Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 12
Текст из файла (страница 12)
7(ругие лредстаяеекия грулл е физике 57 ХЭ.З. ДРУГИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП В ФИЗИКЕ Теория Паули спина электрона (1927 г.) и релятивистское волновое уравнение Дирака (1928 г.) привели к отличным от законов преобразования векторов и тензоров законам преобразования прн вращениях и лоренцевых преобразованиях. В свою очередь зто обстоятельство привело к теории новых объектов, названных спинорами, которые таким образом заняли свое место в релятивистской квантовой механике наряду со скалярами, векторами и тензорами; спиноры будут рассмотрены в гл. 22.
Законы преобразования для спиноров дают так называемые двузначные представления групп 50(3) и .2'р, которые, однако, являются истинными представлениями накрывающих групп 5(7(2) и 57. (2, С), рассмотренных нами в З 19.7 и 19.8. Кажется парадоксальным тот факт, что эти накрывающие группы вообще появляются в физических задачах, и, к сожалению, в большинстве книг по квантовой механике этот вопрос как следует не выясняется.
Разрешение этого парадокса, связанное с именем Г. Вейля, будет описано в гл. 22, В этом случае имеют место так называемые лучевые представления, которые, не являясь истинными представлениями (в смысле, определенном в данной главе), тем не менее вполне пригодны для описания квантовомеханических явлений. В книге Вейля (!9281 показано, что лучевые представления какой-либо группы полностью определяются истинными представлениями соответствующих накрывающих групп; следовательно, представления групп 5(l(2) и 58 (2, 6) играют определенную роль.
Далее из теории следует, что, поскольку многообразия групп 5(/(2) н 57.(2, С) односвязиы, эти группы представляют собой так называемые универсальные накрывающие группы для групп 50(3) и 2' соответственно (см. гл. 24 и 27), и отсгода как следствие вытекает тот факт, что не существует многозначных представлений групп 50(3) и .Ур с кратностью, большей двух.
Таким образом, основываясь на теории групп, можно заключить, что векторы, тензоры и спиноры обеспечивают все возможные законы преобразования величин в квантовомеханических явлениях. В классической физике делается различие между полярными векторами (такими, как импульс и электрическое поле) и аксиальными векторами (такими, как момент импульса и магнитное поле). Полярные векторы меняют знак при инверсии х - — х, тогда как аксиальные не меняют знака. Следовательно, существуют два (и только два) пути расширения законов преобразования для векторов относительно полной ортогональной группы 0(3).
Симметрия или антисимметрия многочастичной волновой функции при взаимной перестановке (или более общей перестановке) тождественных частиц дает простое представление соответствующей группы перестановок. Более сложные представления групп перестановок появляются в теории парастатистики. ГА 10, Пргдгваеггния груня ! 10М. ВЕСИОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В таких физических дисциплинах, как квантовая теория полг встречаются бесконечномерные представления, например„груп Лоренца и Пуанкаре. Естественно, такое представление являетс гомоморфизмом группы 6 на группу ограниченных линейны преобразований р(д) в банаховом или гильбертовом пространсгв Х.
Если 6 — непрерывная группа матриц, то необходимо, чтобг р(д) было сильно непрерывной функцией д, т. е. требуется, чтобг для любой точки и в Х ! р(д) и — р(п,)и1! — О, когда матричные элементы и сходятся к матричным элементам дг В то время как все неприводимые представления компактиыл групп, подобных о0(3), конечномерны, существуют бесконечно мерные представления групп Лоренца, Пуанкаре и группы движе. ний, такие, что нет коиечномерных подпространств банахова или гильбертова пространства Х, которые были бы инвариантны от.
носительно всех преобразований р(п), дЕ6, и, следовательно, эти представления не могут быть разложены на конечномерные подпредставления. В следующей главе мы опишем бесконечномерные представления двумерной группы движений М,; эти представления довольно типичны и включают функции Бесселя. За дальнейшим материалом по данному вопросу, в частности по представлениям групп Лоренца и Пуанкаре, мы отсылаем читателя к книгам Бернера 119551, Гельфанда, Минлоса и Шапиро 119581, Гельфанда, Граева и Виленкина [19621, Виленкина 119651, Уорнера 119721, Барута и Рончки 119771; сколь обширен этот материал, можно судить по объему указанных книг.
В гл. 27 мы приведем пример непрерывной группы (группы Ли), которая не имеет точного конечномерного представления и поэтому вообще ие может быть реализована в виде группы матриц. 20ДС ПРОСТОЙ СЛУЧАЙ: ГРУППА 30(2) Общий метод отыскания представлений можно проиллюстрировать на довольно тривиальном примере группы Ю (2), элементами которой являются вращения в плоскости вокруг начала координат.
Люоая окружность с центром в начале координат инвариантна относительно этой группы. Пусть К" — бесконечномериое пространство бесконечно диффереицируемых функций 7(гр), определенных на единичной окружности. (Поскольку наши рассуждения носят качественный характер, мы не будем вводить в этом пространстве норму или топологию.) Вращению п„на угол сг [элементу группы 50(2)! мы ставим в соответствие линейное преобразование р: )(гр) Г(<р — а) (20.5. 1) 20.Б. Простой случай: группа 50 (с) 59 в пространстве Х". Соответствие д„р„есть представление группы 50(2) на пространстве Х". (В этом примере равно допустимо и преобразование )(ср) — ~(ср+а); см.
