Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 13
Текст из файла (страница 13)
д=п„, з,, где по, о — единичный элемент группы б, то инфинитезимальные операторы, соответствующие оператору Т предыдущего параграфа, получаются дифференцированием р(д„, В,,) по каждому нз параметров со, р, ... и затем приравниванием а=))=... =О. Для группы 50(3) эти инфинитезимальные операторы будут приведены в й 20.9. ?ВЛЧ ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Если пространство Ри содержит некоторую гладкую поверхность 5 меньшей размерности, инвариантную относительно всех преобразований группы 6, подобно единичной окружности в случае группы 50(2), то вместо Х" можно рассматривать пространство функций, определенных на 5, а не на всем У".
В упомянутом выше примере в качестве 5 можно было взять любую окружность с центром в начале координат. Если 0 совпадает с 50(3), то в качестве 5 можно взять любую сферу в У' с центром в начале координат. В каждом из этих случаев действие группы на 5 обладает следующими свойствами. а) Действие группы 6 зффекршвио по отношению к 5; это означает, что лишь единица е группы С дает тождественное отображение на 5; иначе говоря, если дчьо„то существует хотя бы одна точка х на 5, такая, что йх~ьх. Гг. 20. Превгтаеления групп l 62 б) Действие группы 6 транзитивно по отношению к 5; это оз. начает, что если х и у — две произвольные точки на 5, то сущест.
вует такой элемент д из 6, который переводит х в у, т. е. у=дх. Если 5 инвариантна относительно группы 6 и, кроме того„ имеют место свойства а) и б), то 5 называется однородным просгпранспгвом для 6. Допустим, например, что 6 состоит из всех преобразований вещественного трехмерного пространства, имеющих следующий вид: аЬе х х'= сг(г х, 001 где ад — ЬсФО. Любая плоскость хг=сопз1 инвариантна относительно 6, и для нее имеет место свойство б), но для плоскостн хе=О свойство а) не имеет места, потому что любая точка плоскости х,=О отображается на себя при преобразованиях вида 10 в х 01~ х.
Следовательно, только плоскости х, = сопя( эи 0 представляют собой однородные пространства для данной группы. Общая процедура отыскания неприводимых представлений непрерывной группы 6 линейных преобразований в )е" состоит из следующих шагов: находится однородное пространство 5 для 6 в пространстве ь'"; вводится р как представление )(х) )(д 'х) группы 6 на пространстве Х" функций на 5 [обычно это (.г(5)1; определяется полная система инфинитезимальных операторов; при помощи этих инфинитезимальиых операторов находятся минимальные инвариантные подпространства пространства Х".
Специальные функции, связанные со свойствами симметрии, описываемыми группой 6, являются элементами инвариантных надпространств пространства Х" Данная процедура будет более подробно описана в 2 20.9 для группы вращений 56(3). В этом случае все иивариантные надпространства, которые будут найдены, являются конечномерными, Как будет показано в следующей главе, это справедливо для любой компактной группы. В той же главе для компактных групп будет получен ответ на вопрос о том, можно лн таким образом найти все неприводимые представления. Теория представлений некомпактных групп, где могут появиться бесконечномерные неприводимые представления, в значительной степени выходит за рамки настоящей книги, и в следующей главе 63 2О.У.
Првдсапавлении еруппы вращений оО (8) мы удовлетворимся обсуждением лишь некоторых основных свойств трех примеров: группы движений М„где возникают функции Бесселя, группы Лоренца и группы 5Г.(2, О), где появляются спиноры. 2а.а. РеГуляРные предстАВления Для групп Ли однородным пространством может служить само многообразие группы. Рассмотрим, например, группу 0=50(3).
Вспомним, что многообразием группы 50(3) является некоторая алгебраическая трехмерная поверхность 5 в пространстве девяти вещественных измерений; каждая точка 5 представляет некоторый элемент д из О. Для фиксированного )з из 0 левая трансляция д )зд отображает 5 на себя. Пусть Х" — пространство всех функций ) (е) класса С" на 5 или гильбертово пространство (.*(5). Для любого )з Е 0 отображение Р()а): 1(й) а'(гз 'и) есть линейное преобразование в Х", а соответствие )з- р(й) является представлением группы О. Аналогично связь отображения ~(д) -а((д)з) с элементом Ь также дает представление группы 0 (отметим, что в отображение входит сам элемент й, а не его обратный). Представления этого типа, называемые левым и правым реги.
лярными представлениями, обсуждаются в следующей главе. УПРАЖНЕНИЕ Покажите, что множество левых трансляций аффективно и транзитивио по отношению к многообразию группы. 2Е.Р. предстАВлеиия ГРуппы ВРАщениЙ е0(з) Методы, описанные в общих чертах в Э 20.6 н 20.7, мы применим здесь к группе вращений. Наш подход несколько отличается от традиционного в том, что мы заранее не предполагаем ничего о сферических гармонических функциях 17(6, чз) и получаем эти функции и их свойства из теории групп Пусть и = и „,— матрица вращения на угол 1ю[ вокруг оси, направленной по вектору оз.
