Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Теорема. Любое конвчномернов унитарное представление группы 0 полностью приводимо, т. е. или онп уже неприводимо, или может быть выражено в виде прямой суммы неприводимых представлений. ДокАзАтельствО. этот результат является следствием того факта,что если р унитарно, а Х, инвариантно, то, как легко видеть, подпространство Хгд также инвариантно. 1т,з. ЛЕММА ШУРА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ Доказательство теоремы, приведенной в этом параграфе, зависит от знаменитой леммы, которую доказал Шур в 1905 г. и которая кажется тривиальной, хотя является весьма глубоким результатом элементарной линейной алгебры.
Лемва (Шур). Если р, и р,— неприводцмые представления группы С на У" и У! соответственно, а А — матрица размера (хй, такая, что Ар, (й) = рз(й) А для всех д Е О, (21.3.1) то либо й=! и А имеет обратную матрицу А ' (и, значит, р, и р, эквивалентны), либо А — нулевая матрица. В первом случае А определяется единственным образом (с точностью до скалярного множителя) из условия (2!.3.1). Доказательство.
Пусть 3 — нуль-пространство матрицы А, состоящее нзвсех векторов х Е Уа, такик, что Ах=о. Пространство 5 инвариантиоотносительно всех р,(В), нбо если Ах=о, то Арг(В) х=о согласно (2!.3.!). Так как р, неприводимо, то 5 либо совпадает со всем Уа, н в этом случае А=О, либо 5 содержит лишь нулевой вектор.
В этом последнем случае не существуег ненулевого вектора, ортогонального ко всем строкам матрицы А; следовательно, количество строк ! ) й, а отображение х — г у= Ах обратимо, поскольку любая подматрица в А размера )гХЙ невырожденна н может быть использована для решения уравнения у = Ах относительно х. Пусть 5' †обр пространства Уа в У' при отображении х Ах; тогда надпространство б' является Юмерным н инварнантным относительно всех у1,4, Колплкюкме и неколлпктные группы й (Н), так как если у= Ах для некоторого х, то рк (г) у= Ах'для х'=рт (я) х. редставлеиие рэ иеприводимо; поэтому 5'=У~, Л=1, а А х — матрицаобратного отображения. Теперь докажем едииствеииость матрицы А, Допустим, что  — другая ненулевая матрица с тем же свойством, а именно Врэ (д) =рэ(й) В лля всех д; тогда нужно доказать, что А=соим В.
Ясно, что рэ (я) АВ- к = АВ -х ре(я) для всех г. Из этого равенства следует, что сели т — собствеииый вектор матрицы АВ-к (любая матрица имеет хотя бы одни собствеивый вектор), то ра(я) т также является собственным вектором этой матрицы, соответствующиы тому же самому собственному зиачеиию, скажем Л. Иначе говоря, одиомериое собственное подпространство, содержащее ч, инвариантно относительно рэ(я) для всех В. Поскольку р, иеприводимо, полное собственное подпростраиство, соответствующее Л, должно совпадать со всем Уа; таким образом, АВ-'т Лч для всех т, а, значит, В-т=ЛА-т вли А=ЛВ, что и требовалось доказать, Замечание.
В доказательстве нигде ие использовался тот факт, что 6 — группа. Все выводы сохраняются, если (р, (й)) и (р, (а))— два любых неприводимых множества квадратных матриц. Множество (Мт) матриц размера йхй является неприводимым, если нельзя найти нетривиального собственного подпростраиства пространства 11", которое было бы иивариантным относительно всех отображений х Мтх. При доказательстве леммы Шура был установлен следующий результат. Следствие. Любая матрица, которая ксммутирует со всеми матрицами неприводимого представления (или неприводимсго множества матриц), кратна единичной матрице.
