Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Итак, )'7-(6, р)=( — !)-) с(В, р). (20. 11.7) Так как )'!с = С (енз з!п 6)', причем С задана в (20.10.6), из (20.11.7) следует явное выражение для Урс, и благодаря (20.10.7) мы получим искомый вид (20,11.5) для Р,'. (Некоторые авторы определают )'7 как фУнкцию, комплексно сопРЯженнУю к У'с, опРеделив последнюю для т ~~ О. Предложенная здесь процедура имеет некоторые преимущества; например, матрицы р'. неприводимых представлений группы вращений, которые йриводятся ниже, являются симметричными.) Ясно, что для четного лс Ру(тп) является многочленом.
Рос(тп) обычно обозначается как Р, (сп) и называется многочлгном Лез!сандра отглгни Е. УЙРАЖстения ! 1 !. Покажите, что ) (! — шз)с дт= [21/(2Е+ !)! ~ (! — шз!с-т дт, н используйо те зтот результат, чтобы ари помощи индукции показать правильность вы. чнсления интеграла в (20.!0.5). 2. Выразите операторы Се через переменные ш и т, где ш=соза, н вы. ведите реку ррентные соотношения (20.11.1), (20,11.2) из (20.9.! Ц, .О.!2. денс!!рицы неприводимых представлений группы 50(3) Чс 3.
Для случан т=О проверьте, чтоформула Родрнга (ж1,11.6) дает решение дифференциального уравнения Лежандра, т. е. уравнення (20,11,3) с т=о, !Это решение есть Р, (ш).1 Вы можете сделать то же самое для т Ф О, но зто несколько сложнее. Гь Так как Р7 н Рс™ удовлетворяют одному н тому же уравнению (20.11.3) (зто уравневне не меняется прн замене т на — т), причем оно имеет самое большее одно решение, регулярное прн в=+1, то зтн функцнн пропорцнональны. Найдите козффнцнент пропорциональности. Предосвыреженив на б рщев: некоторые авторы полагают функцию Рс~ равной Рш .
Покажите, что справедливо отличное от (20.11.6) выражение функцнн Рс" (си), а именно Рсв (св) ( 1)м (1 шт)-~м ~ ) (гве 1)с (20 11 В) (С+т)1 ! l сс тс-т (1 — )12Ч! (йшг' для — 1 ~ т ~ С. Лаять МАТРИЦЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ЮО(3). УГЛЫ ЭЙЛЕРА При заданном ! функции Ус (т=й ! — 1, ..., — !) берутся в качестве базисных векторов в пространстве Х"+' (2!+1)-мерного представления группы Ю(3), которое мы нашли в предыдущих параграфах.
Для любой функции Г=/(О, ср) р(д)) является функцией, полученной путем перенесения значений функции г (О, ср) при движении по сфере согласно вращению д. Следовательно, матрица рс(й) преобразования р(д), действие которого ограничено подпространством Хм+с, имеет элементы р',, задаваемые посредством разложения (р(д) У")(О ср) Х Р' ° (и) )7'(В, р) (пс 1, ! — 1, „— !). и' -с (20. 12.1) Удобно выражать вращение при помощи углов Эйлера а, (), у и писать р(а, (), у) вместо р(п).
Тогда д является результатом следующих последовательных вращенийс 1) вращения вокруг оси г на угол у, 2) вращения вокруг оси х на угол й, 3) вращения вокруг оси г на угол а. (См, упражнения 3 — 5 $ 21.5.) Соответственно матрица р' раз- лагается следующим образом. рс(а, (), у) рс(а, О, 0)рс(0 )) О) рс(0 0 у) Первый и третий множители в этом произведении представляют собой диагональные матрицы; преобразование р(а, О, 0) лишь заменяет в функции ср на ср — а, и, значит, при этом преобразовании )', умножается на е"'""', т. е.
