Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Группа 6 порождается группой трансляций У х — х' = к+е и группой М вращений вокруг начала координат х х' =Мх. Га. !В. Эееменпеарпап теорие групп (Операцией (законом композиции) в 'Г является векторное сложение $, +$„а в группе М вЂ” матричное умножение М,Л4,. Здесь Ю' обозначает группу всех трансляций, а не только трансляций решетки.| Комбинированное преобразование (18.15.2) обозначается через (в, М), как и в предыдушем параграфе, где было показано, что операция в 6 задается правилом (ьо Л4,) о ($„Ме)=(в, +Л(Д„М,Ме). (18,15 3) Если бы правая часть этого равенства имела вид (ч, +в„Л4,М,), то группа 6 была бы прямым произведением групп о и А.
Значение члена МД, для данных двух групп состоит в следуюшем. Во-первых, для фиксированной матрицы М отображение М$ для всех $ группы Я на себя есть автоморфизм (поскольку оно взаимно однозначно и является отображением на всю группу (М обратима)) и отображает З+т) на МВ+Мтй этот автоморфизм обозначается через т(М). Во-вторых, когда М пробегает по всем элементам М, построенные автоморфизмы образуют группу А, которая является подгруппой группы всех автоморфизмов группы трансляций 'Г.
В-третьих, отображение М т(М) для всех М Е Я есть гомоморфизм группы Я на А, так как если к произвольному элементу $ из у применить автоморфизч т(М). В- Ьс=й!З, а к полученному образу применнтьавтоморфизм т(Лг): 5' $"=Лга', то результатом будет отображение  — ЛгМ$, а это значит, что т (Лг) т (М) = т (Лгй(). Определение. Пусть Н и К вЂ” две произвольные группы (в обеих группах операцию будем записывать в виде умножения), и пусть задан гомоморфизм в — т(в), отображаюший группу К в группу автоморфизмов группы Н [для заданного А т(в) отображает й на т(в)Л для всех )г из Н1.
Тогда множество всех пар (lг, гг), где 65 Н и (г Е К, с операцией над такими парами, задаваемой в виде (й„гге) о (й„ /гм=()ггт(гг;)йн /г;/ге), (18.154) представляет собой группу, называемую полупрямьгм проивведенг еег групп Н и К (или группы Н по группе К), н обозначается через Н х,К. Основные свойства полупрямого произведения кратко рассмотрены в приведенных ниже упражнениях. Читателю настоятельно рекомендуется выполнить эти упражнения, поскольку в них устанавливается, что данное выше определение, несмотря на кажущуюся достаточно произвольной формулировку, содержит все необходимое, чтобы придать этому полупрямому произведению все желательные свойства.
/8.15. Прямое и полулрлмог произагдгниа групп 33 УПРАЖНЕНИЯ 3 Покажите, что единицей группы 6 Н ХтК является пара (г, е'), где г и г' — единичные элементы Н и К. 4. Покажите, что элемент (т (й-') й-', й т) является обратным (т, е. и левым, и правым обратным) элементу (й, й). 5. Покажите, что в группе 6 справедлив закон ассоциативности. Нргдосюергжеиие: т (й) [й,йз) — это не то же самое, что [т (й) й,) йз, потому что т (й)— отображение, а не элемент группы.
Упражнения 3, 4 и 5 показывают, что 6 является группой, как и утверждалссь в определении полупрямого произведении. 6. Теперь отождествите Н и К с подгруппами ((й, г'): все й приналлежат Н) и ((г, й): все й принадлежат К) соответственно и покажите, что Н— нормальная поагруппа группы 6. 7. Постройте факторгруппу 6/Н и покажите, что она изоморфна подгруппе К. 3, Наоборот, допустим, что группа 6 содержит подгруппы Н и К, одна из которых (Н) является нормальной, причем Н П К=(е) и факторгруппа 6)Н изоморфна подгруппе К; покажите, что в этим случае 6 есть полупрямое произведение, т.
е. Н к,К, где для любого й ц К т (й) является отображением й ййй х для всех й из Н. 9. Покажите, что полупрямое произведение равно прямому произведению Н Х К в том н только том случае, когда т (й) ! [т. е. гомоморфизм й — т(й) группы К в группу автоморфизмов группы Н отображает все элементы группы К в единичный элемент (тождественное отображение группы Н на себя)). [О.
Покажите, что подгруппа К, также как и Н, являетсн нормальной подгруппой группы 6 тогда и только тогда, когла т(й) = П т. е в тои и только том случае, когда произведение является прямым Упражнение 8 показывает, что автоморфизмы т(й), которые фигурируют в прямом произведении двух заданных групп Н н К, суть внутренние автоморфизмы группы Н х,К.
