Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Действительно, волновой процесс в непостоянном (даже сферически симметричном) потенциальном поле, вообще говоря, включает другие функции, например функции Лагерра в случае водородоподобных атомов, тогда как функции Бесселя появляются в случае, когда система инвариантна относительно полной группы движений, а не только относительно подгруппы вращений; см.
следующую главу. В 9 20.5 будет показано, что тригонометрические функции (в виде ег ") возникают в представлениях двумерной группы вращений и, следовательно, связаны с симметрией относительно некоторой оси. 20.2. Заивни иреоораеовииил веюиоров и щеиворов 20Л. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ Пусть 6 — произвольная группа, а Х вЂ” некоторое и-мерное (часто комплексное) векторное пространство. Гомоморфизм р: йе — р(й) группы 6 на группу линейных преобразований в пространстве Х ') называется п-мерным представлением группы 6 (на Х).
Линейные преобразования обычно описываются матрицами, и матрицу, описывающую преобразование р(д), также обозначают через р(д). Поэтому мы можем также рассматривать представление группы 6 как гомоморфизм группы 6 на группу матриц; тогда единица в 6, обратный элемент в 6 и групповая операция представляются единичной матрицей, обратной матрицей и умножением матриц. Если гомоморфизм является изоморфизмом, то представление р называется точным.
Если сама группа 6 есть группа линейных преобразований в некотором векторном пространстве У', то тождественное (еднннчиое) отображение я- д группы 6 на себя является точным представлением. Однако по многим соображениям и в этом случае имеет смысл рассматривать также другие представления. Замечание. Используемые здесь формулировки несколько отличаются от приведенных в З 18.10, где представление группы 6 было гомоморфнзмом группы 6 на любую группу (не обязательно линейных) преобразований. Если Х содержит собственное подпространство Х„ которое инвариантно относительно всех преобразований р(д), д Е 6, то представление называется приводимым, а сужение преобразований р(йе) на Х, дает представление меньшей размерности, называемое подпредставлением.
Если таких собственных подпространств Х, не существует, то представление р называется неприеодимым. Если 6 — непрерывная группа (группа Ли), то и от элементов матрицы р(йе) требуется непрерывная зависимость от д. Единственнымн непрерывными группами, которые мы будем здесь рассматривать, являются группы матриц, подобные унитарным, ортогональным и лоренцевым группам. В таком случае данное требование заключается в том, что элементы матрицы р(д) должны быть непрерывными функциями элементов матрицы и, и это будет сразу видно во всех приведенных далее примерах.
20.2. ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ Теперь мы опишем некоторые представления групп, естественным образом возникающие в физике. Согласно гл. 19, преобразования в трехмерном пространстве, которые получаются путем вращений з) Х часто называют представляющим пространством ялн проотранством представления, — Лрим. нерее, Гл. лр, Представления ерупп Г декартовых осей вокруг начала координат, составляют групп Ю(3).
Различные представления этой группы даются законам) преобразования для компонент тензоров. Если декартовы коор динаты преобразуются посредством х - х', где х,: Х дмхл, (20.2.! в=! а (дш) — матрица вращения [элемент группы ЮО(3)), то компо ненты Ты тензора второго ранга преобразуются по закону т'э = ',Р;Е й„й„т,р (20,2.2) Если девять величин Т; обозначить через Х,, ..., Х, н рассматривать их как координаты точки Х в пространстве Кв, то каждое преобразование х х' индуцирует преобразование Х Х', н эти последние преобразования дают представление группы Ю(3) на есв.
Преобразования компонент тензора третьего ранга дают представление группы Ю (3) на Р' и т. д. Более специфичные представления могут иметь место в том случае, когда компоненты тензора связаны некоторыми отношениями симметрии. Допустим, что Ты — компоненты тензора скоростей деформации в некоторой точке жидкости: Т; *до;/дх, где у ч(х) — векторное поле скоростей.
Если течение безвнхревое, то Т„=Т, ((, у=1, 2, 3). (20.2.3) Нетрудно проверить, что эти соотношения инвариантны относительно вращений, т. е, если Т, =Т, для всех с и ), то Т;, =Т;, (см, ниже упражнение 2). Следовательно, в этом случае только шесть компонент Тс ЯвлЯютсЯ независимыми, скажем величины У с, определяемые как У', = Т;„1', = Тм, )ев Т,, 14=Ты 1 ь Тве 1 6=Тел, Тогда вращение х х' индуцирует линейное преобразование т' т' и получается 6-мерное представление группы 50(3). Пусть, кроме того, жидкость несжимаема; тогда имеется дополнительное соотношение Т„+Т„+Т„=О, (20.2.4) которое также инвариантно относительно вращений (см.