Как дальнейшее следствие леммы имеем следующую теорему. Теорема. Любое конечномернсе неприводимсе представление р абелевой (коммутативной) группы одномерно. Доказательство. Так как каждая матрица р(л) коммутируетсо всеми р (я), то каждая р(Л) кратна единичной матрице; следовательно, представление р приводимо, если оио ие одномерно.
Теперь ясно, почему в З 20.5 были обнаружены только одномерные представления группы Ю(2). хтА. кОмпАктные н некОмпАктные ГРуппы В 9 19.5 было указано, что матрицы размера пха (вообще говоря, комплексные) можно представлять точками в 'пространстве имеющем 2п' (вещественных) измерений, и что множество всех матриц, составляющих любую группу, подобную ктЬ(п), от'.(и), (/(п), 0(п) и т, п., есть алгебраическая поверхность т" в пространстве У.
Для упомянутых групп (они являются непрерывными группами, или группами Ли) У' всегда представляет собой замк- Гл. 2Д Представления групп П нутое точечное множество, но оно может не быть ограниченным. Для 0(п), У(п), 50(п), ЯУ(п) поверхность У ограничена (например, из уравнения (!9.5.1) следует, что для группы 0(З) ни одна точка на У не может иметь координату гсуя, превышающую по абсолютной величине единицу), тогда как для 60(п), Я,(п), М„ и для группы Лоренца х не является ограниченной (расширяется в у" до бесконечности), В первом случае группа называется компактной (г есть компактное множество в й), а во втором — не- компактной.
Теория компактных групп много проще, чем соответствующая теория некомпактных групп; это обстоятельство демонстрирует интересную взаимосвязь различных областей математики: компактность группового многообразия представляет собой геометрическое свойство, в то время как упомянутые упрощения имеют в основном алгебраический характер, Следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства, показывают, что в случае компактных групп достаточно рассматривать унитарные представления. Теорема 1. Пусть р — конечномерное представление компактной группы 6. Tогда р эквивалентно некоторому унитарному представлению; иначе говоря, существует такая фиксированная нееырожденная матрица А, что матрица Ар(у) А ' унитарна для всех элементов д из 6.
Зто ложно переформулировать следующим образом: если определить в представляющем пространстве Х скалярное произведеЬег ние (, ), при помощи равенства 1а, т)),='(А$, Аг)), где (, ) означает первоначальное скалярное произведение, заданное кок (х, у) = х'у, то (Р М) ь. Р(И) т)) = (й т))г длЯ всех и Е 6 и всех $, Ч Е Х; (21 4 1) иначе говоря, матрицы р(д) унитарны относительно нового скалярного произведения. Справедлива и более общая формулировка: Теорема 2. Пусть р — представление компактной группы 6 на гильбертовом пространстве Н, т.
е. для любого д р(д) —. обратимый ограниченный линейный оператор в Н и р(д,у,) = = р(д,) р(уя). Тогда в Н существует новое скалярное произведение (, )ы такое, что (р(у) и, р(д)о),=(и, о), для всех уЕ 6 и всех и, оЕН. (21.4.2) Теорема 3. Все неприводимые унитарньсе представления компактной группы 6 конечномерны. В противоположность этому группы Лоренца имеют бесконечно- мерные неприводимые унитарные представления. Гл. 2/. Предсглоаленпя групп /1 где а и Ь вЂ” комплексные числа, подчиненные единственному условию (а('+ + ) Ь)'=-1. Поэтому если а=хт+/хз и Ь= ха+(х„то многообразие 5 группы 5У(2) гомеоморфно трехмерной сфере 5', т. е.
единичной сфере х',+х',+ + ха+хе=! в Йд 2. Покажите, что левая трансляция я Ьй в 5У (2), где Ь вЂ” фиксированный элемент группы, индуцирует вращение сферы 5з вокруг ее центра и, следовательно, покажите, что если «ой (9) — элемент трехмерной плошади на 5з, то в качестве весовой функции ю(я) в (21.5.2) можно взять константу и интеграл ~ / (й) «.4 (й) будет инвариантным относительно левых (также и правых) трансляций в указанной группе.
