Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Группы, включающие пространственную инверсию и обращение времени, также представляют интерес, но оии сильно усложнили бы приведенную диаграмму. Группу М, мы подробнее рассмотрим далее в данной главе. Элемент группы М, есть отображение р=д: „а плоскости х, у на себя, задаваемое следующим образом: ' (;)-(„':)=(:,;,'.„";.'"„';„') ( ° Замечание. В теории групп вообще и в частности при определении «представлеиия» под «линейным преобразованием» понимают Ч Часто говорят: параллельный перенос или сдвиг на вектор $,— Прим, пере«.
Гя. 2!. Представления групп !! сов Π— з)пО $ з(пв созе т) 0 0 1 (21.8.2) Упражнвнив Проверьте, что в этом случае композиции дяут двух отображений вида (2!.8.!) ставится в соответствие произведение соответствующих матриц вида (2!.8.2). 11ЛЬ ПРЕДСТДВПЕНИЯ ГРУППЫ ДГ» Чтобы найти другие представления, допустим, что Х" обозначает пространство всех бесконечно дифференцируемых функций /(х, у), определенных для всех х и у. Очевидно, плоскость является однородным пространством для М,. Представление группы М, иа Х" получается путем преобразования каждой функции/(х.
у) в функцию (р (ст) !) (х, у) = / ([х — Ц соз 0+ [у — и ! з 1п О, — [х — Ц з!п О+[у — ц) соз 0) (21,9,1) согласно правилу (20.6.1). Три оператора /.1, /м /.а («иифинитезимальные операторы») определяются следующим образом: (/.т/)(х, у) =д(р(у)/)(х, у)/д$!1 „е „ (/.~)(х, у)=д(р(у)/)(х, у)/дт))1 „„, (21,9,2) (/я/) (х, у) =д(р(у)/) (х у)/дО)! „е е. Из (21.9.!) следует, что !., = — д/дх, !., = — д/ду, /., = уд/дх — хд/ду.
(21,9.3) Если Г н ср — полярные координаты в плоскости х, у, а /,+ и !.— ОПрЕдЕЛяЮтея СООтВЕтСтВЕННО КаК /.,+!/., И /.1 — !/.я, тО МЫ ОбНаружнваем, что !., = — д/дср, /.а =е+!е(д/дс-ь (!/Г) д/дср), /.е/. =/. /+ = 7а. (2!.9.4) 11.1В. некОтОРые неприВОдимые предстАВпения Представление (21,9.1) в высокой степени приводимо, и мы постараемся найти инвариантное подпространство Х, пространства Х", которое было бы столь мало в некотором смысле, сколь зто возможно.
Подпространство Х, должно преобразовываться само в себя при действии каждого из операторов /, /.„ /.г. При помощи ряда однородное преобразование; поэтому (21.8.1) будем называть просто «отображением». Нетрудно проверить, что трехмерное точное пред- ставление группы М, задается соответствием П./О. Иекопарые яеариеодимьм иредстаасенсся 9! Фурье относительно сг любую функцию )Е Х" можно разложить по функциям 1р„(х, у) = с " е' ч й„(г), (21.10.1) где сг — некоторая функция на (О, оо) из класса С". Причина, по которой взят множитель 1 ", скоро будет ясна.
При действии оператора Е, любая функция ф„преобразуется в кратную самой себе функцию; мы хотим начать с одной из таких функций ср„ и выяснить, какой же наименьший набор дополнительных функций следует взять для получения инвариантного подпространства. Из (21.94) видно, что Б" ф имеет вид е"""'ч й (г); следовательно, 1 й~ф,„имеет вид ес "у(г). Для получения наименьшего возможного инвариантного подпространства Х, теперь дояускаепсся, что д(г) равна д (г), умноженной на постоянную, скажем на — а'", н мы исследуем, может ли в действительности д быть выбрана так, что это допущение будет справедливым. Итак, мы хотим выбрать у„(г) так, чтобы Ь сР +, — — юа ф .
