Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(Фактически ф выражается через 1 при помощи интеграла Пуассона.) Функция ф аналитична в шаре и может быть представлена в виде степенного ряда по х, у, г. Члены этого разложения, соответствующие данной степени 1, являются гармоническими многочленами степени 1 и поэтому могут быть выражены через функции «'Г, (О, ~р); таким образом, ф(х, у, г)= Х Х А~«'17(0 <р). =0 Можно показать, что для непрерывной граничной функции / решение задачи Дирихле ф при г- 1 сходится к / равномерно по углам, т.
е. сходится в Ее; отсюда 1 (9. ~р) = Х Х А! Гу (О, (р) (20.!4.2) т в смысле сходимости в среднем. Поскольку непрерывные функции плотны в 1.'(5), ясно, что тессеральные гармоники образуют пол- ную ортонормированную систему функций на сфере. Кроме того, ясно, что любое распределение /(О, ~р) в (.'(5) можно представить в виде (20.14.2), где коэффициентами ряда являются величины А, = ~ ~ У7(0, р) /(О, ср)з!пОс(Ойр, оо а ряд сходится к /(О, ср) в среднем.
Теперь мы можем заполнить тот пробел, который возник при рассмотрении представлений группы 50(3) в 9 20.9 Вспомним, что Х" определялось как пространство всех функций класса С" на сфере, а Х*'+' было подпространством, являющимся линейной 7б Ги В7. Представления групп 1 оболочкой функций )гуь (гл ( ( ) () Было доказано, что Хм+' инвариантно (т. е. преобразуется само в себя) относительно иифинитезимальных операторов Ь„Ь„Ь, представления р, и теперь можно доказать, что Хм+' инвариантно также относительно преобразований р(д), АЛЕЛО(3): в самом деле, пусть р(д) )7 — функция от О, ~р, полученная путем перенесения значений У, (О, ~р) при движении по сфере согласно вращению д; следовательно, функция г'р(д) 3', является также однородным гармоническим многочленом степени ( по х, у, г и поэтому может быть выражена в виде линейной комбинации многочленов г')', ' (О, р), и'=!, ( — 1, ..., — й Отсюда следует инвариаитность подпро.
странства Х"+'. Полнота системы тессеральных гармоник показывает, что пространство Е'(5'), где 5' — единичная сфера в к', есть прямая сумма (относительно У-нормы) подпространств Х" +' (Г = О, 1, 2, ...). Гпааа 21 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Я. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ДВИЖЕНИЯ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Унитарное представление; прнведенне; разложение; прямая сумма; полное прнведеннс, 'лемма Шура; компактные н некомпактные группы; инвариантное интегрирование; мера Хаара; правая н левая трансляции; внварнантное интегрнрованне в 3)) (2); площадь л.мерной сферы; регулярные представления; инвариантное ннтегрнрованне в 50 (3); теоремы полноты Петера — Вейля н Внленкнна; волновые функцнн симметричного волчна; группы двнженнй;функцнн Ьесселя; рекуррентные ссхпношення, дифференциальные уравнення н порождающие уравнения; разложение плоской волны; характеры; полнота представлений группы 50(3).
Предааяиглельньм сведения: гл, 18 — Ю. Неприводимые представления группы 50(2), рассмотренные в 20.5, являются одномерными; неприводимые представления группы 50(3), которые были рассмотрены в $ 20.9, многомерны, причем их размерность равна 21+1, где(=0, 1, 2,...; неприводимые представления группы движений, которые рассмотрены в этой главе, бесконечномерны.
Будет показано, что такое различие отражает различные свойства групп. 1ТЛ. ЗИВИВАЛЕНТНОСТЬ. УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Первым шагом прн классификации представлений является выяснение следующего вопроса: какие два представления можно считать эквивалентными, так чтобы нужно было описывать лишь одно из них? Два представления р(д) и р'(д) на (конечномерном) пространстве Х будут эквивалентны, если первое из них может быть преобразовано во второе путем подходящей замены координат в пространстве Х, т.
е. если существует такая матрица А, что р(д)=А зр'(у)А для всех д. В более общей формулировке допустим, что р и р' — представления на разных пространствах Х и Х' одинаковой размерности и существует такая матрица А, что соответствие х-ьх'=Ах есть взаимно однозначное отображение Х на Х', а р(д) и А 'р' (Е)А — одинаковые матрицы для любого элемента и; тогда р и р' являются эквивалентными представлениями. Как было указано в 5 20.4, в бесконечномерном случае р(Е) для каждого д есть ограниченное линейное преобразование в банаховом или гильбертовом пространстве. Допустим, что р и р'— представления в пространствах Х и Х' одного и того же типа, ска- Гл.
