Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теорема Лагранжа для конечных групп гласит: порядок подгруппы является делителем порядка самой группы. Из этого следует, например, что если количество элементов и группе 6 предстаиляет собой простое число, то б не имеет никаких подгрупп кроме (е) и самой 6. Смежные классы ф' и 5„"' обозначаются также через уб, и б,у. Отметим, что эти смежные классы, исключая саму группу б, не являются подгруппами. майк ФдктОРГРуппы Теорема 1.

Подгруппа 6, группы б является нормальной тогда и только тогда, когда каждьш" левый смежный класс в группе 6 по подгруппе 6, совпадает с соответствующим правым; тогда смеясный класс, содержащий у, можно обозначить через 5„. (Доказательстио элементарно и предлагается и качестве упражнения.) Определение.

Если 5, и 5,— любые дна подмножества (причем не обязательно подгруппы или смежные классы) элементов группы, то их произведение определяется как подмножестио еи 5,5,=(г, ог, г;Е5я, г,Е5,); (18,7,1) отметим, что и общем случае 5,5,=~5,5е, Если 5г и 5,— смежные классы (леаые или правые), то их произведение в общем случае не является смежным классом (обычно это множество больше, чем любой смежный класс). Исключение составляет случай, когда 6, <,1 б.

Теорема 2. Если б, †нормальн подгруппа группы 6 (С, <36), то 5 5, = 5 для всех у, и у, в 6. Обратно, если ф— подгруппа причем такая, что произведение любых двух (скажем, левых) смежных классов всегда представляет собой (левый) смежный класс, то б, ч,1 6 (в этом случае различие между левым и правым смежньиии классами исчезает). При этих условиях множество смежных классов (5,: уЕ 6) образует группу по отношению к операции умножейия, определенной в (18.7.1).

Эта группа называется факторгруппой группы 6 по нормальной подгруппе 6, и обозначается через 6/бг. Далее, отображение ~Р„: 6 — б!6„ определяемое как ер„(у)=5„(каждый элемент группы 6 отображается на смежный класс, в котором он находится), представляет собой гомоморфизм, называемый естественным гомоморфизмом группы 6 на 6~6„. Согласно этой теореме, доказательство которой также предостаиляется читателю, всегда можно построить гомоморфный образ !9 1В.9. Структура циклических групп и гомоморфизм, соответствующий любой нормальной подгруппе 6,. Из теоремы следующего параграфа вытекает, что такие гомоморфиз- мы, в сущности, являются единственными гомоморфизмами данной группы 6.

18.8. ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМАХ Ч'(5,) =ф(у), (!8.8.1) во-первых, вполне определено (в смысле независимости от частного выбора представителя у смежного класса 5 ), а во-вторых, является изоморфизмом. Схелиипически зто можно изобразить так: ~(г(6) С 6!6 Рчгя Ь чя тьвч] Читателю настоятельно рекомендуется провести подробное доказательство теоремы; подчеркнем лишь, чтб, собственно, должно быть доказано.

Чтобы доказать, что Ч" вполне определено, нужно показать, что из 5, =5„следует ф(у,)=ф(уг). Для доказательства взаимной однозначности отображения Ч' мы должны показать, что из чр(у,)=ф(уы следует 5ч =5гс Далее следует показать, что Ч' обладает свойством гомоморфизма, т. е.

Ч' (5„5, ) = Ч' (5, ) Ч' (5, ). Наконец, совершенно очевидно, что Ч" является от бражением факторгруппы на весь образ чр (6), ибо любой элемент из ф(6) есть чр (у) для некоторого у из 6. 18.9. СТРУКТУРА ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП Как было указано в ь 18.6, группа, порядок которой есть простое число р, не имеет никаких нетривиальных собственных подгрупп, следовательно, она является обязательно циклической (а потому абелевой) и может быть порождена любым из своих элементов (исключая единицу), поскольку, по теореме Лагранжа, порядок любого элемента (т. е. порядок подгруппы, порожденной этим элементом) должен быть илн 1, или р.

(Единственным эле- Теорема, Пусть чр: 6 6' — произвольный гомоморфизм, и пусть 6,— его ядро, а чр(6) — образ группы 6 в 6' при отображении ф. Обозначим через 5, смежный класс в 6 по подгруппе 6„ в котором содержится элемент у. Тогда ф(6) и факторгруппа 6)6, изоморфны. Точнее, отображение Ч'. 6)6, чр(6), задаваемое формулой Гл. 18. Элементарная ямория групп ментом порядка 1 в группе является единица е, ибо нз а' =е, где ( 1, следует, что а=е.) Если 6 = (е, а, а', ..., а" ')— циклическая группа порядка п, а т †делите и, то элементы е, а", а', ...

составляют циклическую подгруппу порядка п/т и такие подгруппы являются единственными подгруппами группы 6. В бесконечной циклической группе любой элемент, отличный от единицы, порождает бесконечную циклическую подгруппу, причем такие подгруппы являются единственными нетривиальными подгруппами; все онн различны, но изоморфны. тала. тРАнсляции' ).

