Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Разложение данной перестановки в произведение транспозиций не является однозначным, но сейчас мы докажем, что для данной перестановки число транспозиций или всегда четно, или всегда нечетно. В самом деле, пусть 7(...) — функция и вещественных или комплексных переменных, определенная следующим образом: ) (х„..., х„) Ц (хя — ху), (18.4.4) ««я<п и пусть л: ! л'(/) — перестановка целых чисел 1, 2, ..., и; обозначим )'и (х„..., х„) = П (х.„м — хя щ). (18,4.5) ~<<<я<о Если х„— х1 — любой из множителей в (18.4,4), то или х„— хн или х,— хя появится в точности один раз в качестве одного из множителей в (!8.4.5), так что или !'„==1, или )' =— — 1; соответственно этим случаям л называется четной или нечетной перестановкой. Это свойство называется четносп<ью перестановки л.
Если две перестановки имеют одинаковую четность (т. е. онн обе четны или обе нечетны), то их произведение четно; если они имеют различные четности, то их произведение нечетно. Ясно, что транспозиция (12) нечетна, ибо тогда все множители в (18,4.5) имеют тот же знак, что и в (18АА), кроме множителя х,— х,. Далее, видно, что транспозиция (11)=(21)(!2)(21) обязательно нечетна и, наконец, что общая транспозиция ()н)=(1у) ((н) (1у) всегда нечетна. Следовательно, в любом разложении четной (нечетной) перестановки в произ. ведение транспозиций число множителей всегда четно (всегда нечетно).
!З.5. Гомоморфиамы. Нормальные подгруппы Существует столько же нечетных, сколько четных перестановок данного множества С, так как если и,— любая фиксированная нечетная перестановка, то отображение пгп-+и четных перестановок на нечетные является взаимно однозначным. Ясно, что множество всех перестановок и символов (включая, конечно, тождественную перестановку, в которой каждый символ отображается на себя) представляет собой группу порядка и! относительно обычного закона композиции отображений (справа налево); эта группа называется симметрической группой и символов и обозначается через г"„.
Подгруппа всех и!/2 четных перестановок называется знакопеременной группой и символов и обозначается через о(„. 1влк ГОМОМОРФИЗМЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ Напомним, что гомоморфизмом является отображение р:6 — «6' группы С в группу 6', такое, что ьр(аЬ)=ьр(а)ер(Ь) для всех а и Ь из 6. (Если ьр к тому же взаимно однозначное отображение на всю группу 6', то мы имеем изоморфизм.) Определим некоторые подмножества групп 6 и С' (мы увидим, что на самом деле эти подмножества представл.яют собой подгруппы): 6, (х! ьр(х)=е' (единица группы 6')) ядро отображения = )сег (~р); 6; =(ьр (х): хЕ6) =образ 6 при ер=<р(6) (см.
рис. )8.2). Наибольший интерес представляет случай, когда образ 6; =ьр(6) является более простой группой, чем 6 (в таком и; Р(п) Сь Р Рис, 18.2. Гомоморфивм группы й в группу 6'. случае ьр не может быть взаимно однозначным), однако все же гр(6) не сводится к тривиальной группе (е'). Тогда можно'считать, что этот образ обладает основными свойствами группы 6, но без некоторых тонкостей.
В этом смысле гр(6) аппроксимирует 6 настолько точно, что образ произведения двух элементов из 6 всегда является произведением их образов. !б Гл. эу. Элементарная теория групп Теорема. Лодмноэхества б, и б; являются подгруппами групп б и б' соответственно; кроме того, уху">Е6„для любого х из 6, и любого у из б.
Мы проведем детальное доказательство этой теоремы для того, чтобы продемонстрировать образец подобных доказательств. Доказательство большинства других теорем этой главы предоставляется читателю. (1) Доказательство (топь что бе < 6). НУжно доказать, что в бе выполняются аксиомы группы. Во-первых, допустим, что х и у принадле. жат бе, т. е. ф(х)=е' и ц>(у)=е' Нужно показать, что грабе, Так как Ч> (ху) =Чэ (х) ц> (у) (в силу того, что отображение ц является гомоморфизмом), то ф(ху)=ее'=е' (в силу свойства единицы в любой группе). А поскольку йе определялось как множесэво лил элементов группы 6, которые отображаются в элемент е', то ху принадлежит бе.
Во-вторых, закон ассоциативности выполняется в 6, автоматичесни, так как он выполняется во всей группе 6 [если х, у и г принадлежат группе бе, то (ху) г=х (уг), поскольку х, у, г принадлежат также группе 61. Третью аксиому рассмотрим в альтернативной форме, приведенной в замечании в й (8.!. Суи(естлолание единицы: б, содержит единицу е, ибо если а — произвольный элемент 6, то ~р (а) ц> (е).= = эр (ае) = р (а); следовательно, эр (е) = е'. Существование обратного элемента: допустим, что а принадлежит 0„(значит, ~р (а) =г'); тогда е' ~р (е) ч> (аа >) = Ч>(а) Ч>(а-') еэц>(а э) ц>(а-'>, т. е. а-' принадлежит бе.