3. Пусть числа а и Ь нэ упражвеиня 1 записаны в виде а = соз ((3/2) ехр !1(я + т)/2), Ь = г з1п ((3/2) ехр (/ (и — т)/2), где О~и < 2п, 0~))~л, — 2п~т < 2я; тогда я записывается иак 9 (и, (3, т) и переменные а, Р, т называются углами Эйлера вращения а.
(Благодаря гомоморфизму группы 5У (2) на 50 (3), установленному в 4 !9.7, эти углы станут углами Эйлера для вращения П(я) в случае, когда т ограничен интервалом 0~7 < 2п; отметим, что замена т на т+2п приводит к замене д иа — й, но оставляет неизменным /! ',9).) Поиажите, что если углы Эйлера взять в качестве внутренних координат в группе 5У (2), то элемент плошади на 5з имеет вид «4 (а) = '/з з1 п )3 «п «(3 «у.
4. Покажите, что а (а, 5, т) 3 9 (а, О, 0) д (О, р, 0) й (О, О, 7). (21.5.3) 5. Обозначив Я (д(п, (3, т)) через /с(и, (3, т); покажите, что благодаря гомоморфизму группы 5У (2) на группу 50(3) (9 19.7) вращение Я(а, О, 0) совпадает с вращением )с (О, О, и) и валяется вращением на угол а вокруг оси г, тогда как Р (О, р, О) является вращением на угол )3 вокруг осн х. /)айте геометрическую интерпретацию результата упражнения 4 как закона композиции произвольного вращения из последовательных вращений вокруг осей а, х и а соответственно. 6. Выведите формулу для площади А„п-мерной сферы (единичной сферы в пространстве Е"+') нз очевидного равенства с Ф ч«+х и ~ е-Ы «х — ) е-г'Ааг» «г — м а используя для этого гамма.
функцию, и проверьте непосредственно, что фор. мула в упражнении 3 нормирована правильно. На основе (2 — 1)-гомоморфизма группы 5У (2) на группу 50 (3) установите, что (трехмерная) площадь втой поверхности, ноторая рассматривается как многообразие группы 50 (3) (см. 5 19.5), равна и'. Покажите, что объем и-мерного шара радиуса )7 есть 1~» = 12лша /(лг(я/2)) ) )!". Система тессеральных гармоник (г')") не единственная ортогональная система функций, которая появляется из представлений группы 50 (3). Тессеральные гармоники ортогональны на единичной двумерной сфере, которая взята в качестве однородного пространства для представления.
Однако, как было указано в гбз. Ннвариантнае инамериравание. Мера Хаара 3 20.8, многообразие группы тоже может служить однородным пространством; в таком случае возникает более широкий класс ортогональных функций, а именно функции от углов Эйлера а, р, у, которые можно рассматривать как внутренние координаты в 50(3). Приведенная ниже теорема будет иметь дело с такими общими системами функций.
Для дальнейшего нам привычнее будет обозначать выражение в(д)йА (у), которое появляется в левоинвариаитном интегрировании по многообразию группы, просто через йу и записать равенство (2!.5.1) в виде ) 1(йу) йк = 11(к) йк. (2 1.5,4) где, как и выше, йд — левоинвариантная мера (0 необязательно компактна). Левым регулярным представлением группы 0 называется соответствие каждому й из 6 отображения Р(п)" 1(а) 1(" 'и) (21,5.6) пространства Ее(6) на себя. (Аналогично правоинвариантный интеграл приводит к правому регулярному представлению.) Так как скалярное произведение основывается на левоинвариантном интеграле, видно, что (р(~)1 р(й)1,)=~1г(й 'а)1.(й 'у)йа=$1 (у)1,(уИув с (11, 1,) для всех 1,,1, из Ее и всех 6Е6", иначе говоря, это представление р унитарно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
