Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. задав йм ... й,„ к, и т. д. и Й 1х„Г будем искать такие матрицы Я, что ()сх) (Яу)=х у для любых векторов х и у, Пусть $(1) обозначает вектор, )-я компонента которого равна единице, а остальные компоненты равны нулю, Тогда, в частности, матрица Я должна быть такой, что 1, если )=л, ( О, если )~~г. Так как вектор гй1У ' Йз (1) представляет собой)чй столбец матрицы )г', ясно, что столбцами матрицы )! являются попарно ортогональные единичные векторы. Такая матрица называется ортогональной. Обратно, если Я обладает укаэанным свойством, то )тх.)су=х у для всех х, у.
Если через )гт обозначить матрицу, полученную транспонированием матрицы Я, то строки матрицы )ст будут столбцами матрицы )с н, по правилу умножения матриц, имеем 1 О ... О О ! ... О (!9.1.3) О О и мы получили другую характеристику ортогональной матрицы. Поскольку )гг )с ' — матрица обратного преобразования, также сохраняющего скалярное произведение, отсюда следует, что ят— тоже ортогональная матрица; следовательно, столбцы )сг (т. е. втроки матрицы )с) образуют другую систему и попарно ортого- 19,2. Группо и оеепий 50 (2).
Теорема Эйлера 37 иальных единичных векторов. Так как де1)сг де1)с, из (19.1.3) следует, что де1)е* -ь 1. Теперь мы определим 0(л) = ()е: ее — вещественная ортогональная матрица размера пхп) в качестве ортогональной грулны в л-мерном случае, в которой групповой операцией является матричное умножение. Тогда подгруппа 50(п)=()ГЕ О(п): бе1)(' 1) есть специальная (нли унимодулярная) ортогональная группа в и-мерном случае. )Ч(ы можем рассматривать эти группы н как группы матриц, и как группы соответствующих преобразований х- е(х в и-мерном пространстве.
ТР.2. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ЕО(З). ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Сейчас мы покажем, что если )е — ортогональная (вещественная) матрица размера 3 х3 с е(е( )с'=1, то преобразование х — йх может быть получено следующим образом: сначала выбирается некоторое направление в пространстве, проходящее через начало координат, а затем осуществляется поворот системы координат на нужный угол вокруг этого направления как вокруг оси. В этом заключается теорема Эйлера.
Пусть Л, и ч; (й=1, 2, 3) — собственные значения и собственные векторы матрицы )с (они могут быть комплексными даже в том случае, когда )с вещественна); они удовлетворяют уравнениям йче=Лече (1=1, 2, 3). (19.2,1) Так как )е также и унитарная матрица, мы имеем 1)(ч,)1=)ч,), где 1ч$ для любого (вообще говоря, комплексного) вектора ч обозначает (! о„) '+ / ое1'+ ) о, / е)ме; следовательно, )Л;) 1 (1 1,2,3). (19.2.2) Числа Л~ являются корнями кубического уравнения с вещественными коэффициентами <1е1 (Л! — е() О; (19.2.3) произведение этих корней равно единице~ Л;Л,Л,=бе1)е 1.
(19.2.4) По меньшей мере один из этих корней является вещественным; если два других (скажем, Л, и Л,) комплексны, то Л,=Л, и в силу (19.2.2) Л,Л,=1; следовательно, Л,=1. Если все три корня являются вещественными, то онн равны либо 1, 1, 1, либо 1, — 1, — !. В любом случае всегда имеется один корень, скажем Л„равный +1; следо- Гж 19. Непрерывньи груияи вательно Йу, =ч„ откуда видно, что прямая, проведенная через начало координат в направлении вектора т, (ч, может быть выбран вещественным), остается инвариантной относительно преобразования х-~ Кх; очевидно, эта прямая является осью вращения.
[Напоминание. Если М вЂ” нормальная матрица, т. е. матрица, которая коммутирует со своей эрмитово сопряженной, т. е. если ММ" =М*М (в частности, эрмитовы матрицы и унитарные матрицы являются нормальными), то из собственных векторов матрицы М можно построить полную ортонормированную (относительно эрмитова скалярного произведения) систему векторов в и-мерном пространстве. Если все собственные значения различны, то собственные векторы автоматически ортогональны; если же Х является г-кратным собственным значением, то соответствующее собственное подпространство г-мерно и в нем можно выбрать ортонормированный базис; сделав так для каждого собственного подпространства, можно получить полную ортонормированную систему векторов.1 Пусть Х,=1, Х,=е'а, Х„=е ьз и векторы ч„э„ч, образуют ортонормированную систему (они являются собственными векторами).
