Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 14
Текст из файла (страница 14)
6! для квантования гармонического осциллятора и момента импульса. (См. также книгу Миллера П973!.) В сферических координатах !., =з(псрд/дВ-(-с(80созфд7дф, 1., = — соз фд/дО+ с18 О з(п фд/дф, (20.9.5) бе = — д/дф. 66 Гя. гд. Пргдгпгпгягпия групп ! фг „... повторным использованием оператора Е,, который преобразует функцию д(0)ег ч в функцию вида Ег(0)е" "'г. Все эти функции принадлежат Х,.
Теперь мы, во-первых, покажем, что применяя оператор поднятия, нельзя получить никаких новых функций из уже полученных, т. е. что Е.+ф , — та же функция, что и ф„, с точностью до нормировки, а, во-вторых, установим, что Е. ф г=О, иначе говоря, что последовательность функций обрывается при т= — 1. Мы используем индукцию для убывающего т начиная с т=1, Допустим, что для некоторого т функция 1.+ф пропорциональна функции ф,„ям т.
е. что Е. Е,+ф пропорциональна функции ф , и заметим, что это последнее утверждение заведомо верно для т =1, поскольку 1+фг = О, Согласно (20.9.7), (Е+1 — 1 1.') ф„= — 211.гф = — 2тф, (20. 9, 10) откуда следует, что и Е.+Е, ф„также пропорциональна ф; следовательно, Е."ф, пропорциональна ф и индукцию можно продолжать, Теперь определим функции ф в явном виде.
Пусть пропорциональность, о которой говорилось выше, записана следующим образом: 1.+ф = — Еа ф„~е Е. ф .„= — Ер,„ф, (20,9,11) Так как любая функция ф содержит произвольный множитель, эти уравнения определяют лишь произведение а„!г посредством уравнения й Е.+ф„= — а,„() ф . Поэтому можно положить 11 =а для всех т. Тогда из (20.9.10) будет следовать, что — а', +а,*„=- = — 2т для всех т(1, причем это уравнение справедливо и для т=1, если а, положить равным нулю. При помощи индукции для убывающего т получим а,'„=(1+т+1) (1 — т) (т=1, Š— 1, ..., — Е); следовательно, можно взять а =у'(1+т+1)(1 — т) (т=*1, 1 — 1, ...), (20.9.12) где имеется в виду положительное значение корня. В частности; а,, =0; поэтому Е 'ф г=О, что и требовалось доказать.
Йтак, уравнения (20.9.9), (20.9.!1) н (20.9.12) определяют все функции ф„( — 1(т(1) с точностью до постоянной С. Линейная оболочка этих функций образует (21+1)-мерное подпространство Х"+' пространства Х"(5), инвариантное относительно Е.о Ь„ Е,, а также, как будет показано в конце ч 20,!4, и относительно преобразований р(д) для всех р из группы Ю (3); существует лишь одно такое подпространство для каждого 1 =О, 1, 2, ...
. Преобразования р(д), действие которых ограничивается 20.10. Тесееральние гармоники. Функции Лиг«андри в7 подпространством Х"+', обозначаются через ре(д); они составляют конечномерное неприводимое представление группы 6, и, как будет показано в ч 21.13, только такие представления являются с точностью до эквивалентности единственно возможными неприводимыми представлениями.
звлв. тассврдльныв гармоники. аокннцми лвниндра В этом параграфе будет показано, что свойства сферических гармоник получаются из теории представлений группы вращений и что тессеральные гармоники образуют базис для представления группы 50 (3). Если функции ф„(О, ер), полученные в предыдущем параграфе, взять в качестве базиса в Х"+', то преобразования р(д), действие которых ограничено подпространством Х"+', задаются матрицами размера (21+!)Х(21+1). Но, прежде чем вычислить эти матрицы, следует подробнее рассмотреть функции ф; в дальнейшем они будут обозначаться через У~" (О, ер) для того, чтобы указать зависимость от 1.
Эти функции называются тессеральными (поверхностными) гармониками. Поверхностная гармоника есть функция ) (О, ор), такая, что функция гр) (О, ер) удовлетворяет уравнению Лапласа для некоторого целого числа р, и, как будет показано, функция гРУ1" (О, «р) удовлетворяет уравнению Лапласа. Тессера (это слово произошло от греческого слова, означающего «четырехугольныйо) есть криволинейный прямоугольник, такой, как прямоугольники, на которые разбивается сферическая поверхность узловыми линиями функций йеУ'," или [шУ,, причем эти линии совпадают с определенными параллелями О=сонэ( и определенными меридианами ~р=сопз1.
Скалярное произведение в пространстве Х" (5) функций на единичной сфере 5 определяется следующим образом: он и (1„1«) = $ ) 1« (О, ~р) 1« (О, <р) з[п О «[О е(«р. (20.10.1) о о Пополнение пространства Х" 15) относительно нормы [[1[[=(1, 1)пг есть гильбертово пространство (.«(5). Операторы р(О), д650(3), унитарны в (.«(5), так как, во-первых, они определены во всем 1,«(5) и обратимы, а, во-вторых [в силу инвариантности интеграла (20.10.1) относительно вращений), (Р(ймо, Р(О)(,)=(),, [.) (20.
1О. 2) для всех 1, и 1«. Будет показано, что функции У10 ортогональны в смысле скалярного произведения (20.10.1). Если выбрать надлежащим образом константу С в (20.9.9) (она может зависеть от 1), то функции У'; будут также нормированными. Мы покажем, Ги 20. Предгтпвгенин груня»' что эти функции образуют полную ортонормированную систему функций на сфере. Если проинтегрировать только по ~р, то сразу будет видно, что У",' и Уг"„' ортогонзльны при те ~ т„ поскольку произведение У,,'У,,* содержит множитель е'<"'*- > э. Из (20.9,6) следует антисимметРиЯ опеРатоРов Ьо т.
