Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тогда из инвариантности билинейной формы следует, что Ун,днндь=Уна или, в матРичных обозначениЯх, что Г!гСт() иначе говоря, столбцы 9 являются псевдоортогональными псевдо- единичными векторами в том смысле, что )+1 для -=1, 2,3, (чт) +(чч) +(г)ч) (бч) ! — 1 =4 (19.4.9) дту(+ д',а+уезда — утлазл = О для ч ~ Х. (19.4.10) Отсюда следует, что матрица, обратная матрице ),г, может быть получена из матрицы (',)г изменением знаков по следующей схеме: Поскольку () ' также является лоренцевым преобразованием, строки матрицы (г также являются псевдоортогональными псевдо- единичными векторами.. Из (19.4.8) следует, что детерминант матрицы (;) равен ~1.
Если а качестве (х',..., х') взять (О, О, О, 1), то инвариантность фундаментальной формы показывает, что з з ( .9)з (х~л)з Ч~р щз (~4)з ! 1=1 1=! Следовательно, д,' нли ) 1, илн ( — 1. Теорема. Собственная группа Поренца .Ур, определенная выше как группа, порожденная группами .У„и Я, состоит из всех преобразований (е, которые принадлежат .Кг и для которых де1(е=+1, а г)))+!. Доказательство.Сначала показывается, что иэ связности группы Я а Р следует, что бе1Ц=+! н Вл) ! для любого элемента Я из ХР.
Пусть Я переводится в единицу 1, как в доказательстве леммы; поскольку Ц (О) =/, имеем бе!0(0)=! и д~л(0)=1; в силу непрерывности бе10(Х) н В)(Ц прн изл!енеиии Х не могут стать отрицательнымн. (То, что бе1О = 1, можно уста. повить и непосредственно из разложения О =О!От...ЯГ, где каждое О! принадлежит либо Хл, либо Я). Обратно, допустйм, что Π— любое преобразование из хр такое, что бе1Я= ! и в)) !. покажем, что Я иожно прелста- (унп Группы Лоренцо 43 вить в аиде произведения !41Р!т„где )41 и Гтэ принадлежат Я, а Р принадлежит Х„;следовательно, ()~.~р. (Кстати,отсюда следует, что в разложении !ЗД4...Оу всегда достаточно трех множителей., прежде всего, пусть Гтз и )44 — вращении, которые соответственно перенодят трехмерные векторы (44, 44.
44) н (ч1, 41, Чз) в положительное направление оси хт. Тогда 44 1 !Х') О О 4,'О О д,' (19.4. ! 1) матрица размера ЗэсЗ, 44 и 41 неотрнцательны н 44 = 1 4 '4 (44) — (44 ) = — 1,(41 ) — (д4) = — 1, параметр ф можно где Х' — некоторая ч4 зэ 1 Поскольку выбрать так, что '1 '4 '4 4, =У, =аьф, д 4=сй1У. Таким образом,если!З' умножим на Р( — 4у), то последняя строка и последний столбец этого произведения будут теми же, что и соответствующие строка и столбец матрицы Р( — 4у) Р Ор]=/; отсюда О ! (Х") О 1 "(-р) ()'= о ~=()' О О О 1 где )11 = Йз ' и )(4 = Й4 44 4 '.
Замечание. Элементы вида 1. К"1РК где )с принадлежит Я, а Р принадлежит .У„, называются чистыми преобразованиями Лоренца. В этом случае оси новой и старой систем координат все еще параллельны (так же, как для Р(гр)), но направление относительной скорости может быть произвольным. Матрица Б симметрическая, но если Б! и Еэ — два чистых преобразования Лоренца, то легко видеть, что матрица !.,!., не является симметрической, если только относительные скорости не параллельны; следовательно, чистые преобразования Лоренца не образуют подгруппу группы .Ур.