Иначе говоря, дм = Я(оз), где )с( ) определена при помощи (19.6.1). Пусть Х" — пространство всех бесконечно дифференцируемых функций 1(х) в Рз. Для каждой матрицы п=е„оператор р(д) на Х" определен [согласно (20.6.1)] равенством (р (и) )) (х) = ) (и 'х). (20.9.1) Эти операторы р(д) составляют представление группы 50(3). Гл. 20. Представления груня / Инфинитезимальные операторы этого представления получаютс следующим образом. В силу дифференцируемостн функций из Х прн в - 0 оператор (1/в) [Р (уа, о, о) — р (уо. о.
о)! иа Х" имеет предел, скажем Еь [Напомним, что р (до, о, о) — гож дественный оператор / / на Х".1 Любое конечномерное под пространство Х, пространства Х", инвариантное относительн~ всех р(д), также инвариантно и относительно 1,, (т. е. под дей ствием оператора /.е это подпространство преобразуется на себя) Если д= дв,о.о и /(х) = /(х, у, г), то /(д 'х)=/(х, усозсо+гз!пв, — уз!пв+гсозв), и из этого следует, что вег Ее = с/р Фе. о, о)/с/в (е=о иагд/ду — уд/дг, (20,9,2) Аналогично, ве! Ео = др (у,, о)/с(в (, хд/дг — гд/дх, ве! (20.9.3) Ео =с(р (уо, о, а)/с/в !а=о е**уд/дх — хд/ду.
Это (с точностью до множителя Й) квантовомеханические операторы компонент момента импульса (см. книгу Шиффа [1955, гл. 1Ч]. Они удовлетворяют соотношениям коммутации [/.о /./1=/ (1//с=123, 231, 312). (20.9.4) Замечание. Инфинитезимальные операторы любого представления группы 50(3) удовлетворяют этим соотношениям, потому что сами инфинитезимальные элементы группы удовлетворяют им; а именно если Т, =дУеь „аиедв,-(ее о (1=1 2 3) то в соответствии с (19.9.1) Т,= 00 — 1, Т,= 000, Т„= 1 00 следовательно, ! Т;, Те)=То, где г / /г=1 2 3, 2 3 !, 3 1 2. Так как в представлении д-и р(д) произведения отображаются на произведения, соотношения (20.9.4) имеют силу для любого представления. Допустим теперь, что 5 — единичная сфера х'+у'+г'= 1 (однородное пространство для группы вращений) и что Х"(5) — пространство всех функций из класса С" на 5.
За.у. Представления еруяяы враилрниа ЗО(З) Определяя операторы (.* как (.е ~ е(.„имеем е,е = еь ре (е- (д(дВ + с(д Од(дф) и видим, что (20.9.6) [Л+, 5 ] = — 2Ы., = 2ед7дф. (20.9.7) Допустим, что 7(0, ф) — некоторая функция из пространства Х" (5), не обращающаяся тождественно в нуль. Мы хотим найти минимальное инвариантное подпространство Х„содержащее р(0, ф), и выбрать эту функцию )(О, ф) так, чтобы такое подпространство было столь мало в некотором смысле, сколь это возможно.
Если )(О, ф)=~~р~д (В)е' я и если для некоторого т' д ° (0) чй О, то из рассуждений 0 20.5 следует, что подпространство Х, содержит все функции, кратные единственному члену суммы, а именно д ° (0)е' 'в. Применение операторов !.+ и 7. к функции вида 7(8) е' 'е дает функции ~,(0) е'о"+ос и (е (0) е'< -"в (по этой причине (+ и 1.
называют операторами поднятия и опускания), и в силу инвариантности Х, эти функции должны принадлежать Хб следовательно, Х, содержит функции вида (О, ср)= а (0)е' ч (20.9.8) для т те ! ! те ! 2 и для т те 1 те 2 Далее окажется, что функции д (О) можно выбрать так, что Х; будет конечномерным; для этого (.+ф должна обратиться в нуль для некоторого т, скажем для т=(, а 8 ф„должна обратиться в нуль для некоторого т(1, скажем для т=('; ниже мы пока.
жем, что Е' = — 6 Первое из указанных условий сводится к уравнению о',(0) — (с180де(0)=0, что следует из формулы (20.9.6) для е'.+. Решением данного дифференциального уравнения является функция де(В)=сопз1 (з|пО), и, поскольку функции из Х" не имеют никаких особенностей на единичной сфере, отсюда следует, что () 0; поэтому ф,(0, ф)=С(евз)пВ)е, (20.9.9) где С вЂ” константа, которая будет определена позднее. Начиная с этой функции можно получить последовательность функций ф, ы Начиная с операторов Ье можно получить инвариантные подпространства, используя так называемые операторы поднятия и опускания, введенные Дираком (1958, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
