Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Полным так называемым компоаиционным рядом (см. ниже) группы чу'< является ряд (и» .з (е, (12) (34)» ~(уа )А< сод< (18.11.1) Для и 5 А„является простой группой (она не имеет никаких нетривиальных собственных нормальных подгрупп), так что композиционный ряд сводится к ряду (» ~А..) УПРАЖНЕНИЕ <. Покажите, что Аа — простая группа (схема доказательства приводится ниже). Допустите, по оз с<Ам причем оз ~ (е); затем нужно доказать, что О„=Аз. Покажите, что ба должна содержать элемент и одного из следующих типов (а) (а Ь с), (б) (а Ь)(с 4, (в) (а Ь с «е). Тога < группа бз содержит все элементы оио-', где о с А„покажите, что оиа .одержит все элементы того же типа, что и и.

Покажите, что если бз включает все элементы одного из вышеуказанных типов, то оиа включает элемеиты (а следователь«о, вообше все элементы) обоих других типов, иааример, если группе Оь ирииадлежат элементы типа (а), то ей принадлежит и элемеа< (!23) (234! =(2!) (34). Г!очему это доказательство ие проходит Лли <!ростота А, авлиетси ключевым моментом в доказательстве Галуа невозможности разрешить уравнение пятой степени в радикалах Композиционный ряд группы 6 представляет собой последовательность подгрупп (6<», такую, что (е» = 6, 0 6„с.)....а 6„= 6, (18.11.2) Иду.

Образующие элементы и определяющие аютиаимния 23 где 6, ~ 6,, и где уже невозможно никакое уплотнение, т. е. если 6; ~ Й сааб, „то или Н=би или Н =6гщ Коаечная группа всегда имеет композиционный ряд. Если 6 — некоторая бесконечная группа, то может случиться (см. упражнение 3 ниже), что любой ряд вышеуказанного типа имеет уплотнение. Знаменитая теорема )Кордана — Гельдера гласит, что если 6 имеет композиционный ряд (18.11.2) и если (е) = Н, <3 Н, ч3... к3 Н, =6 представляет собой любой другой композиционный ряд группы 6, то (1) 1=й, (2) хотя подгруппы Н,,..., На, могут отличаться от 6в..., 6з г, но по меньшей мере факторгруппы Н,ун~ Н,)НТ, ..., Н„(Н„, (18,11.3) будут теми же (с точностью до порядка), что и 6,(6„6,/6т, ..., 6а/6а;; (18.11.4) иначе говоря, последовательность (18.!1.3) можно упорядочить таким образом, что каждая группа в ней будет изоморфна соответствующей группе в последовательности (18.11А).

УПРАЖНЕНИЯ 2. Как применить теорему )кордана — Гельдера к композиционному ряду (13.11.1) для группы еУ'в? 3. Покажите, что бесконечная циклическая группа не имеет композиционного ряда. 4. Обозначим через еУ'„множестэо всех конечных перестановок положительных целых чисел (1, 2, ...). (При каждой перестановке из ет зсе элементы, кроме конечного их числа, перехоняг сами е себя.) Покажите, что лт имеет композиционный ряд (е) с) а( с, ву' тал2. Овразующие злементы и ОпРеделяющие сООтнОшения.

СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ Пусть 6 — некоторая группа. Говорят, что подмножество 8= =(а, Ь,... ) элементов группы 6 порождает 6, если любой элемент из 6 может быть представлен в виде (конечного) произведения элементов, каждый из которых либо сам принадлежит 5, либо является обратным некоторому элементу из 5.

(Эквивалентно: любой элемент д из 6 является произведением степеней элементов из 5; степени элемента были определены в 2 18.2 ').) Для полного описания группы, вообще говоря, необходимо указать не только систему образующих этой группы (множество 5), но и некоторые определяющие соотношения между образующими. Например, цикли- ') Элементы множества 5 е таком случае называются образующими эле. ментамн (образующими), а само это множество — системой образующих группы.— Прим, перев. 24 Гл, И. Элементарная теория групл ческую группу порядка п можно описать одним образующим элементом а и одним определяющим соотношением а"=е.

Группа, для которой не требуется никаких определяющих соотношений, называется свободной группой; она строится следующим образом. Пусть 3 — (конечное или бесконечное) множество букв, 5=(а, Ь,...), называемых образующими. Назовем словом конечную упорядоченную систему символов х, х,... х„, где х, является либо буквой из множества 8, либо символом вида а ', причем а Е 8. Два слова равньс, если одно из них можно получить нз другого включением или вычеркиванием (сокращением) пар символов вида аа ' или а 'а (а Е 5). Очевидно, желательно сократить максимально возможное количество пар; это может привести к пустому слову, т.

е. слову, не содержащему никаких букв; обозначим такое слово через е, полагая при этом, что е не является буквой нз 5. (Например, аЬе 'сЬ 'а '=е.) Чтобы получить произведенссе двух слов, нужно просто одно слово написать непосредственно за другим словом: если си=хсх,...хю и=у у ..ус то ис о и =х, ... х ус ...

у, и о нс=ус ... у,хс ... хт Нетрудно проверить, что множество всех слов, состоящих из элементов заданной системы образующих 5, представляет собой группу С относительно указанного произведения, Она называется свободной группой, порожденной множеством 5. Единицей является пустое слово е, а обратным слову х,х,... хк будет слово у„у„,...у„где у;=а ', если х,=а, и у,=а, если х=а '. Определяющие еооспносиения между элементами группы можно устанавливать (в таком случае группа уже не будет свободной) при помощи уравнений шс=е, ш,=е и т.