Более того, если Ь,!'.1 — несимметрическая матрица, то можно йайти такое чистое преобразование Е„что 1,,!.4Ь, представляет собой чистое вращение (элемент группы Я), причем 1.1Ь41,4 ~ 1. Это обстоятельство приводит к псевдопарадоксальному результату, заключающемуся в том, что можно повернуть некоторое тело, последовательно сообщив ему три чисто линейных уско- Эта матрица, подобно О и !)', описывает преобразование, которое принадлежит вр, н, значит, оставляет инвзриантной фунламентальную квадратичную форму. Поэтому Х" оставляет инвариантной квадратичную форму (кт)'+ +(х)'+(хэ)э н, следовательно, принадлежит группе 0(3), но бе! Х"=+1, откуда следует, что Х" — элемент Ю(З), т. е. О" — элемент группы Я, скажем Гть.
Итак, мы имеем Р( И) )(а!)г =вы что приводит к нскомоиу виду элемента Ц: 0 = (!1 Р Ю )т Гл. хр. Иепрерманме груням рения в трех различных направлениях таким образом, что в результате комбинации этих трех движений тело останавливается. Такое явление, описанное в несколько иных формулировках, было открыто иа заре квантовой механики Л. Томасом в связи с релятивистскими поправками к энергетическим уровням атома. !Электрон, двигаясь по орбите вокруг ядра, подвергается (непрерывной) последовательности лоренцевых трансляций, подобных описанным преобразованиям, и возникает эффект, аналогичный тому, к которому приводит существование спина электрона.~ Группа .Уг, порожденная элементами группы .Ур н преобразованием обращения времени, которое задается матрйцей 100 0 010 0 00! 0 00 0 — 1 является подгруппой группы .Уу, поскольку ясно, что 7 сохраняет фундаментальную форму.
Аналогично группа Ую порожденная элементами группы Яр и пространственной инверсией, задаваемой матрицей — 1 0 0 0 0 — 1 00 0 0 — 1 0 0 0 01 является подгруппой группы ЯР Наконец, вся Яу порождается элементами группы .У и преобразованиями Т и 5, Упплжииния Докажите или опровергните следующие утверждения. 1. Любое собственное преобразование Лоренца с симметрической матрипей есть чистое преобразование Лоренца. 2. Если Р, н Р, — ава чистых преобразования Лоренца, то Р,Р,Р, 'Р,' есть чистое вращение.
3. Подгруппа вращений представляет собой нормальную подгруппу группы Х„. Очевидным обобщением групп Лоренца могут быть группы преобразований, которые сохраняют значение фундаментальной формы (хх)а+ + (хг)2 (хг+1)В (хг+г)2' возможность пространственных отражений появляется, когда г нечетно, а возможность обращения времени — когда г' нечетно. 46 )рд Мноак1броми грршмг 19ЦЬ МНОГООБРАЗИЕ ГРУППЫ Если любой элемент )~11 )'1т )тта !хм )111 )таз !тат )гаа )таа ортогональной группы 0(3) представляется точкой 9-мерного (вещественного) пространства уе с координатами гг11, гт'11,..., г(аа (заданными, скажем, в том порядке, в котором они появляются в матрице), то данная группа представляется множеством точек в пространстве !", которые удовлетворяют шести алгебраическим уравнениям )Р„+)Р;,+)1„1,;=1, 2,3, (19.5.1) Ит )(1 +)рту)11 + КтгйаА=О, (/ й)=(1 2), (1 3)„(2 3), (19,5,2) которые означают, что столбцы матрицы !с суть попарно ортогональные единичные векторы в соответствии с 3 19.2.