Внутренние АВУОмОРФизмы Взяв произвольный элемент а группы 6, обозначим через Т, отображение группы 6 на себя, заданное соответствием х ах (х Е 6); это отображение называется левой трансляцией в группе 6; отображение вида х ха для фиксированного а называется пра. вой трансляцией. Упрлжнн>ие (. Покажите, что множество Р всех левых трансляций в П иредстазлзет собой группу относительно обычного закона композиции отображений. Покажите, что группа йр изоморфна Й. Примечание 1. Любой гомоморфизм группы 6 (абстрактной или иной) на группу отображений называется представлением группы 6. Изоморфизм 6 ем вг называется регулярным представлением группы 6.

Если представление является изоморфизмом (а не только гомоморфизмом), то оно называется точным. Регулярное представление является точным. Примечание 2. Если 6 — конечная группа, то отображение 'Га представляет собой перестановку элементов группы 6; следоваательно,,р является некоторой подгруппой группы д*„(см. конец з 18.4), где п — порядок группы 6, т. е. любая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок (теорема Кали). Обозначим через А, отображение группы 6 на себя, задаваемое соответствием и аха ', где х — любой элемент группы 6, а а— фиксированный элемент группы 6.

УпРАжнение 2(а). Покажите, что множество 3 всех отображений А«в о является группой относительно обычного закона композиции отображений. (б). Найдите Г>, если б=«йз. (в). Найдите З > если 6=«(«. Примечание 3. В любом случае 2 представляет собой некоторую подгруппу группы У„,=Ха для упражнения 2(б) н некоторую подгруппу группы х„для упражнения 2(в).

') Можно было бы использовать термин «сдвига>, но в фиаических приложениях чаще встречается термин «трансляцииж — Прим. перев. lе.!!. Подгруппа групп»! «»г« Примечание 4. Выражение «найдите У» означает, что нужно отождествить г с группой, изоморфной некоторой известной группе. Примечание 5.

Каждое из отображений А, есть автоморфизм, называемый внутренним автоморфизмом группы 6, ибо, во-пер. вых, оно взаимно однозначно и является отображением на всю группу, поскольку уравнение аха '=у всегда имеет единствен. нос решение х (х=а 'уа); во-вторых, это отображение обладает свойством гомоморфизма, т. е. произведения отображаются в произведения, поскольку ах»са '=ахи "ацга '. Группа г называется группой внутренних автоморфизмов группы 6. Внутренние изоморфизмы группы У„обладают особым свойством. Пусть элемент и принадлежит а.„; запишем и в виде произведения независимых циклов, как в (18.4.2) (два цикла являются независимыми, если они не содержат общих символов; (173) и (24) независимы, а (!73) и (34) нет~, причем более длинные циклы записываются первыми, а также включаются циклы длины 1. Тогда длины этих циклов составляют разбиение числа п, т е.

последовательность целых чисел, сумма которых равна и. Особое свойство, о котором мы упомянули, заключается в том, что образ элемента п при внутреннем автоморфизме группы д'„ (и опп ', где о — некоторый заданный элемент у'„) всегда соответствует тому же разбиению числа и, что и сам и, поскольку если (а, Ь, ..., !) — любой цикл, то о(а, Ь, ..., 7)п ' является циклом (о (а), п(Ь), ..., о(!)). Если а и х принадлежат группе 6, то элемент аха ' называется сопряженным с х. Внутренний автоморфизм А,: х аха ' (а фиксирован) отображает каждый элемент группы х на один из сопряженных с ним элементов. Если 6« — подгруппа группы 6, то множество 6, (аха '~ хЕ6„) есть тоже подгруппа, часто обозначаемая через аб,а * и называемая сопряженной с 6„подгруппой. Если а6„а ' 6, для всех а из 6, то 6, <! 6.

Поэтому нормальные подгруппы иногда называют самосопряженными подгруппами. В группе У„сопряженными элементами являются элементы, имеющие одинаковую структуру записи в виде произведений независимых циклов, например (1732)(56)(4) и (4531)(75)(2). »зли подгууппы гяуппы,у« Симметрическая группа У«помимо тривиальной подгруппы (е) и самой 6 имеет 22 подгруппы. Разбивая их по классам сопряженных подгрупп, мы имеем: Гл. <б. Эламентариал теории грува !) (е, (12)) и т. д.— шесть подгрупп; 2) (е, (123), (132)) и т. д.— четыре подгруппы; 3) (е, (!234), (13)(24), (1432) ) и т.

д.— три подгруппы; 4) (е, (12)(34)) и т. д.— три подгруппы; 5) (е, (12И34), (13)(24), (14)(23))=Ь',— одна подгруппа; 6) (е, ( ! 23), (124), (1341, (234), (32 1), (421), (43! ), (432), (12)(34), (13)(24), (14)(23) )=А„— одна подгруппа; 7) (е, (12), (13), (23), (!23), (321) ) — четыре подгруппы, Любая подгруппа из определенного класса (определенной строки приведенной таблицы) может быть получена из любой другой подгруппы того же класса при помощи внутреннего автоморфизма всей группы д',. Например, при отображении и -(12)п(12) элементы группы (е, (134), (431)» переходят в элементы группы (е, (234), (432)». Мы видим, что единственными нормальными (или инвариантными, или самосопряженными) подгруппами являются (У< н А,, каждая из которых единственная в своем классе. Однако каждая из подгрупп в классе 4 является нормальной подгруппой группы !', (откуда следует, между прочим, что из 6, с,)6, ч)6, отнюдь пе вытекает 6, с.)6,).

Характеристики

Список файлов книги