрытия. В частности, условие 1 обеспечивает открытость пересечения открытых множеств Ц и Ц. Приведем пример двух перекрывающихся карт, очевидно удовлетворяющих условию 2, но не согласованных из-за нарушения условия 1, а именно будем считать, что М, состоит из точек (х, у) в В', лежащих на осях х и у, и определим две одномерные карты в М„по одной на каждой оси, следующим образом: 0л=((х, у): х=О), ~Р,((х, у))=д, Фл =к, й=((х, д): д=О), р,((х, у))=., и',.—.=к.
В этом случае Ц П хл, состоит из единственной точки (к=О, у=О), которая не является открытым множеством ни в одной из карт. В общем случае две и-мерные карты могут пересекаться по поверхности меньшей размерности чем п, причем даже так, что условие 2 удовлетворяется, однако в этом случае их пересечение не будет открытым в !ка множеством. Условие 1 исключает подобные ситуации, требуя, чтобы пересечение было и-мерным. Когда пространство М, покрыто набором согласованных карт, его топология полностью определяется тем, что открытые множества должны быть открытыми множествами, порождаемыми отдельными картами (как указано выше), либо произвольными объединениями таких множеств. Тогда, в частности,все провтранство М, является открытым множеством.
ХЪМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГООБРАЗИЯ. АКСИОМА ОТДЕЛИМОСТИ ХАУСДОРФА Замечание. Данное изложение теории многообразий отличается от обычного только в одном отношении. Обычно исходят из пространства, которое уже было наделено некоторой топологической структурой, причем фактически предполагается, что оио должно быть хаусдорфовым пространством (см., однако, книгу Ленга (19621). Затем требуют, чтобы системы координат были непрерывными относительно этой топологии. С другой стороны, существование систем координат значительно ограничивает топологию, причем так, что пространство оказывается локально евклидовым (топологически; метрических свойств мы не касаемся).
Для наших целей кажется более приемлемым полностью определять топологические свойства системами координат, Тогда оказываются необходимыми только хорошо известные топологические свойства евклидовых пространств за одним исключением: когда многообразие строится путем сборки отдельных кусков двух или нескольких карт, нужно позаботиться о том, чтобы выполнялась аксиома отделимости Хаусдорфа,— об этом мы еще будем говорить ниже. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
