Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Остается (в виде упражнения) проверить, что в правой системе координат (19.6.1) определяет Я(О), а не В( — О). рис. 19.1. При помощи внутренних координат О„, О„, О, можно выяснить свойства поверхности У в пространстве Р, определенной алгебраическими уравнениями (19.5.1) — (19.5.3). Каждая точка шара К соответствует единственной точке иа поверхности У, исключая противоположные концы любого диаметра К, которые соответствуют одной и той же точке поверхности У, и девять координат точки поверхности У являются непрерывными функциями внутренних координат в шаре К согласно (19.6.1).
Поэтому д' — связная поверхность, поскольку любая точка шара К может быть связана с любой другой точкой К некой кривой (на самом деле прямолинейным отрезком), лежащей в К. Однако У не являе1ся однвсвязной. Пусть на связной поверхности заданы две произвольные точки А и В и две любые кривые (путн) С, и С„лежащие на этой поверхности и соединяющие А с В (рис. 19.1). Если С„не оставляя поверхности, может быть преобразована в С, непрерывной деформацией, то такая поверхность называется односвязной. Плоскость и сфера односвязны, тогда как поверхность тора, поверхность цилиндра, круговое кольцо К;-'<х'+у'< Й не являются одиосвяэными.
Среди трехмерных тел шар, куб, сферический слой Й,'< хг+уг+ге < Ве односвяэны, тогда как тор и крендель не являются одиосвязными. Покажем, что многообразие г группы 50(3) не является одно- связным. Пусть А — точка в г, соответствующая центру шара К, Ге. еу. Неирерыеюие ерупеы а  — точка в г", соответствующая двум концам некоторого диа. метра шара К (рис.
!9.2). Тогда два радиуса, составляющие данный диаметр, соответствуют в У' двум кривым, илн путям, которые соединяют А с В, и очевидно, что один такой путь Рис. !9.2. нельзя непрерывно деформировать в другой. Однако любой другой путь из А в В можно непрерывно деформировать в один из указанных путей. 19.7. ГомОмОРФизм ГРуппы мг(2) на ГРуппу 80(з) Пусть х, у, г — декартовы координаты в евклидовом пространстве Е'. рассмотрим матрицу А ( .
), (19.7,1) которая является эрмитовой матрицей н имеет след, равный нулю. (След матрицы есть сумма ее собственных значений и равен сумме ее диагональных элементов.) Пусть (7 — любая унитарная матрица размера 2х2 с детерминантом, равным 1 (т. е. (7 ЕВ(7(2)1. а А' == У АР. (19.7.2) Поскольку собственные значения матрицы А' совпадают с собственными значениями матрицы А, след матрицы А' также равен нулю; А' тоже эрмитова матрица (А'*=А'), и ее можно записать в виде А' *..., (19.7.3) где х', у', г' — вещественные числа. Кроме того, де1 А'=де1 А, что следует нз (19.7.2), и, значит, хе+ уе+ ге х" + у"-1-г". (19.7А) Очевидно, что связь между х, у, г и х', у', г' линейна при заданной матрице (7; следовательно, если мы определим вещественную мат- /9.7.
Гомоморфизм группы 5П(У) па группу 50(8) 49 рицу )т=)т(У) размера Зз43 посредством (~)= 8 то Й вЂ ортогональн матрица. Общее замечание об ортогональных унитарных и лоренцевых преобразованиях. Допустим, что однородное линейное преобразование х — х' в вещественном а-мерном пространстве таково, что оно оставляет инвариантной квадратичную форму х х кв+... ... +х„", т. е, х х=х' х' для всех х. Тогда инвариантной является и билинейная форма х у для любых х, у, так как х У в= ')в (х + У) (х + У) — г/в (х — У) (х — У). Иначе говоря, если сохраняются все длины, то сохраняются и все углы. Аналогично, если (., -) обозначает эрмитово симметрическое (т. е.
полубилинейиое) скалярное произведение в комплексном п-мерном пространстве, то (х, у) является инвариантным для любых х, у в том и только том случае, когда (х, х) инвариантно для всех х. Таким образом, ортогональную и унитарную группы можно характеризовать ннвариантностью либо квадратичной, либо соответствующей билинейной формы. УПРАЖНЕНИЕ Сформулнруйте аналогнчный результат для группы Лоренца. Детерминант матрицы гг равен 1 по непрерывности, поскольку единственно возможными значениями г(е1)т являются -+1, г(е1 )г непрерывно зависит от У и 5У(2) — связная группа. [Если У— единичная матрица размера 2х2, то )7(У) есть единичная матрица размера ЗзсЗ с детерминантом, равным Ц Произведение )т(Ут) Я(Уз) равно гг(УтУз), потому что )т(Ут)гг(Уз) представляет собой результат последовательного преобразования А сначала в У,АУ;, а затем в У,У,АУ;У;.
Следовательно, отображение бу: у — г(у) есть гомоморфизм. Мы утверждаем без доказательства, что это— отображение на всго группу 50(3)'). Легко видеть, что ядром этого гомоморфизма будет (!, и поэтому с каждым гг Е50(3) связаны два элемента У и — У группы 5У(2). В 9 19.9 будет доказано, что группа 50(3) является простой и, значит, никакие другие нетривиальные гомоморфизмы группы 50(3) невозможны. ') То есть каждый элемент нз 50(3) является образом хотя бы одного злемента нз 50 (2).— Прим. перев. Гл. !р. Непрерывные гррллы 19.З.