(2) Доказательство (того, что 6,' < б'). Совершенно аналогично доказывается выполнение ансиом группы в б,. Во-первых, если х' и у' принадлежат б„то х' эр(х) и у'=эр(у) для некоторых х и у из 6, но х у' = = у (х) ц> (у) =ц> (ху) и так как бэ было определено как множество всех таких элементов группы 0', которые равны эр г) для некоторого губ, то х'у' принадлежит 6,. Во-вторых, умножение ассоциативно в бэ в силу того, что зто свойство имеет место во асей группе б', В-третьих, ранее было показано, что ц>(е)=е', следоваь льна, е' ~ О,. Наконец, если х' ~ б„ то х' =Чэ(х) для НЕКОтсрОГО Х~б, НО ХэЭр(Х З)=ЧЭ(Х)Эр(Х Э)=ц>(ХХ ')=Эр(Е)=Е', ОтКуда следует, что эр(х Ь) является обратнын элементом (х') э для элемента х'! следовательно, (х')" з Ч б~.
(3) ДокАзАтельство (того, что уху-з принадлежит бе, если х ~ бе, а у — произвольный элемент 6). ц>(уху ") =т(у)~р(х) ц>(у->)=чэ(у)еэч>(у ') =ч>(у)Ч>(у г)=Ч>(у) (ц> (у))" э=е'! следовательно, уху-' ~ 0„. Замечание. Все эти заключения справедливы даже в том случае, когда б' не является группой, а представляет собой лишь множество, на котором определено произведение х'у'. В частности, тогда следует, что подмножество 6; обязательно является группой, даже если б' может не быть таковой. Все рассуждения остаются в силе, за исключением второго этапа части (2) приведенного доказательства. Для доказательства закона ассоциативности в 6,' возьмем в б; элементы х', у', г', т.
е. элементы вида гр(х), ч>(у), ч>(г). Тогда (х'у')г'=(ср(х)гр(у))ч>(г)=эр(ху)ч>(г)= И.б. Смежные классы = ф ((ху) г) =ф (х (уг)) (последнее равенство благодаря ассоциативности умножения в 6)=Ч (х)ф(уг)=ф(х)(ф(у)ф(г))=х'(у г ). Любая подгруппа 6, группы 6, такая, что уху 'Е6„для любого хЕ6, и для любого уЕ6, называется нормальной подгруппой (или нормальным делителем) или инвариантной или самосопряженной подгруппой группы 6; символически 6,<) 6. Ясно, что гомоморфизм интересующего нас вида может существовать только в том случае, когда 6 содержит нетривиальную (отличную от (е)) собственную (т.
е. не совпадающую со всей группой 6) нормальную подгруппу 6,. Если 6 не содержит такой подгруппы, то группа 6 называется простой, поскольку она не может быть гомоморфно отображена на какую-либо еще более простую нетривиальную группу. В Э 18.8 будет доказано обратное утверждение если 6 содержит нормальную подгруппу, то можно построить гомоморфизм, для которого 6, является ядром, и при помощи этого построения получаются все (в смысле изоморфизма) гомоморфные образы группы 6.
Для любого элемента х элементы вида уху '(уЕ6) называются сопряженными с элементом х. Подгруппа является нормальной тогда и только тогда, когда она содержит все сопряженные со всеми ее элементами. В абелевой группе уху '=х, и поэтому любая подгруппа является нормальной. !Ь.ь. смежные клАссы Пусть 6,— подгруппа группы 6, а у — произвольный фиксированный элемент из 6. Подмножества 5вь=(у ох: хЕ6,), 5~ =(хе у: хЕ6,) называются соответственно левым и правым смежными классами в группе 6 по подгруппе 6,.
Элемент у называется представителель смежного класса ф' (или класса 5,'"). Любой элемент смежного класса можно рассматривать в качестве его представителя. Сама подгруппа 6, является как левым, так и правым смежным классом; в качестве представителя этого класса можно взять единичный элемент е данной группы. Соответствие х уь х для данного у н всех хб 6, есть взаимно однозначное отображение 6, на 5',' (аналогнчно для правых смежных классов); следовательно, каждый смежный класс содержит то же число (конечное илн бесконечное) элементов, что и подгруппа 6,, Кроме того, легко доказывается, что любые два левых смежных класса по подгруппе 6„(любые два правых) или совпадают, или же не имеют ни одного общего элемента, так что число элементов в 6 (если оно конечно) равно числу элементов 6„умноженному на число смежных классов (скажем, левых), включающих и саму под- га Гл. !6, Элементарная теория груня группу б,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