д., где нс„нс„... — некоторые слова. Эти соотношения определяют структуру группы. Если среди соотношений мы имеем аЬа 'Ь '=е (что эквивалентно аЬ=Ьа) для каждой пары а, Ь элементов из 5, то эта группа является абелевой. Если кроме этих соотношений других непс, то 6 называется свободной абелевой группой. Свободные группы и свободные абелевы группы будут использоваться в 5 23.7 при изучении видов миогосвязностей, которыми может обладать многообразие.

Структура свободной группы или свободной абелевой группы определяется исключительно числом образующих, Любая конечная группа О эквивалентна (т. е. изоморфна) некоторой группе, определенной прн помощи образующих элементов и определяющих соотношений; в качестве 3 можно взять множество всех элементов группы 6, а определяющие соотношения браты так, чтобы получить всю информапию, обеспечиваемую таблицей умножения группы; например, если из таблицы следует, что об=с, то одним из определяющих соотношений будет аЬс '=е.

Если группа определяется конечным числом образующих н конечной системой соотношений, она называется конечно оссреде,сеннои; 1ВЛВ. Кратно периодические функции и кристалла 25 однако эта группа может быть бесконечного порядка, и такие группы создают многие сложные и трудные задачи для современного исследования. Так называемая проблема тождества, хотя и не совсем новая, дает представление об этих трудностях. Помимо определяющих соотношений ш,=е,..., Ф„=е всегда возможны другие уравнения вида ел=у; например, ш может быть равно ср,цее или сиене,еа,', где пее — произвольное слово.

Проблема тождества, впервые сформулированная в 1912 г., состоит в следующем: дана конечно определенная группа, найти процедуру (т. е. алгоритм), такую, что если дано произвольное слово ю, выраженное через образующие группы, то процедура за конечное число шагов должна решить, является ли равенство Ф= — е истинным или ложным. В. Магнус в 1932 г. показал, как получить такой алгоритм для любой группы с одним определяющим соотношением. В 1955 г. П. С. Новиков дал (весьма длинное) доказательство алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в общем случае. В настоящее время известны группы, которые определяются малым числом образующих и определяющих соотношений и для которых может быть доказано, что никакой алгоритм требуемого вида не существует.

$ЗЛЗ. КРАТНО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И КРИСТАЛЛЫ Идеализированный кристалл состоит из очень больпюго числа идентичных элементарных структур, называемых элементарными ячейками и размещенных в виде трижды периодического массива или решетки в пространстве. Если 1'(х) описывает плотность массы или заряда или аналогичную величину на этой структуре, то )(х) является трижды периодическои функцией. В общем случае функция 1(х„..., хн)=Г(х) п вещественных пеРемениых называетсЯ и-кдатно периодической, если существует и линейно независимых векторов ч(1),..., У(л), т. е. векторов, таких, что ; (1) ...

; (и) де1 ФО (18.! 3.1) он (!) ... о„ (л) и что ((х) удовлетворяет уравнениям 1 (х + т (1 )) = 1 (х)„ 1(х + т (2)) = 1(х), (18.13.2) ((х+ч (и)) =1(х) Гл. !В. 9лементарная теория груня для всех х. Векторы ч(1) называются периодами Функции 1(х) если вектор чу †люб вектор вида в=теч(1)+... +т„ч(п), (18.13.3 где т,— целые числа (положительные, отрицательные или нуль), то Г'(х)=)(х+тч) для всех х; поэтому чч является тоже периодом функции ) (х). Кроме того, предполагается, что любой период Г" (х) имеет вид (18.13.3) с целыми коэффициентами; тогда говорят, что векторы ч(1),..., ч(п) образуют фундаментальную систему периодов. Некоторые функции могут не обладать фундаментальной системой периодов даже в том случае, когда они являются периоди. ческими в строгом смысле, например постоянные функции и функции, периодические по некоторым переменным и не зависящие от других переменных.

Такие функции будут называться вырожденными н исключаться из рассмотрения на основании следующих физических соображений: каждый атом занимает некоторый объем, и функции, подобные потенциалу и плотности заряда, изменяются от центра атома к периферии, так что в любом данном направлении в пространстве неизбежны некоторые изменения. Кратно периодическая функция называется невырожденной, если она имеет фундаментальную систему периодов. Множество точек х в ес', определяемое как х=*теч(1)+... +т„ч(п), (18.

13. 4) где т; — целые числа, называется решеткой функции 1(х), Если задать новые векторы ч'(!), ..., ч' (п) в виде ч'(1)= п,,ч(1)+... +т~„ч(п), (18,13.5) где т, †цел числа, такие, что (18.13.6) т«е ° т«« то ч'(1),..., ч'(и) также образуют фундаментальную сисгему периодов, поскольку, если разрешить систему уравнений (!8.13.5) относительно ч (1), то мы увидим, что ч (у) являются линейными комбинациями векторов ч'(1) с целыми коэффициентами. Обе эти фундаментальные системы порождают одну и ту же решетку.

18.14. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ Пусть для любого фиксированного вектора че Т„обозначает трансляцию Т„~ х — х+1ч (для всех х) (18. 14. 1) 3ВЛЛ, Првстранагыенные и пмчечные группы пространства И". Тогда кратно периодическая функция Г(х) инвариантна относительно всех преобразований из абелевой группы чГ = (Т„: чч — период функции Г(х)), (18.14.2) которая называется группой трансляций для функции ((х). Функция ) (х) может быть, конечно, инвариантной и относительно других преобразований, таких, как некоторые повороты вокруг определенных осей, отражения в некоторых плоскостях и т.

Характеристики

Список файлов книги