ниже упражнение 3). В этом случае У, можно опустить (т. е. его всегда можно вычислить как — У,— У,), н преобразования компонент ..., 1', дают 5-мерное представление группы 50(3). 20.2. Законы нреоораэованин вененоров н венэоров Соотношения (20.2.3) и (20.2.4) определяют подпространства пространства ~в, которые инвариантны относительно преобразований (20.2.2); инвариантность этих подпростраиств позволяет привести 9-мерное представление к 6-мерному и 5-мерному представлениям.
(Можно получить 8-мерное представление, используя лишь (20.2.4).) В дальнейшем выяснится, что 5-мерное подпространство нельзя далее разложить на инвариантные подпространства меньшей размерности; поэтому 5-мерное представление неприводимо. Окажется, что для любого нечетного целого т существует неприводимое и-мерное представление группы ЯО(3); в случае и)1 такое представление является точным. Исходный закон преобразования (20,2.1) для компонент вектора х обеспечивает, разумеется, трехмерное представление. (Если вращения рассматривать как элементы некой абстрактной группы, то такое представление не более тривиально, чем любые другие.) Более того, ради полноты (в том смысле, который будет уточнен позднее) мы включаем в рассмотрение и одномерное представление, даваемое законом преобразования скаляров, согласно которому они вообще не преобразуются.
Любой скаляр есть вещественное число х, и каждый элемент группы (вращение) отображается на тождественное преобразование х х в вс. [Отсюда не следует делать вывод, что одномерное представление группы всегда состоит только из тождественного преобразования. Одномерное представление группы 6Е(и, ес) или группы бЕ (и, С) дается отображением элемента М группы [матрица размера пхп) на преобразование х — (с(е1М)х в Й или в С.] Представления групп Лоренца (см. в 9 19.4) аналогично даются законами преобразования скаляров, векторов (т. е. 4-мерных векторов) и тензоров при преобразованиях Лоренца в пространстве-времени; эти представления имеют размерности 1, 4, 16, Шестимерное представление (ограниченной) группы Лоренца .9' задается законом преобразования для компонент электрического и магнитного полей Е и Н в свободном пространстве (Интерпретация этого закона при помощи тензоров будет объяснена ниже в упражнении 5.) Согласно частному преобразованию Лоренца (19.4.1), компоненты электрического и магнитного полей преобразуются по закону Е„'=Ее, Е; =у[Ее — (о/с) ™,1, Е;=у[Ее+(о/с) Нв1 20 2 5 Н', Н„, Н„'= у [Н„+(о(с) ЕД, Н; =у [Н, — (о/с) Ев|, где у = (1 — ов/се)- Ов.
(См. любой хороший курс электромагнетизма.) При вращении компоненты поля Е и компоненты поля Н преобразуются независимо по обычному закону (20.2.1) для векторов. В соответствии с 9 19.4 55 Гл. 20. Предеглаэления групп ! любой элемент группы .х.р можно записать в виде К,Р)т„г! )с, и )с,— вращения в пространстве, а Р— преобразование ви) (19.4.1), и поэтому общее преобразование для Е н Н можно ш лучить комбинацией (20.2.1) и (20.2.5).
Одна из целей теории представлений групп заключается в тоь чтобы найти все возможные законы преобразования физически величин, т. е, найти все возможные представления физически групп симметрии. Как видно из приведенных выше примеро! существуют две основные процедуры: построение некоторых прег ставлений из более простых при помощи тензоров и расщеплени представлений на подпредставления (приведение). Однако начина с 9 20.5 описывается еще одна процедура, которая основана н действии некоторой группы на пространствах функций. УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажите, что представление вращений (20.2.!) при помощи преобра зований (20.2.2) является гомоморфизмом. Иначе говоря, покажите, что есл~ р(л) — преобразование, индуцнрованное вращением д в пространстве Кз, ъ р (а) р (а') =р (йй') 2. Покажите„что симметрия или антисимметрия тенэора второго ранг; сохраняется при вращениях, если использовать закон преобразования (20.2.2) т.
е. покажите, что иэ т;у=тл (или ты= — тгй для всех 1, / следуе: ти=т(1 (или тгг= — т(4) хая всех й 1. 3. Покажите, что след тенэора второго ранга сохраняется прн враже виях, т. е. что Ти + Таз+ Ттз = Тм+ Тм+ Таз. 4. РаССМОтрИМ ОбщЕЕ ЛИНЕЙНОЕ ПрЕОбраЗОВаНИЕ В Нч Вада (20.2.1), Гдс (агу) — невырожденьая матрица размера лХп. Покажите, что это преобраэо. ванне ортогонально (ятя=япг=!) в том и только в том случае, когда след любого теизора второго ранга инвариантен относителыю (20.2.2). 5. Покажите, что можно получить закон преобразования (20.2.5) для электромагнитного поля при преобразовании Лоренца (19.4.!), преобразуя антисимметрический тензор второго ранга 0 — Е„ — Е и — Е, 0 )'х Еа по закону 4 4 Т'нт ~ ~р ~и тТат о=! т если координаты преобразуются по правилу е=! ЕО.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