Возьмем новые векторы , =(1/р'2 ) (~, +,), н, = (1/р'2 ) (~,— «,); (1920) они также образуют ортонормнрованную систему (причем все этн векторы можно считать вещественными, поскольку ч, и т,, могли быть выбраны комплексно сопряженными); отсюда )сн, = п„)тн, = соз 0 н, + з!п 9 н„)то, = — з1п 0 н, + соз 0 п,. (19.2.6) Мы видим, что преобразование, описываемое матрицей Я, является вращением в плоскостях, перпендикулярных вектору н,, Если задана матрица Р, то угол и ось вращения практически находятся следующим образом. Так как сумма собственных значений матрицы равна ее следу, угол 0 задается уравнением 1+а'"+е-'" = Ро+ Рм+)7„, или соз 0 = '/, (Им + )7„+ )с„— 1). (19.2.7) Далее, ось вращения совпадает с направлением вектора ч (выше он обозначался через ч,), который соответствует собственному значению 1=1; следовательно, Рт=ч.
Но в силу ортогональностн матрицы )с )7т)1=/, откуда т= йгч. Поэтому (Р— йг)э=О, так что компоненты о,, о,, о, вектора ч находятся в отношении от'ов'оз=(Йм )айвз)'Ям )7м)'Яы )(и) (19 2 0) 39 /Р.е. Группы Лоренца Упнлжннннн Проведите аналогичный анализ группы оО(л! длн пронзвольного и. 19.3. унитАРные ГРуппы Обобщение ортогональных групп на комплексный случай можно реализовать двумя способами. Первый путь основывается иа том, что комплексная ортогональная матрица есть любая комплексная матрица М, которая удовлетворяет соотношению М"М=/ точно так же, как и в вещественном случае.
Но, видимо, полученные так группы не будут представлять большой интерес. Второй путь: назовем унитарной матрицу (/, такую, что (/'(/ = / (тогда и И/'=/). При унитарном преобразовании х (/х и-мерного комплексного пространства С" эрмитово скалярное произведение х'у= Хху (=! любых двух векторов х и у остается инвариантным. Обратно, если зто произведение инвариантно для любых х и у, то матрица (/ является унитарной.
Унитарной группой (/(и) называется группа всех унитарных матриц размера пхп (или унитарных преобразований в С"). Поскольку йе1 (/е комплексно сопряжен с де1 (/, из равенства (/е(/=/ следует, что (ае1 (/!=1, т. е. Йе1 (/ есть число на единичной окружности в комплексной плоскости, Подгруппа группы (/(и), состоящая из унитарных матриц с бе1 (/=1, называется специальной (или унимодулярной) унитарной группой и обозначается через 5(./(и).
19.а. ГРУППЫ ЛОРЕНЦА Если х, у, г, / и х', у', г', У вЂ” декартовы координаты в двух ииер- циальных системах отсчета, оси которых параллельны, но вторая система движется относительно первой со скоростью )) в направ- лении +х и если в момент /=/е=О обе системы совпадали, то, согласно специальной теории относительности, д — (р'се! л х'=, у'=у, г'=г, /= ' . (19.4.1) )с ! — 'е'з/се Гс ! — Уе/сз Другие инерциальные системы могут быть получены путем относительного движения в направлениях других осей координат, вращений в пространстве, смещения начала отсчета пространства- времени, пространственных отражений, обращения времени.