замечание в еле. дующем параграфе.) Важный метод нахождения подпредставлений заключается в использовании так называемых инфинитезимальных операторов представления, таких, как оператор Т, получаемый в данном случае путем дифференцирования оператора р, по а при а=О, а именно (Т() (ср) = — Г (ср) (20.5.2) так что Т можно рассматривать как предел отношения (1!а) (р„— р,) при сс О. Очевидно, что любое подпространство пространства Х", инвариантное относительно всех преобразований р„, будет инвариантно и относительно Т.
й(ы ищем инвариантиые подпространства как можно меньшей размерности. Следовательно, мы ищем такую функцию Г Щ), чтобы минимальное подпространство, содержащее 1(сс) и инвариантное относительно оператора Т, не содержало никаких других функций, а если бы и содержало, то столь мало таких функций, сколь это возможно. В случае одномерного подпространства Т( должна быть кратна (, скажем Т) = й(; это приводит к задаче на собственные значения — 1'Ор) =Х~(т). (20.5.3) В нашем случае, поскольку функции из Х" должны быть однозначными на единичной окружности, собственные значения и собственные функции суть Х=(т (т=О, ~1, ~2, ...), 1(ср)=(„(ср)=е-"оо.
(20.5А) Для любого а действие преобразования р„, заданного в (20.5.1), также сводится к умножению каждой собственной функции оператора Т иа константу, а именно (р„Г"„) (ср) = есо1аГ (сс). Таким образом, для любого т одномерное (комплексное) подпространство Х =(Ае-с о~ АЕС) инвариантно не только относительно Т, но и относительно всех преобразований р„. По теореме Фурье, любую функцию из Х" можно разложить по данным функциям, а, значит, Х" есть линейная оболочка подпространства Х , Теперь будет показано, что единственными конечномерными представлениями группы 50 (2) на Х" являются представления, которые могут быть построены из полученных выше, ибо будет установлено, что любое конечномериое инвариантное подпростран- Гл. 20.
Представлеиия еруип I ство Х' пространства Х" есть прямая сумма конечного числа подпространств вида (20.5.5). В самом деле, пусть ~(~р) †люб функция из Х', записанная в виде ряда фурье )(гр)=~с е' Р (20.5.6) Докажем, что подпространство Х' содержит не только эту сумму, ио и каждый ее член с„еиич в отдельности; отсюда будет следо- вать, что Х' содержит подпространство Х „для каждого т, такого, что с„~ О.
Действительно, так как Х' инвариантно относительно всех преобразований (20.5.1), оно содержит все образы 1(~р — а) данной функции ~(гр) и поэтому содержит любую функцию вида к ~ пег (<Р— а ), 1=1 где йь и аь — константы. Взяв эту сумму в качестве суммы Римана, которая аппроксимнрует некий интеграл, и затем переходя к пределу, мы видим, что Х' содержит любую функцию вида ~ Й(а)) (~р — а) па, а значит, в частности, и функцию — ~ е' ") (гр — а) Иа = с е' Р. 1 г 2и е Ю -и Таким образом, Х' содержит Х, если с чьО, что и требовалось доказать.
(Поскольку предполагалось, что Х' конечномерно, теперь ясно, что с отличны от нуля лишь для конечного числа т.) Для неабелевых групп размерность минимальных инвариантных подпространств может быть, вообще говоря, больше единицы. хван ЛРедс1АВления ГРупп мА1Риц нА х Идеи предыдущего параграфа можно обобщить. Если б — группа матриц размера пмл, то ее элементы я определяют линейные преобразования в и-мерном пространстве 1" (совпадающем с Ии или с Си). Допустим, что Х" обозначает пространство всех бесконечно дифференцируемых функций 1(х), заданных на г'" или на любой поверхности в г'и, которая инвариантна относительно 6, н поставим в соответствие каждому элементу д нз б линейное преобразование р(д): Г(х) 1'(х)=~(д 'х) (20.6.!) пространства Х на себя (здесь штрих не обозначает дифференцирование), Если за преобразованием р(я)= р(д,) следует новое 7П.У.
Одиородиые ироопроиотаа б! преобразование р(а,), а именно р(а): 1'(х) — 1" (х) =)' (д, 'х), то результатом будет преобразование р(д,) р(д,): 7(х) )" (х) =)'(д,'х) =1(П, '(д,'х)) ~((д,д,) ' х), так что (20.6.2) Р (Юа) Р (К1) — Р ЖИ~). Следовательно, соответствие р- р(д) есть представление группы б на пространстве Х". Замечание. Появление в (20.6.1) д ' (а не самого элемента д) необходимо для того, чтобы в (20.6.2) получить правильный порядок множителей. Поэтому же в (20.6.1) стоит знак минус, но, поскольку для абелевой группы указанный порядок не существен, в (20.5.1) равно допустимо и 1(~р+а). Замена функции 7" (х) на ~(д 'х) эквивалентна осуществлению отображения х ех в о'" и переносу значений функции 1 по ходу данного отображения в точности так, как подстановка Г (1) — 7(1 — а) переносит значения 7" на й (вправо прн а > О) на расстояние а, Если 0 — непрерывная группа и элементы группы зависят от параметров а, К ..., т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