р,'„„„(а, О, 0) е-' 'бтт„ 72 /ж 20. Предсянныения групп / Таким образом, р„'„(а, (1, у) можно представить в следующем виде: р',„(сс, (1, у) = е-' "'Р' .„, (соз ()) е-/т'". (20.12.2) Функции Р' „„(гп) тесно связаны с многочленами Якоби; подробно их свойства рассматриваются в книгах Гельфанда, Минлоса и Шапиро (!958) и Виленкина (1965), к которым и отсылается читатель за деталями. (Определение функций Р',, данное ниже, совпадает с определением Гельфанда и др. и отличается комплексным сопряжением от определения Виленкина.) Функции Р',„ имеют вид Рс, (гп)-,С(1 ! /и)-!м+т'1/з(1 /и)! -м'!/з 1С х ( — ) [(и — 1)' (и/+ 1)™~, (20.12.3) где С уч-м2-з/ ( ' !'' (20124) М вЂ” ~)~(~+щ)~(~ — л!')~/ (Возможно, логичнее было бы вынести явно множитель !м'- в определение р', (20.12.2), а ие оставлять его в формуле для функции Р',, которая была бы тогда вещественной для — 1( (ыу(1, но так делать не принято.) При т 0 (и при т' =О) эти функции пропорциональны при- соединенным функциям Лежандра.
Сравнение (20.12.3) с (20.11.8) показывает, что Р' о (гп) = ( — !)"" $/ (1 — пз')!/(1+ т')1Р)"' (и/) (20.12.5) [в частности, Р' (!и)=Р,(п/)1; следовательно, р,'„,,(а, (1, 0)=$/ 4п/(2/+1) 1","'(8, а — и/2), (20.12.6) [То же самое получается и для р' „(а, )), у), ибо р',, не зави- сит от у.т) Упражнения 1. Проверьте (20.12.1), когда д — вращение вокруг оси з. 2. Проверьте (20,12.1), когда д — вращение на угол и вокруг оси х, 3. Покажите, что для /=! функции Р, суть злементы матрицы (!+в)/2 — ! г' (! — юз)/2 (м — 1)/2 и'. >= — ге." 'ю — гз — ~)а .
1Яч; 1~'(! „,з)/2 (! ~.и4/2 где строки нумеруются сверху вниз, соответствуя т'= — 1; О, 1, а столбцы— слева направо, соответствуя ят= — 1, О, 1. Отметим, что зта матрица унитарна. 4. Отождествляя левую часть (20,12.1) с и/ (0', ф'), умножим ато равенство на г, перейдем к декартовым координатам, полагая а'=г сан 0', з'4!у'= =гз!пв'г~'е (н аналогично для х, у, з), и возьмем !=1. Используя результат упражнения 3, покажите, что в случае, когда д — вращение на угол й 2У.ГЗ. Теореме сложения для тессеральных гармоник 73 вокруг оси х (т. е. и=у=о), преобразование, описываемое в (26.!2.11, имеет вия «'=х, у'=усоз р+гз1п (1, 2'= — уз!и р+гсоз(1, 5.
Покажите, что Р„м= Р 6. Покажите, что в (20.12.6! можно избежать появления угла и — п72 вместо а,.еслн вторым шагом в определении углов Эйлера принять вращение на угол р вокруг оси у, а не вонруг оси х. 20.13. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК В формуле (20.12.1), которая показывает, как для заданного ! функции 1'! при вращении д преобразуются в комбинации этих же функций, положим т=О и допустим, что д — вращение с углами Эйлера а, (), О, так что с (р(а, (1, 0) У!о)(Е, ср) Х р' „(а, Е, 0) 1","' (Е, ср).
(20.13.1) Оператор р(а, р, 0) переносит значения функции при движении по сфере согласно вращению д, которое переводит полярную ось в направление, заданное углами р, а — л/2..Следовательно, левая часть в (20.!3.!) равна функции );(Егм О), где Ет,— угол между направлениями (Е, а — л(2) и (Е, тр) [напомним, что Уо!(Е, гр) не зависит от гр|. Переобозначим эти направления: пусть первое будет (Е„гр,), а второе — (Е„гр,), и используем тригонометрическое тождество сов Е„=*соз Е! соз Е, + в!и ЕТ в1п Е, сов (!р! — ср,). (20.13.2) Наконец, подставляя (20.12.6) в (20.13.1), получаем 1')(01„0) =У4п7(2!+1) ."р )7(й„р,) ур(Е„р,), (20 13.3) что и представляет собой искомую теорему сложения.