Полученная трехмерная алгебраическая поверхность в пространстве У' называется многообразием группы 0(3). Точные размеры, форма и кривизна этой поверхности не представляют интереса, но ее общие топологические свойства тесно связаны со структурой группы. С каждой непрерывной группой линейных преобразований аналогично ассоциируется некая алгебраическая поверхность в некотором пространстве У . Однако требуется определенное внимание, когда делаются выводы из числа уравнений. Для группы 50(3) кроме выписанных выше шести уравнений (19.5.1) и (19.5.2) имеется седьмое алгебраическое уравнение де1)г= !. (19.5.3) Как будет показано в дальнейшем, поверхность, определенная первыми шестью уравнениями, состоит из двух частей, или компонент (наподобие двух ветвей гиперболы) и уравнение (19.5,3) лишь исключает одну из этих частей, но не уменьшает размерность поверхности.
Для общей линейной группы бй(п, зс) имеется лишь алгебраическое неравенство г)е1М чьО; для 65(п, С) — алгебраическое неравенство (Ке бе! М)'+(1ш бе1 М)' =д О. УПРАЖНЕНИЕ Найдите алгебраическое уравнение г (х, р, г) =О, которое определяет поверхность тора а пространстве )га так же, как кт+ре+г — ) =О определяет поверхность шара. Найдите группу, для которой тор служит многообразием в смысле приведенного выше определения.
Ге. тя. 1геррерывные грувиы (19.б,!) следовательно, Л вЂ” антнсимметрическая матрица и должна иметь внд / 0 а Ь Л=~ — а Ос х — Ь вЂ” с 0 То, что а, Ь, с можно взять именно такими, как в (19.0.1), следует из того, что в таком случае: (1) собственные значения ма- еР.Ь. ВНУТРЕННИЕ КООРДИНАТЫ В МНОГООБРАЗИИ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЯ Хотя в принципе любое многообразие можно рассматривать как и-мерную поверхность, вложенную в пространство (г'" большей размерности, как это делалось в приведенных выше примерах, такое вложение не всегда просто найти или описать, н поэтому более естественно описывать многообразие при помощи внутрен- них координат, подобных полярным углам О и гр на поверхности сферы, или в общем случае прн помощи двух нли более пере- крывающихся систем внутренних координат.
Каждое преобразование группы 50(3) может быть получено путем выбора фиксированной оси, а затем поворота вокруг этой оси Е 19.2). Если К вЂ” матрица вращения на угол О)0 (по часо- вой стрелке, если смотреть вдоль положительного направления вектора (е) вокруг оси, задаваемой единичным вектором (е, то числа 0(г„, Ой„, 0(е„обозначаемые соответственно через О„, О„, 0„ можно взять в качестве внутренних координат в группе 50(3); в таком случае мы запишем К=К(0), где 0 — вектор КО. Для того чтобы такая система координат была единственной, 0 сле- дует ограничить шаром К=(О: 10~,'(и) в координатном про- странстве гсв, в котором О„, 0„, О,— декартовы координаты, и кроме того, нужно соблюдать следующее условие: противополож- ные концы любого диаметра шара К соответствуют одному и тому же элементу группы 50(3), а во всех других случаях каждой точке К соответствует единственный элемент группы 50 (3) и обратно.
Матрица К = К (0) задается в явном виде через внутренние координаты при помощи выражения Π— О, О„ й(0~ = ехр О, 0 — О„ — О Чтобы это увидеть, заметим сначала, что поскольку К вЂ” невырож- денная нормальная матрица, то ее логарифм Л вполне определен (хотя и многозначен): д~ сл К-г с-в Ят сл т, !ум, Внутренние ноординааиее многообразии группы вращений 47 трицы Л равны 0 и ~ 10, где О=УО*„+Ого+О*„а, значит, собственные значения матрицы ехрЛ равны 1 и еэвв; (2) первый собственный вектор матрицы Л (так же, как н ехрЛ) пропорционален вектору 0; (3) так как Л вЂ” нормальная матрица, ее собственные векторы можно взять в качестве ортонормироваиной системы; (4) из этого следует, как и в $ 19.2, что Я представляет вращение на угол О вокруг оси с направлением вектора О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