ГОМОМОРФИЗМ ГРУППЫ 5ь (2, С) НА СОБСТВЕННУЮ ГРУППУ ЛОРЕНЦА .ь Гомоморфизм, полученный в предыдущем параграфе, весьма легко расширяется. Пусть х, у, г, ! — координаты в пространстве времени (при этом система единиц выбрана так, чтобы с=1). Тогда матрица /(+г к — »у А=', »х+1у ! — г эрмитова и де( А=Р— х' — у' — г'. Если Р— произвольная (комплексная) матрица размера 2х2 с детерминантом, равным 1, то матрица А'=РАР* также эрмитова н, значит, может быть записана в виде Г+ г х' — 1'у' А' = ;х'+»у' !' — г' -(: .'..
Но с[е( А'=г)е1А, и поэтому Р— х' — у' — г' = (" — х" — у" — г". Иначе говоря, матрица Р из Я. (2, С) индуцирует некоторое преобразование Лоренца Т, Ясно, что отображение Р Т обладает свойством гомоморфнзма, именно если Р, — Т, и Р, Т„ то Р,Р, — ТТТ,. Фактически это (2- 1)-гомоморфизм группы Я. (2, С) на группу. 9'л, т. е. гомоморфизм, отображающий два элемента Я,(2, х.) в одйн элемент .2' . 19.9. ПРОСТОТА ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ И ГРУППЫ ЛОРЕНЦА Теорема. Группа вращений Ю (3) является простой. доказательство. Допустим, что 0э — нетривиальная нормальная подгруппа: 0э с, 50 (3). Нужно доказать, что 0э=50(3).
Пусть АэЕ0э, причем [гэ Ф !. В э 19.2 было доказано, что лля любого )( из 50(3) преобразование х )Тх можно описать как вращение на некоторый угол 0 вокруг некоторой фиксированной осн. Обозначим через 0 вектор, взятый в положительном направлении этой оси и имеющий длину [[8[[=8, н выразим )Т в виде й= й (8), как в й 19.6, Тогда )сэ — — )1(Вэ) для некоторого вектора Вэ к О. Предположим теперь, что В,— любой другой вектор с той жс длиной, что и Вч (1 0»1=18э 1), а й» вЂ” вращение, переводящее 0» в Вэ.
Тогда й~ 'й (Вэ) й» принадлежит подгруппе 0а, поскольку она нормальна; но )Т» й (Вэ) )»»» — — у( (8»1, и, следовательно, подгруппа 0э содержит любой элемент )с (В) о 1В1=10ф Далее, 0» также содержит кажлый элемент )с (В) 1Т (Вэ) для [[81=1 8э; ои является элементом )г (В') для некоторого 0'=В' (8, Вэ).
Очевидно, что 18'1 — непрерывная функция компонент вектора О. [Напомним, что явное выражение й(8) через компонеяты 0„, 0„, 0 приведено в э 19.6.! Для 8= — В„и 8=+ Вэ ллина 10'1 Равна О и 2[[Во( соответственно. Слеловательно, для любого угла 8 из интервала 10, 210Д 0э содержит хотя бы один элемент й 10), такой, что 18[[=0. Снова используя то, что 0„— нормальная подгруппа, устанавливаем, что О, содержит любой )с (В), такой, что 19.9.
Простота груллм враигвний и груллм Лоренца 51 0 ~(0() а 2) О, й но если Л (О) пренадлежит б„то н Л (О) П (О) =Я (20) пренадлежит бв, н П(30) принадлежит б, н т. д.; следонательно, подгруппа бв содержат любой элемент Я(0) ллн 0~(~0)~~п т. е.
ба=50(3). Собственная группа Лоренца также является простой, но доказать зто сложнее. Глава 20 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Е ВРАЩЕНИЯ И СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ Представление; точное представление; размерность; прнводнмостан непрнводнмое представленне; законы преобразования тензороа; представлення групп 50 (2) н оО (3); ннфнннтезнмальные операторы; операторы поднятия н опускання; эффективное н транзнтнвное действие группы; однородное пространство; регулярное представление; тессеральные гармоннкн; многочлены Лежандра н присоединенные функцнн Лежандра; рекуррентные соотнозпення н дифференциальное уравнение для Р7; формула Родрнга для Р7; ортонормнрозанность н полнота тессеральных гармоник; теорема сложения. Предварительные сведения; гл.
!В н 19; элементарная теорня матрац; знаком- ство со спецнальнымн функпнямн мзтематнческой физики. В этой и в двух следующих главах будет показано, что имеются существенные связи между тремя столь, казалось бы, разными дисциплинами, как представления групп, классические специальные функции и квантовая механика, Представления групп тесно связаны с различными специальными функциями математической физики. В определенном смысле первостепенная роль этих функций заключается в демонстрации отношений симметрии. Например, функции Лежандра появляются (через сферические гармоники) в задачах со сферической симметрией в таких разных областях, как электростатика, акустика, теплопроводность, перенос нейтронов, квантовая механика водородоподобного атома. Функции Бесселя (с целыми н полуцелыми индексами) возникают большей частью в задачах распространения волн, но более глубокое исследование показывает, что эти функции связаны скорее с некоторыми типами симметрии, чем с механизмом волновых процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