Ее можно записать также в виде Р, (сов Е„) = Р, (соз Е,) Р, (сов Е,) + + 2 ~яр [(! — и) !7(! + т ) (] Р ! (сов Е,) Р, (сов Е,) сов т (гр, — ср,). м=! (20. 13. 4) Мимоходом отметим, что в частном случае 1=! мы снова получаем тригонометрическую формулу (20,13.2), ибо Р, (гр) =си, Р, '(Гу) у' 1 — туз. Гл. гд. Представления групп ! 26.!4. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК В этом параграфе будет показано, что тессеральные гармоники образуют полную систему для разложения функций, определенных на сфере.
Так как (20.11.3) является дифференциальным уравнением типа Штурма — Лиувилля в интервале ( — 1, 1) (с особыми концевыми точками типа предельной точки на каждом конце), требуемую полноту можно установить прн помощи методов 6 10.6 тома ! настоящей книги. Здесь предлагается другой подход, основанный на теории потенциала. Формула Родрнга (20.1!.6) показывает, что функция Р! (гп) содержит только четные степени гп, когда1+и четно, или только нечетные степени гп, когда 1+т нечетно, и, кроме того, имеется множитель )/ 1 — гпе для нечетного и.
Из (20.10.7), переходя к декартовым координатам г сов О = г, г з!п Оегэ =- х+ гу, г*=-х'+у'-1-г', можно установить, что г'1', (О, гр) является однородным много- членом степени 1 по х, у, г„т. е. что каждый член имеет вид сопз! хгу/ге, где г+ !+й=-1. Теперь покажем, что эти многочлены удовлетворяют уравнению Лапласа. Записанный в сферических координатах лапласиан можно выразить через операторы 1г, используя (20.9.5) и (20,9.6): ! д д ! д . д ! дг уе = —,— ге — + — — з)п Π— + Р д д Нв!пв дв дэ ге и!п*в д~р' ! Функция )'т! есть собственная функция оператора (,+1.
и оператора 1.„соответствующая собственному значению — (а',")е в случае первого оператора и собственному значению — гт в случае второго оператора. Следовательно, с учетом (20.9,12) мы имеем уег')гу'(О, гр) = —, !1 (1+ 1) — (1+ и+ 1) (! — и) — и' — т! х ! х г~ ! ! (О, гс)=0. Общий однородный мпогочлен р(х, у, г) степени 1 включает г1,(1+1)(1+2) членов вида хеуугг. В самом деле, если г=0, то существует 1+1 возможных значений 1, если !'= 1, то существуег1 возможных значений 1, и т, д.; во всех случаях й= — 1 — !' — 1 и поэтому число членов равно 1+2+... +(1+1)='/,(1+!)(1+2).
Теперь допустим, что р(х, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа. Так как игр является однородным многочленом степени 1 — 2, то для обращения его в нуль нужно наложить ",,(1 — 1)1 условий на коэффициенты многочлена р, причем нетрудно видеть, что эти условия независимы. Следовательно, гармонические много- гв.ы. Полнота системы нмстральных гармоник члены степени 1 образуют пространство (1 + 1) (1+ 2)/2 — (1 — ! ) 1/2 = 21+ 1 измерений. Это пространство является в точности линейной обо- лочкой многочленов «'У",' (т=1, 1 — 1, ..., — 1), ибо число их равно 21+1 и очевидно, что оии независимы в силу ортогональности функций )7. Отсюда следует заключение, что любой гармонический мноеочлен можно выразить через функции г')гт (О, <р), Если /(О, ср) — произвольная непрерывная функция на единич- ной сфере, то, согласно разрешимости задачи Дирихле в теории потенциала, существует функция ф(х, у, г), которая удовлетво- ряет уравнению уе~р=0 при х*+у'+г' ( 1, является непрерыв- ной при х'+уе+г'(1 и принимает значения /(О, ср) на сфере х'+у'+г'=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
