Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Можно доказать, что в случае компактной группы 6 все иеприводимые представления получаются путем разложения (левого Обозначим через С,(0) пространство непрерывных функций с компактным носителем на многообразии группы, или, как говорят, на группе 6 (если 0 сама компактна, то данное пространство включает все непрерывные функции на О). В таком случае )1(д) е(д, 1Е С,(0), является непрерывным линейным функционалом на С,(0) и является мерой (см. гл. 13). Поэтому иногда говорят о леваинвариантнай мере на 6, или о мере Хаара, поскольку она рассматривалась в статье Хаара (1933).
Пусть (.е(0) обозначает гильбертово пространство квадратично интегрируемых распределений, определенных на многообразии группы, со скалярным произведением (1, 1) (~Ми) 1,(а) йу. (21.5.5) Гя. И. Предспшаления грузя 11 илн правого) регулярного представления р. Это значит, что если р,— любое неприводимое представление„то существует в Ь'(6) такое подпространство Х„что сужение р на Х, эквивалентно рь Часто даже для некомпактной группы 6 можно найти неприводимые представления, используя операторы, представленные в (21.5.6), на нгкоторол пространстве функций, определенных иа группе, но при этом для нахождения таких функций может возникнуть необходимость выйти за пределы гильбертова пространства !.'(6). Мы не будем рассматривать этот общий случай, а лишь приведем один пример: в 2 2!.1О функции, которые появятся в связи с неприводимыми представлениями некомпактной группы л4, движений в плоскости, не являются квадратично интегрируемыми на 6.
Вычислим теперь весовую функцию ю(п). Допустим, что О„... ..., ΄— внутренние координаты на многообразии группы 6, н мы хотим найти весовую функцию со(О), такую, что ю(0)дО,...ЛО„ является элементом инвариантной меры ~(д. Перепишем равенство (21.5.4) как 2 = ~ 1 (йк') Ф' = ~ !' (а) Ф. Мы рассмотрим случай, когда функция )(д) равна нулю всюду, кроме элементов а, находящихся в малой окрестности о~" единичного элемента группы, причем ~(д) =1 для этих элементов. Соответствующие нм точки заполняют малый объем У в координатном пространстве вблизи О=О; поэтому в правой части вышеприведенного равенства мы получим У УЪ(0).
Отличные от нуля значения в левой части обязаны своим появлением элементам группы йд' из окрестности !1" единицы и, значит, элементам и' из окрестности элемента Ь ', имеющей объем У', так что .7 ж У'ю (й '); следовательно, чтобы определить в(Ь '), нам нужно знать Пусть и' =и 'я, где й меняется в л". Обозначим через 0(д) координаты любого элемента группы и. Таким образом, обозначив через О и О' координаты А и а'=й 'й, имеем 0=0(й), О =0(й- й) =О (О). Когда 0 изменяется в объеме У, 0' пробегает объем У', поэтому, используя якобиан, У' можно выразить так: У' = д (О;, ..., 0„')/д (О„..., 0„) /, У, где индекс О указывает на то, что якобиан берется при О=О. Итак, мы заключаем, что ш(0(й '))=С~д(0;, ..., О„')/д(0„..., 0„)1,] ', (21,57) причем С =и (0).
В силу произвольности й также произволен и й ', следовательно, данное выражение определяет в(0) для всех О. 21.6. Полная система представлений компактной гриппы 87 В случае компактной группы 6 константу С можно выбрать так, чтобы ~ йу 1. УПРАЖНЕНИЕ 7. Пусть Π— группа вращений оО(З), 0„, 0„, 0 — внутренние координаты, введенные в й 19.8, а 0 — вектор с компонентами О, О,, О». Пусть, в частности, 0 представляет элемент группы » в вышеприведенном рассмотрении, причем ~,'0 1 с 1, а 0' представляет «-! ».
с точностью до величин первого порядка малости (см. (19.6.1)1 0, 1 — 0„. э Поскольку ю(Ь-т) не зависит от направления оси вращения, в качестве а-» можно взять вращение на угол а вокруг оси», т. е. можно положить О О Ь-'= О сова — з/па О з!па сова Покажите, что коорднваты О», Оэ, 0, элемента Ь Ч с точностью до первого порядна малости имеют вид 0»=а+О„, Оэ=- а 1О 1+ соз а 0»1 ° Г 1+ соз а еэй ! и 2з1па 2~ ' ( * 2з1па 2(' откуда якобиан равен д(0», 0», О,)/д(0„, Оэ, О,) !э е — — аз/12(1 — сова)1, (21лма) и, следовательно, нормированная весовая функция задается как ш (О') = (1 — соз а)/(4пааэ), а =10' !1. (21.5.9) Указание. Для заданной матрицы вращения угол вращения и направление оси даются формулами (19.2.7) и (19.2.8). 21.Э. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОМПАКТНОЙ ГРУППЫ Мы пришли к одной из важнейших теорем о компактных группах.
