Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В отличие от математического анализа, теории функций вещественной и комплексной переменных, дифференциальных уравнений и других аналитических дисциплин (теория групп относится к алгебре) здесь почти никогда не встречаются численные значения, исключая использование целых чисел для нумерации и счета. Теория групп играет определенную роль в квантовой механике, в теории спектров, в анализе классических динамических систем, в теории автоморфных функций„ в теории алгебраических уравнений и т.
д. Гл. 1В. Эяегингпорноя теория групп 1О !Воь ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ. ДАЛЬНЕЛШИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Следующие законы являются следствиями из аксиом 1 — 3 предыдущего параграфа. Закон сокращения: Если а, Ь, с †люб элементы группы 6, то из а о Ь = а о с следует Ь =с и из Ь о а = с о а следует Ь с. Существование единицы: В 6 содержится единственный элемент г, такой, что а ог=го а=а для любого а из 6. Существование обратного элемента: Если а — произвольный элемент 6, то существует единственный элемент а ', такой, что а о а '=а 'о а=г; кроме того, (а о Ь)-'=Ь г ь а '. Расширенный закон ассоциативности: (а о (Ь о (с о й))) о г = = а оЬ осой ог и т.
п. В дальнейшем необязательные скобки будут опускаться. Кроме того, (а о Ьо ... о хо у)-~=у ' ох г о ... о Ь-' оп-г. Если а принадлежит 6 и т — любое целое число, то степень ап определяется следующим образом: а =(а ')'". а'=а, а' =а о а, ..., а" +' =а' о а, ао Очевидно, что эти степени перестановочны (коммутируют) и а" о а = а" + . Вообще, если а о Ь = Ь о а, то говорят, что элементы а и Ь из 6 коммутируют. Если любые пары элементов из 6 коммутируют, то 6 называется коммутативной или абглгвой группой.
Если все элементы а" (п=О, ~1, ~2, ...) являются различными элементами группы, то а называется элементом бесконечного порядка; в противном случае, как легко видеть, существует порядок элемента а — наименьшее положительное целое число 1, такое, что а'=г; при этом а'"=г тогда и только тогда, когда ( является делителем т, и любая степень элемента а равна одному из элементов (г, а, а', ..., а' '). Подгруппой группы 6 называется подмножество 6' элементов группы 6, если оно само является группой относительно операции, определенной в группе 6.
Вращения вокруг оси г составляют подгруппу группы вращений в трехмерном пространстве. Различные степени элемента а составляют подгруппу, называемую подгруппой, порожденной элементом а; такая подгруппа является циклической группой конечного или бесконечного порядка. Порядок группы есть число элементов в ней (конечное или бесконечное). Если 6' является подгруппой 6, мы пишем 6'(6. В любом случае б(6 и (г) -6. Если 6'~6, то 6' — собственная подгруппа; если 6'=(г), то 6'— тривиальная подгруппа.
?8.3. Изоморфивм ВОпРОсы и Упрлжнания 1. Что является обратным элементом для ??е в 30(2)? Что является еди- ничным элементом? 2. Покажите, что 50 (2) — коммуэативная группа, а 50 (3) не является таковой. 3. Покнжнте, что группа вращений, которая оставляет куб инвзриаят- ным, имеет порядок 24, как было указано в 4 18.!. 4.
Опишите группу вращений, оставляющую инваризнтным прямой кру- говой цилиндр; сделайтс то же самое для нкосаздра 5. Выведите из аксиом группы три закона, приведенные в начале данного параграфа, 8. Определите, какие нз перечисленных множеств являются группами. (а) Множество всех ненулевых комплексных чисел, если групповой операцией является умножение. (б) множество всех невырожденных матриц размера п и л при умножении. (в) Множество всех положительных рациональных чисел прь умно. женин. (г) Множество всех положнтельныт нррациональныт чисел при уьшожении.
(д) Множество всех положительных алгебраических чисел при умножении. (е) Множество всех матриц размера н к л прн сложении (ж) Множество псех матриц размера и К п и вида ел при умножении. (з) Множес|во целых чисел 1, 2, ..., р — ! при умножении по модулю р (р простое). (и) Множество целых чисел 1, 2, ..., гл — ! при умножении по мо. дулю лг (т составное), (к) Множество всех векторов в Ез при векторном сложении. (л) Множес~во всех ненулевых венторов в Ез при векторном умножении. (м) Множество всех комплексных чисел з, таких, что ! г ! =1, при умножении. (н) Множество всех унитарных матриц размера и Х л прн сложении.
(о) Множество всех унитарных матриц размера л к и прн умножении. (п) Множество всех преобразований Мебиуса г — ь з'=(ах+ау(сх+г() (ш( — ас ю 0) в комплексной плоскости. !8,3. ИЗОМОРФИЗМ Если существует взаимно однозначное отображение гр группы 6 на группу 6', такое, что ер(а оЬ) гр(а) о гр(Ь) ((8.3.!) для всех а и Ь из 6, то гр представляет собой изоморфиэдг, а группы являются изоморфными; символически 6ж6'.