Если учитываются отражения и обращение времени, то мы имеем полную Гя. 19. Иевреривные врувни (иногда с1 обозначают через х') и определить Ч~ формулой з)з <р=— (19.4.2) г' ! — У'/с' то (19.4.1) можно записать в виде 4 х'и = ~ Р"х', (19.4.3) где коэффициенты ри образуют матрицу сЬ4~ О О й| О 1 О О О О 1 О эйнар О О с'п ~р (19.4.4) В оставшейся части данного параграфа будет использоваться согвшивние о суммировании, па которому предполагается, что любой член, содержащий повторяющийся индекс 1например, ч в (19.4.3)], уже просуммирован по этому индексу (по э=1, 2, 3, 4); таким образом, (19.4.3) можно записать просто как х'и рих'. В теории относительности индексы, обозначенные греческими буквами, пробегают обычно значения от 1 до 4, а индексы, обозначенные латинскими буквами, — значения от 1 до 3.
Множество (Р (чй) матриц (или преобразований) указанного выше вида, получаемое, когда ~р принимает все вещественные значения, представляет собой группу, которая будет обозначена через .У„,— эта группа является подгруппой группы Лоренца. Заметим, что из этого уравнения можно получить закон композиции (коллинеарных) скоростей, иначе говоря, получить формулу для скорости, с которой третья инерциальная система отсчета движется относительно первой системы, через скорость второй системы относительно первой и скорость третьей системы относительно второй; вывод формулы оставляем в качестве упражнения. Если вторая система отсчета получается лишь путем вращения первой системы в пространстве, то преобразование задается мат- группу Лоренца, в противном случае — собственную группу Лоренца.
Смещение начала координат здесь не обсуждается, так что рассматриваемые преобразования однородны, т. е. уравнения не содержат постоянных членов. Если ввести обозначения (обычные для теории относительности) х'=х, х'=у, х'=г, х'=с( 41 19.4. Груням Лоренца рицей вида о (г) о о о о о! (19.4.6) где через й' обозначена матрица размера Зх 3 собственного вращения, т. е элемент группы 50 (3).
Множество всех таких матриц (или преобразований) является подгруппой вращений группы Лоренца и обозначается через Я. Группа, порождаемая элементами групп .У„и Я, т. е. группа, СОСтОЯЩаЯ ИЗ ВСЕХ КОНЕЧИЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ [гх()х ЩР ГДЕ Каждый множитель [',1, имеет вид либо (!9.4.4), либо (19,4.6), называется собственной (или ограниченной) группой Лоренца и обозначается через .Ур. Собственная группа Лоренца является связной в следующем смысле. 100 0 010 0 001 0 000 — ! (19.
4Л) причем соглашение о суммировании применено как к р, так н к ч. Если 4-меРный вектоР хи в квадРатичной фоРме Уи,хих' заменить сначала на х" + у", а затем на х" — у" и из первого результата вычесть второй, то видно, что инвариантность квадра. тичной формы у„,хих" эквивалентна инварнантности симметрической билинейной формы днтхнут=х'у'+хауз+хауз — х'у'. Лемма. Если Я,— произвольный элемент группы .Ур, то существует однспараметрическое семейство (',!()г) элементов группы .Ур, таких, что все матричные элементы непрерывно зависят от Х для 0()гя Х„причем ()(0)=7, (е(лч)=(ен Доклзлтгльство Во-первых, любой злемент Р (н) нз группы,л можно перевести в единицу группы, меняя н непрерывно от нуля до его конечного значения; зо-вторых, любой зленент тг из группы Я можно перевести в единицу, меняя непрерывно угол вращения от нуля до его конечного значения; поэтому если Ое ОхЦх...ЦМ где кажлый Ог принадлежит либо Х„, либо Я, то в качестве интервала [О, хе! можно принять [О, Л, а [) (Х! можно выбрать так, что О (0) =Г, О(!) От, Ц (2) = Охйз и т.
д. и, наконец, О О) = =Цхйх...Ог, причем для нецелых значений параметров используется интерполяция. Проверка показывает, что фундаментальная (квадратичная) форма (х')х+ (х')'+ (х')' — (х4)з инвариантна относительно всех преобразований групп .У„и Я, а значит, и относительно всех преобразований группы .У . Эту форму можно записать в виде днтх'х', где Гж лр. !!енрсрывмем еруппы Теперь можно определить полную (однородную) группу Лоренца как группу всех однородных линейных преобразований х*,... ..., х', относительно которых дн,хнх' инвариантна для всех 4-мерных векторов хн; эта группа обозначается через .У . Пусть преобразование хн х'н = днх' — произвольный элемент группы .У .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