Теорема. Пусть р» (й=1, 2, ...) — полный набор неэквивалентных неприводимых унитарных представлений компактной группы 6; пусть д„— размерность р", а р" (у) — матричные элементы преобразования р»(д). Тогда функции )» г(»р'„'„(у), й* 1, 2, ..., 1 -.т,п й», образуют полную ортонормированную систему на 6 относительно скалярного произведения, основанного на инвариантном интегрировании по 6. Замечания.
(1) Напомним, что на компактных группах левон правоинвариантное интегрирования совпадают. (2) Предпола- Гл. 7П Предетавлеппл групп П гается, что ~ г(д= 1. (3) Предполагается, что матричные элементы е относятся н ортонормированной системе векторов, так что матрицы (р'„(д)) унитарных преобразований р"(д) унитарны. Доказательство теоремы см. в книге Вилеикина 11965). С ортонормированностью этих функций дело обстоит просто, а вот их полнота представляет собой более глубокий факт, который был доказан Петером и Вейлем (1927).
Для 0=50(3) теорема гласит, что функции !' 2211-!-! е' '"Р',„(соз())е ' т, 1=0, 1, 2, ..., — 1(т',т(1, образуют полную ортонормированную систему на многообразии группы 50(3) относительно скалярного произведения гп поп (7„),)= —, ) ') ~Г,(а, 6, у)),(а, (1, у)з!пбг(аг(()г(у; оо Е см. (20.!2.2) и упражнение 3 в предыдущем параграфе. Разложение функций из (,г(0) в (обобщенный) ряд Фурье по функциям, описанным в приведенной теореме, называется гармоническим анализом на группе. Гармонический анализ на некомпактных группах включает обобщенные интегралы Фурье; см„например, книгу Гельфанда, Граева и Вилеикина 11962! по поводу гармонического анализа на Ы(2, С) и книгу Уорнера 11972) по поводу гармонического анализа на полупростых группах Ли. Аналогичная теорема справедлива при некоторых условиях для функций„полученных на других однородных пространствах с надлежащим образом выбранным скалярным произведением; см.
книгу Виленкииа (1965, равд. 4.5 гл. 1). Примером служит факт, уже установленный нами и состоящий в том, что функции У',"(О, ег) образуют полную ортонормированиую систему на единичной двумерной сфере. 21.7. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА КАК КОНЕгИГУРАЦИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА В ФИЗИКЕ Физические соображения часто указывают на то, какой выбор однородного пространства следует сделать, чтобы получить функции для заданной группы симметрии, представляющие интерес для рассматриваемой задачи. Для квантовомеханического движения в центральном силовом поле координатами являются г, О, гр; поскольку имеются лишь две угловые переменные, то подходящим однородным пространством будет двумерная сфера.
Этот выбор приводит к функциям Г7'(О, ег), которые, таким образом, можно взять для представления угловой зависимости волновой функции, С другой 21.д, Группа Мэ и родепыеппые еруппы стороны, для описания движения твердого тела около его центра масс существуют три угловые переменные, а именно углы Эйлера а, р, у, и в качестве конфигурационного пространства можно рассматривать многообразие группы 50(3), Зоммерфельд 1!9291 показал, что квантовомеханическая задача о движении симметричного волчка (твердого тела с двумя равными моментами инерции), которая представляет интерес для теории молекулярных спектров, может быть решена путем использования миогочленов Якоби.
Конечно, в качестве волновых функций симметричного волчка можно взять и функции (20.12.2). 2мз. ГРУППА Мэ И РОДСГВЕННЫЕ ГРУППЫ Движение в вещественном п-мерном пространстве 11п состоит из вращения х- )тх 11«ЕЗО(п)], за которым следует трансляция') х х+5, где $ — постоянный вектор. (Можно получить тот же результат и в том случае, когда данное вращение следует за трансляцией х х+$„взяв йэ )т э5.) Замечание. Слова «вращение» и «движение» могут ввести в заблуждение, поскольку здесь ничто ие зависит от времени 1. Вращение является простофиксированным изменением ориентации, а трансляция является лищь фиксированным смещением. Связи между некоторыми группами, представляющими интерес для физики, выглядят так: аО(2) — элО(З) -«Я Ма ' Мэ пэе где стрелка ведет от подгруппы к включающей ее группе, л.р обозначает собственную группу Пуанкаре (состоящую из комбинаций собственных преобразований Лоренца со смещениями в пространстве и времени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