(В (!8.3.!) первьш кружок обозначает групповую операцию в 6, а второй — в 6'.! Говорят, что произведения отображаются на произведения. В этом случае 6 и 6' можно рассматривать лишь как две различные реализации одной и той же абстрактной группы. 12 Гж га. Зяеменгпарная пнария групп Например, если б — множество чисел (1, 1, — 1, — !) с умножением в качестве групповой операции, а б' — множество матриц (У, А, В, С) с матричным умножением в качестве групповой операции, причем '=(О 1) А=( 1 О) В-( О 1) С=(1 О) то отображение ~Р:1 — 1, г А, — 1 В, — г С является изоморфизмом б на б'; нетрудно проверить справедливость (18.3.1) для каждой из 18 возможных пар (а, Ь) элементов из б. Например, ( — г)=( — 1) (!); следовательно, должно быть гр( — !)= =ер( — 1) ~р(!), т. е. С=ВА, как и в действительности.
Следует заметить, что отображение ер,;1 — 1, г С, — 1 В, — г- А является другим изоморфизмом б на 6'. Если б — группа всех комплексных чисел з, таких, что !е!=1, с умножением в качестве групповой операции, то отображение соз 0 — з(п О ер: Е~е з!и О соз 9 является изоморфизмом б на двумерную группу вращений 50(2). Изоморфизм группы на себя называется аагпаиорфизмогг. В качестве примера возьмем отображение описанной выше группы (1,А,В,С): 1 !, А — С, В В, С- А. Автоморфизмом группы Ю(2) является отображение ( 'соз 0 — ейп ОХ / соз 0 з!и 0 з!пО соз9, (,— з!пО созО Любое отображение ер (не обязательно взаимно однозначное или на всю группу) группы б в группу б', такое, что справедливо (!8.3.1), называется еомолоргризмом.
Если б есть группа 6Е(п, С) всех невырожденных комплексных матриц размера ими с умноже- нием в качестве групповой операции, то отображение А- йе! А является гомоморфизмом группы б на группу всех ненулевых ком- плексных чисел относительно умножения. Для второго примера возьмем в качестве б группу М, всех движений в плоскости, т.
е. группу всех преобразований вида Та... ь.' х — х'=хсозΠ— уз)п О+а, (1 8.3.2) ц — е ц =х 5!и О+ р соз О+Ь, 18.4. Группы пересвоноеои !3 где 0(0(2тт, а а и Ь вЂ” произвольные вещественные числа. Тогда отображение соз 0 — з!и 0'~ с (18.3,3) является гомоморфизмом С на 50(2), что можно увидеть, осуществляя последовательно два преобразования вида (18.3.2). Поскольку 50(2) представляет собой подгруппу группы С (при а=Ь=О), отображение (18.3.3) можно рассматривать как гомоморфизм группы 6 в себя. Эту перестановку можно записать короче: ('1 2 3 4 5 6 7т, т,7 3 1 4 6 5 2!)' (18.4.1) здесь имеется в виду, что каждый символ верхней строки отображается а символ, стоящий под ним.
Циклической перестановкой или циклом называется перестановка, которая может быть полу- ы с Рис. !8,1. 11икличесиая перестановка. чена путем размещения символов на окружности я отображения каждого символа на следующий при перемещении по окружности (скажем, по часовой стрелке), как показано на рис. 18.1; этот цикл записывается еще короче, а именно как (а Ь сй е), что является, разумеется, тем же самым, что н (Ьейеа) и т. д. Любая перестановка множества С может быть выражена через циклические Иногда перестановки нааывают иоастансвками,— Прим. перев, 18.4. ГРУППЫ ПВРВСТАНОВОК т) Перестановкой называется взаимно однозначное отображение мно- жества С (обычно конечного) объектов или символов на себя На- пример, если С состоит из первых семи цифр, С=(1, 2,..., 7), то частной перестановкой является отображение и: 1- п(у), гдн функция и(/) задается следующим образом: п(1)=7, п(2) 3, п(З)=1, п(4)=4, и(5)=6, я(6) 5, н(7)=2.
14 Гя. !В. Эяементорноя теория ерупп перестановки различных подмножеств множества С; например, перестановку л, заданную при помощи (18.4.1), можно записать в виде л = (1723) (4) (56) (18.4,2) Длиной цикла является число символов в нем. Циклы длины 1 (например, (4)1 обычно опускаются, поскольку они представляют собой тождественное отображение, в котором ничего не переставляется. Цикл длины 2 является п<ранспози<!ией, при которой меняются местами два символа, а остальные остаются на месте. Любая перестановка может быть разложена в произведение последовательных транспозиций. Например, если л, = (17), л (72), ле = (23), л< —— (56), то перестановку (18.4.2) можно записать в виде л = л< о л о ле о л =-(17) (72) (23) (56) (18,4 3) причем здесь подразумевается, что транспозиции следует выполнять справа налево.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
