Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В случае компактной группы 6 характеры )(' и )(е двух неэквивалентных неприводимых представлений ортогональны относительно скалярного произведения (2!.5,5); ~ Кг (и) Хе (и) Ф вЂ” О, (21.13.1) и а для эквивалентных представлений Х'(д) — = т*(хг). Кроме того, ) ! Х (д) 1е е(й = 1 (21.! 3.2) 2П13. Хороклмры для любого неприводимого представления в том случае, когда мера Хаара нормирована так, что мера (объем) всей группы равна !. Характер )((и) зависит только от класса сопряженности группового элемента д, т.
е. у (и) =)((Ьйй ') для всех д и всех й. Совокупность всех характеров )(' неприаодимых представлений компактной группы образует полную систему функций для разложения функций ~(й), зависящих только от класса сопряженности элементов д. В группе вращений 50(3) все вращения на заданный угол со независимо от направления оси вращения принадлежат одному и тому же классу сопряженных элементов; отсюда следует, чтохарактеры являются функциями лишь угла ш.
Классическое доказательство полноты системы непрнводимых представлений р'(1= =О, 1, 2,...), о которой говорилось в конце 2 20.9, состоит в демонстрации того, что соответствующие характеры )(г(д) образуют полную систему функций для разложения функций угла со (см. книгу Вигнера [193!)). Тогда, поскольку не существует ненулевой функции от ю, которая была бы ортогональна всем )(с(а), не существует и иеприводимого представления, неэквивалентного всем р'. УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажите, что если конечномерные представления р' и рз зквивалентны [т.
е, если они одинаковой размерности и существует такая матрица А Ф О, что Ар' (й) =рз(й) А дли всех д), то х'(й) леха(й!. 2. Покажите, что два вращения дт и дз на заданный угол ы, но вокруг различных осей являются сопряженными, т. е. что существует таное вращение Ь, что й,=йдзй 3. Понажвте, что характеры иеприводимых представлений р' группы 50 (3) имеют вид х'=а1п (1+1/2) сс/з!п (о/2) (1=0, 1, ...) и что они удовлезворяют соотношению ортогональнссти (21.13.1), где лй [(1 — сов и)/(4пзаа)[кзй в соответствии с упражнением 7 из $21.5. йгкозлние.
Достаточно рассмотреть вращение вокруг оси е, для которого матрицы рг(й) диагональны; см. (20.!2.2) и предшествующее равенство. Для того чтобы доказать полноту системы характеров у' для 50(З), нам нужно показать„что если ф(а) — любая непрерывная ункция, причем (у', тр)=0 для всех 1, то ф(а)=0, Так как — сова=2(в!п(а/2))' и с[зй=йпазс[а, то равносильно показать, что если л 2 ) зйп (1+ 1/2) а в!п (а(2) ф (а) с[а 0 о для всех [,то ф(а) =О, Введя обозначения а/2 =1 и в!п(а/2) ф(а)= = Х(1), получим эквивалентное утверждение, которое нужно доказатьк если л/2 ~ Х (1) в!п (21+1) !с[1 =0 о Гл.
21. Представления ерина с! для всех 1, то х (1)= — О. но это и в самом деле так, ибо если х (() распространить на интервал — п(1(п, потребовав, чтобы она была нечетной функцией относительно г=О и четной относительно (= =~п/2, то функции з(п(21+1) 1 представляют систему функций, достаточную для построения ряда Фурье функции у.(Г). Поскольку характеры тс образуют полную систему функций, представления р'(1=0, 1, 2,...) исчерпывают все неприводимые представления группы 50(3). Таким образом, получен ответ на вопрос, который возник в ~ 20.2, о вращениях декартовых осей координат в трехмерном пространстве: все возможные нерелятивистские законы преобразования физических величин обеспечиваются представлениями р' группы 80(3).
Глава 22 ПРЕМСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Лучевое пространство н лучевые представлення в квантовой механике; распгн. рення локальных представленнй; эффект двусвяэностн группы оО(3) н односвяэностн группы Згг (2); двузначные представления; спнноры. Преоеарительные отеденил: гл. !8 — 21 н основы квантовой механики. Цель данной главы — пролить свет на один частный вопрос при использовании теории представлений групп в квантовой механике, а именно на вопрос о появлении двузначных, или спиновых, представлений группы вращений и группы Лоренца. П.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Мы уже видели, что в классической физике различные системы величин при вращении осей координат преобразуются так, что дают представления группы вращений, (То же самое применимо в классической физике и к другим группам симметрии, таким, как группы движений, группы симметрии кристаллов, группы Лоренца и т, п.) С другой стороны, в квантовой механике некоторые величины при вращении осей координат преобразуются подобно компонентам сниноров и тем самым дают представления группы 50(2), а не группы вращений 50(3).
Это было показано уже Дираком (в несколько иной терминологии) в его статье о релятивистском волновом уравнении (Дирак (19281), а также подразумевалось в теории Паули об электронном спине, опубликованной годом ранее. В общем случае компоненты спинора при преобразовании группы Лоренца .2' изменяются таким образом, что дают представления группы 5Л(2, С), а не группы .2"р. Тогда это казалось несколько неожиданным, хотя Дирак показал, что все наблюдаемые величины преобразуются как скаляры, векторы и тензоры, т. е. согласно представлениям групп 50 (3) н .Ур. В Ч !9.7 и 19.8 мы видели, что гомоморфизмы групп 50(2) и 5Е(2, С) на группы 50(3) и .Ер соответственно являются (2 — ь1)-гомоморфизмамн; следовательно, представление первой группы может ставить в соответствие две различные матрицы М и — М каждому элементу Е второй группы, т.