е. (Е.;1, д) = — (1, Ьгй), откУДа в свою очередь следует, что С Ь+ — симметрический оператор. Кроме того, из (20.9.11) вытекаег, что 1. 1,»У = — (а~)' У,, (20.10.3) где, согласно (20.9.12), (а, )' = (! + т + 1) (! — т) (20. 10. 4) [здесь несколько изменены обозначения по сравнению с (20,9,12)1. Поэтому соотношение (1.-А+У',"„У~,) =(У~,, 1. ~.+У~,) эквивалентно тому, что (аь) (У,„Уь) =(а,,) (У,, Уп); следовательно, поскольку аг,'Фаг, для 1, ~1„функции У7 ортогональны. Теперь покажем, как нужно выбрать константу С в (20.9,9), чтобы нормировать функции У',".
Оператором, сопряженным к г,+, является оператор — Ь ; поэтому ((+у~» у»»м) (ут г -у»»+г) Поскольку р =а„=а,, из (20.9.11) следует, что (а)»У»»»1 У»»» ) (У» (а~»Ут) откуда видно, что для данного ! (Р7!!е не зависит от т. Полагая ф,=У', и используя (20.9.9), получаем и ЦУг)»=2п$С$» $ з!п™+'Ог(0= о 2 4 ° . ° 120 е (2г10» 4п!С!е ! з "' !+ ) — 4п!С!»(2+ ),. (20.10.6) Итак, все функции Уг будут нормированы, если взять константу С в виде С = С, = [( — 1)гД2Ч!)1)г (21 -(-1)!)(4п). (20.10.6) Используя У~г, заданную формулами (20.9.9) и (20.10.6), а также остальные У)', получаемые из У[ при помощи рекурреитных соотношений (20.9,11), а именно 1;17+'= — (а, У1', мы определим 20.11. Присоединенные функции Леекандра 69 новые функции Р (в), называемые присоединенными функциями Лежандра, для — 1(в(1 следующим образом: )'~ (О, ср) = ( — 1)и у' 1(21+ 1)/(4п)1(1 — т) !1(1 + т)! Р7 (соз О) еьнч ( — 1< т< 1).
(20.! О. 7) Замечания. (1) Множители ( — 1)' в (20,10.6) и ( — 1)м в (20.10.7) не являются обязательными, но общеприняты. (2) Исторически Р7(в) впервые определялись при помощи формул (20.11.6) (см. следующий параграф), а затем определялись г', (О, ~у) посредством формулы (20.10.7). (3) Символ Р7(в) используется различными авторами для обозначения несколько отличающихся функций. Здесь принято то же, что у Толмена [!968) и у других авторов для всех т (т. е. — 1(т~1); оно совпадает с первоначальным определением Феррерса (см. книгу Уиттекера и Ватсона [1927)) для т) О. откуда путем очевидной индукции можно получить (1 вн)-'тиР7(в) ( " ) ~(1 — ва)пе Р-,~ (вД (20 11 4) Далее будет показано, что Р~ ' (в) = [( — 1)'1(2Ч!)1(1 — вн)п', (20.
11.5) 10.Ы. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА В этом параграфе свойства функций Р7(в) выводятся из теории представлений групп. Из рекуррентных соотношений для )7, используя формулу (20.9.6) для операторов Ь+, легко вывести рекуррентные соотношения для Р7 ~~ — ге Р7' (в)+ = Р7(в)=Р7+~ (в) ( — 1(т(1), (20.11.1) У 1 — нк 3/ 1 — внР7'(в) — Р7(в) = — (1+т)(! — т+1) Р7 ' (в) у 1 — вн ( — !к 'т ( 1), (20,11,2) где штрих означает дифференцирование по в. Если первое из этих уравнений продифференцировать еще раз, а затем прн помощи второго уравнения исключить Р," и Р7'", то получится дифференциальное уравнение Лежандра (! — в') Р7" — 2вр7'+ [1'+1 — пР/(1 — в')~ Р, = 0 (20.11,3) для Р7(в). Рекуррентное соотношение (20.11.1) можно записать в виде (! К~е) нн+гцер[н 1 (в) н[(! ве) ти Рн (в)~/дв 70 Гл. 20.
Представления аруна I и мы приходим к так называемой формуле Родрига ! с д ыет Рс ( ) = — (1 — нР) м ~ — ) (иР— 1)' 2с1ь ат ~ (т= — Е, — Е+ 1, ..., Е). (20.11.6) [Для этой цели можно было бы сначала взять 1'1', а не )", и определять остальные У, при помощи оператора поднятия Е.+, а не оператора опускания Е..
Тем не менее общая связь между У'Р и )'7, которая сейчас потребуется, представляет и самостоятельный интерес.~ Поскольку Е+ и Е, комплексно сопряжены, уравнения, комплексно сопряженные уравнениям (20.9.11), имеют вид Е.-~„=Ест„~ +„Е.е~„+,— Еа„ф; отсюда видно, что функции ( — 1)" з!с„удовлетворяют тем же уравнениям, что и функции зр; следовательно, )l-т — й ( 1)а ~Оп где й †постоянн, которая равна 1, в чем мы скоро убедимся. Поскольку постоянная С в (20.10.6) вещественна, формулы (20.9.9) й (20.10.7) показывают, что Рс'(нт) †вещественн функция; далее из (20.11.1) следует, что и все Ен!"(тв) тоже вещественны; значит, согласно (20.10.7), У', вещественна. Положив в приведенном выше уравнении лт=О, мы видим, что й=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