РП Предеяимления груяя П жем, оба этих пространства являются сепарабельными гильбертовыми пространствами; допустим далее, что существует ограниченное линейное преобразование А из Х на Х' с обратным А ' и что р(д) и А 'р'(п)А — один н тот же оператор для любого д; тогда р и р' — эквивалентные представления. Это отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно, а потому разбивает совокупность всех представлений данной группы на классы эквивалентности. Естественно попытаться выбрать из каждого класса эквивалентности представление с наиболее подходящими свойствами. В большинстве случаев можно выбрать унитарное представление, т, е. представление, в котором каждое преобразование р(д) есть унитарная матрица или унитарный оператор для всех дЕ Сл; благодаря теореме, сформулированной в следующем параграфе, такое представление дает известные преимущества. Следует заметить, что вопрос об эквивалентности двух представлений р и р' не сводится лишь к вопросу об изоморфизме двух групп матриц (р(Р)) и (р'(д)): эти матрицы должны быть одинакового размера в двух представлениях, а представления должны быть связаны так, что р(хе)=А 'р'(и) А для всех у и для некоторой фиксированной матрицы А.
Все представления р' ((=О, 1, 2, ...) группы Ю(3), найденные нами в й 20.3, неэквивалентны (они имеют различные размерности), но все полученные группы матриц (рг(п)) изоморфны при (чь0: фактически все они изоморфны группе БО(3). Следующий пример показывает, что два представления могут иметь одинаковую размерность, но быть неэквивалентными. Пусть б — группа тора Т„состоящая из диагональных унитарных матриц размера 2 х2, т. е. матриц вида Га 0~ а=~о 1 -= =~0 й,~ Два представления на С, заданные в виде р(а)' — . р'М): -Рз, не являются эквивалентными; никаким преобразованием плоско- /1 е; сти з нельзя для всех д перевести р(д) в р'(д).
Для д= (,,) р(п) есть тождественное преобразование, тогда как р'(д) не является таковым. 21.2. ЛРНВедение пэедстлвлений Следующий шаг классификации состоит в разложении данного представления на столько неприводимых компонент, на сколько это возможно. Если р — представление на конечномерном пространстве Х и если подпространство Х, инвариантно относительно ее 2. Приведение нредетаввений всех р(д), т. е. если из того, что хЕХ„следует, что Р(д)хЕХт для всех а, то представление р называется приводимым, как и в предыдущей главе (в противном случае р называется неприводиятыае). Пусть найдется другое инвариантное подпространство Х„причем такое, что Х= ХтЯ Х, (это выражение означает, что Х, и Х, не имеют никаких общих векторов, кроме нулевого, и любой хЕ Х можно записать в видех,+х„где х, Е Х„а х, Е Х,).
В таком случае представление р называется вполне приводимым или разложивяяат. Тогда если е', ..., е" является базисом в Х, таким, что е', ..., ем — базис в Х„а е '', ..., е" — базис в Х„то относительно этого базиса все матрицы р(р) имеют вид') (О) ев х тн (21.2.1) о (и — в) (о) (и — в) т. е. матричные элементы, которые связывают два данных подпространства, равны нулю. (Если Р приводимо, но не разложимо, то можно выбрать базис, в котором все матричные элементы равны нулю в левом нижнем прямоугольном блоке, но при этом найдутся отличные от нуля элементы в верхнем правом блоке.) Если для любого д рт(р) и ра(д) соответственно обозначают приведенные выше матрицы размера лтхлт и (п — тп)х (и — т), то каждое из отображений д -м р, (р) и д — р,(д) является представлением группы О, а представление р есть их прямая сумма; символически это обозначается как Р=рт4-Р .
Когда Х вЂ” бесконечномерное банахово или гильбертово пространство, Хт рассматривается как замкнутое линейное многообразие в Х; при этом нет никакой потери общности, ибо все операторы р (и) ограниченны, а потому замыкание инвариантного линейного многообразия инвариантно. И снова, если Х=Х,Я Х,, а Х, и Х, инвариантны относительно всех р(д), мы полагаем, что Р='Рт+Ра где р, я р, суть сужения представления р на Х, и Х, соответственно.
(Одно из р„р, может быть коиечиомерным.) Может оказаться, что Х, или Х, в свою очередь содержат инвариантные подпространства, так что р, и Р, (нли оба их) можно снова разложить, и т. д. В таком случае в подходящем базисе в Х ') Такие матрицы часта называют клеточными.— Прим, нерее. Гл. 21. Представления групп 1! матрицы р(й) содержат некоторое количество квадратных блоков, симметрично расположенных вдоль главной диагонали, причем все элементы вне этих блоков равны нулю. Каждый квадратный блок дает некоторое представление группы 6, а р есть прямая сумма этих представлений.
Если этот процесс продолжать осуществлять дальше, может оказаться, что все полученные представления, на которые разложено р, неприводимы. Тогда говорят, что р полностью приводимо. В этом случае можно найти структуру всех представлений группы О, определяя все минимальные инвариантные подпространства первоначально достаточно большого пространства Х, как это было сделано для групп 50(2) и 50(3) в предыдущей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