Этот факт не сонсем понятен в случае группы движений 6 при использовании аддитивных обозначений для группы трансляций 37 . Если же трансляцию х х'=х+5 обозначить через Тй и использовать мультипликативные обозначения, так что ($, М) будет просто результирующей операцией ТЕМ, то Тм;=МТЕМ '.
Таким абразом, автоморфизм т(М): 5- М$Е йг имеет вид т(М): Т; — МТеМ ', и, значит, является внутренним автоморфнзмом группы 6. В соответствии с предыдущим параграфом группа трансляций некоторой кристаллической структуры, заданная при помощи (18. 14.
2), является нормальной подгруппой пространственной группы 6, н точечная группа бр изоморфна факторгруппе 6,НК' [' напомним, что точечная группа есть группа всех вращений и отражений х Мх, таких, что (5, М) принадлежит 6, для некоторого 5). Группа 6, может как содержать, так и не содержать, подгруппу (скажем, 6,'), изоморфную 6; если 6, содержит такую подгруппу, то агг и 6; могут иметь единственный общий элемент — единицу группы е, поскольку все другие элементы группы зт имеют бесконечный порядок (если ТЕЗИ, то Т ~ г' для 34 Ге. 13. Элементарное теорие грулл всех еп~О), тогда как элементы группы бр имеют конечный порядок.
Следовательно, согласно упражнениям 5 и 6, б, содержит такую подгруппу тогда и только тогда, когда она сама ЯвлЯетсЯ полУпРЯмым пРоизведением 3У х,бр. В таком слУчае кристаллографы называют пространственную группу симморфной. Кристаллограф, приступающий к анализу множества данных по отражению рентгеновских лучей для определения кристаллической структуры, часто заранее знает точечную группу (исходя из Рис. !8.3.
результатов измерения углов между гранями кристалла и плоскостями спайности, а также нз других макроскопических свойств кристаллов). Однако он не может допускать, что рассматриваемая пространственная группа содержит экземпляр этой точечной группы, т. е, допускать, что пространственная группа симморфна. Простой пример неснмморфной пространственной группы в двух измерениях дает функция 7(х, у), равная 1 в заштрихованных треугольниках на рис.
18.8 и равная О в остальной части плоскости. Используя комплексные обозначения, видим, что пространственная группа порождается трансляциями з — ь а+се, з з+ +(й и так называемыми скользящими отражениями з-е. 3+се/2. Следовательно, точечные группы содержат отражения з- г, тогда как пространственная группа не имеет этих элементов.
Полупрямое произведение Н х,7( является примером так иазеяваемого ропиирения группы Н при помощи группы К. Более полное обсуждение расширений групп см. в книге Куроша [1967, гл. 121 или в книге Редеи 11959,'$ 5О]. Глава 19 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ Общие линейные, специальные линейные, ортогональные и унитарные группы; группа вращений и группа Лоренца; теорема Эйлера, четыре компоненты полной группы Лоренца, прецессия Томаса; многообразия группы', ввутренвие координаты; двусвязность группы вращений; гомоморфизм группы о0 (2) на группу зО(З) и гомоморфиэм группы зь(2) на Х 1 простота группы вращений и группы Лоренца.
Лредеарптелывм сведения: гл. 1а и некоторые алгебраичесние факты. Непрерывными группами (формальное определение будет дано в гл. 25) называются группы матриц (или соответствующих линейных преобразований), в которых элементы группы непрерывно зависят от некоторых параметров, подобных углам Эйлера в случае группы вращений. Здесь мы опишем свойства некоторых известных непре. рывных групп. Группа всех невырождеиных (в общем случае комплексных) матриц размера пхл называется оби(ей линейной группой н обозначается через 61.
(п, С). Группа вещественных матриц обозначается через Ж(п, Е), Подгруппы групп 61.(л, С) и 61.(п, Е), состоящие из матриц с бе1=1, называются спет(иальными (или унимооулярными) линейными группами н обозначаются через о(,(л, С) и 51'. (л, Е). Обозначения других подгрупп группы 68(л, С) будут приведены в ходе обсуждения. ерп. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА И ГРУППА ВРАЩЕНМН В матрично-векторных обозначениях плоское вращение (18.1.1) представляется в виде х — х' = гсх, (19.1.1) где х=~ ), к'=(",), гт=Рт =~ . 'Р '"'Р), (!9,1,2) При преобразовании (19.1.1) длина любого вектора и угол между любыми двумя векторами сохраняются, так что если х'=)гх и те'=Ив, то х' тв'=х и для любых двух векторов хи ьу. Га !9. Непрерывлме грципи Найдем теперь преобразования, обладающие таким свойством, в л-мерном случае, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