е. каждому из преобразований пространства-времени. Это соответствие иногда называют двузначным представлением второй группы. В на- Гл 22. Представления групп и пяинвовия мглииики стоящей главе рассматривается, как возникают такие представления. Будет показано, что роль групп 5(/ (2) и 5В(2, 0) заключается в том, чтобы определить так называемые лучевые представления более подходящих с физической точки зрения групп 50(3) и .Ур. Каждому возможному состоянию квантовомеханической системы соответствует не один вектор ф в гильбертовом пространстве Н, а целый луч (аф), состоящий нз всех векторов, скалярно крат. ных вектору гр.
Если все векторы нормированы (~(гР11=1, 1!аф((=1), то а имеет единичный модуль ((сг1=1), но его аргумент, или фаза (агфа) произволен, Этот произвол, как будет видно, влияет на интерпретацию теории представлений. хз.х. ВРАщения Осей Можно считать, что состояние некоторой системы в принципе ояределяется одновременно измеренными значениями (а, Ь,...) полной системы коммутирующих наблюдаемых (самосопряженных операторов) (А „В,... ). Следовательно, совокупность чисел (а, Ь,...) определяет луч (аф) в гильбертовом пространстве Н.
Эти наблюдаемые по существу соответствуют некоторой экспериментальной установке или прибору, которые предназначены для их измерения. Допустим, что вся эта установка переводится в новую ориентацию вращением около некоторой фиксированной точки р, а именно вращением у(элементом группы 50(3)). Это обстоятельство определяет новую систему аналогичных наблюдаемых (А', В',...
). Теперь данное состояние изучаемой системы соответствует новой совокупности чисел (а', Ь',...), которая порождает новый луч (ссяр') в пространстве Н. Иначе говоря, под действием вращения у каждый луч (игр) отображается в другой луч (агу'). Эти отображения дают ~учевое представление группы, которое будет рассмотрено в следующем параграфе. Предположим, что иа каждом луче в Н как-то выбран нормированный вектор гр. Тогда вращение д определяет взаимно однозначное отображение между так выбранными векторами в Н.
Мы допускаем также как некую аксиому квантовой механики, что эти векторы ф можно выбрать так, чтобы данное отображение было линейным и, следовательно, могло бы быть определено во всем Н благодаря линейности, Поскольку все представляющие векторы ф были нормированы, данное отображение представляет собой унитарное преобразование (/ или (/(д). Однако это преобразование для данного у не является единственным из-за произвольности фаз представляющих векторов ф. Эта степень неоднозначности преобразования (/ описывается следующей леммой, доказательство которой мы оставляем в качестве упражнения.
Лемма. Пусть (/, а (/я — два унитарных преобразования в Н, таках, чгпо длн лгобоео гр два преобразованных вектора (/,г) и (/гчг 22.З. Лучевые представления определяют один и тот же луч. Иначе говоря, суи!ествуепс комплекснозначная функция р(ф), такая, что (/,ф=~(Ф)(/,ф для всех ф. Тогда й(ф)=сонэ(=(), причем !й!=1, т. е. (/1=и(/,. Унитарные преобразования (/ и р(/, где б — константа и 131= — 1, называются эквивалентными: (/ыр(/. Мы видели, что каждое вращение д соответствует классу эквивалентности (й(/: !()1=1) унитарных преобразований, имеющих различные фазы агд р. Предположим теперь, что для каждого элемента д группы Ю(3) каким-то образом выбрано единственное унитарное преобразование (/(у) из соответствующего класса эквивалентности. Если ~р'= =(/(у)ф, аф"=(/(/е)4>', то результирующая матрица преобразования для отображения ф лр", т. е.
(/(/г) (/(д), не обязательно равна (/(/еу), но эквивалентна (ы) этой матрице. Следовательно, для любой пары вращений /2, у существует такой фазовый множитель у(й, у), что (/ (/с) (/ (у) у А у) (/(/ь у), (22.2.1) где ~у(/е, д) ~=!. Позже мы рассмотрим возможности выбора функции у(й, д).
22.2. лучейые лредстАВления Множество 5 всех лучей называется лучевым пространством. Это не обязательно линейное пространство, потому что если г — луч и с — число, то сг, вообще говоря, не определено, а если г, и«,— два луча, то может быть не определена сумма «,+г,, Если опустить требование нормировки, то каждый луч будет представлять собой одномерное подпространство в «1.
С такой точки зрения единственно разумными определениями будут следующие: считать сг тем же лучом, что и г, даже в случае счь1, а г,+г, считать двумерным подпространством в Н и поэтому уже не элементом множества 5. Однако каждый элемент множества 5 соответствует некоторому состоянию данной физической системы, и это соответствие взаимно однозначно. Наиболее естественно принять, что 5 — топологическое (фактически метрическое) пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