(21.10.2) Е.+ср„° (сс„ср +;, Таким образом порождается последовательность функций (ф„)"„ в предположении, что нн одна из постоянных м не обращается в нуль; но ни одна нз них н не может обратиться в нуль (разве только все вместе), поскольку Б+ и Е коммутируют, из чего следует, что а' =пР,; поэтому все эти постоянные можно взять равными. Тогда из (21.9.4) видно, что (21.10.3) Ч'ср . — а*ср для всех пс. Отсюда вытекает, что д„(г) будет пропорциональна функции Бесселя с„(аг); функции Бесселя будут рассмотрены в следующем параграфе. Заключение. Х, является подпространством пространства Х", состоящим из решений уравнения Ч'ср-!-а'с)=0 (которые не имеют особенностей); обозначим такое подпространство через Х„. Таким образом любое отличное от нуля значение а приводит к неприводимому представлению группы М,.
При преобразовании х — рх для вещественного р Ч' переходит в р 'Ч', поэтому без ограничения общности мы можем допустить, что !сс(=1. Более того, а и — сс определяют одно и то же подпространство; следовательно, в качестве значений а разумно взять есз, где 0(й( и. Для каждого такого а представление группы М, на Х„задается преобразованиями (21.9.1).
Га. гд Предаливленил груни П 21.11. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ Нормируем систему функций «ф„)"„, положив ф,(0, 0) =1. Тогда для каждого т функция Бесселя порядка т может быть определена как,/ (г)=д (г/а), так что (21,10.1) принимает вид ф„(х, у) =1 е' э l„(аг). Тогда (21.10.2) переходят в уравнения Ы!г)г т)г) )~ (г) = у~~ (г) (4с)г+ (т+ 1)!г),) „(г) у„(г), которые являются рекуррентными соотношениями для функций Бесселя.
Исключение У„+, (г) дает (ср)дг'+(1)г)о)ог+1 — т'!г*) 3 (г) О, (21.11.2) а это есть дифференциальное уравнение Бесселя. Функции Бесселя 2„(г) полностью определяются этим уравнением и начальными условиями,/,(0)=1 и l„(0)=0 для т~О. Для дальнейшего предполагается зйакомство с этими функциями и, в частности, с их интегральным представлением Г (г) силки г+ил~ с(1 ! гл 2л с (21.11,3) (21. 12. 1) (как и прежде, х гсозу, у гз)пчц, а общее решение есть л Г(Г <р) ~ Е~а~ сов И-Х>~()() Л)( где ) — произвольная функция из некоторого класса допустимых функций, точные свойства которых здесь неважны.
(Если а вещественно и если Г(г, ч) интерпретировать как волновую функцию, то асов)( и а з!пт суть импульсные переменные, а г (т) тесно связана с импульсным представлением функции 1(г, «Р).) Если плоскую волну ехр «)а х) подвергнуть преобразованию (21.9.1), то она переходит 21Л2, МАТРИЦЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Для некоторых целей бывает предпочтительней иметь преобразования, представленные (бесконечными) матрицами; матричные элементы можно получить следующим образом. Пусть а — вектор, компонентами (вообще говоря, комплексными) которого являются асов)( и аз1п т, где параметр а такой же, как в 5 21,10, а )(— вещественный угол.
Тогда приведенное волновое уравнение у'и+ахи* 0 имеет решение Е!ас сол (а - Х~ 93 Н.л2. Матрицы представлений в ехр((а (х — $)з), где индекс О указывает на то, что векторы х и $ повернуты (против часовой стрелки) на угол О. Если компоненты смещения записать в виде 5=~спаса, Ч=~з1пса, то из (21.9.1) будет следовать, что (р (и) ~) (г, ср) ) е'"' "' т -"' 7' (у) с()(, где (21.12,3) (штрих не связан с дифференцированием); в интеграле проведена замена переменной )( — 0 )( без изменения пределов, поскольку подынтегральная функция имеет период 2п. Следовательно, элемент и группы М„ состоящий из вращения на О по часовой стрелке, за которым следует трансляция на вектор $, индуцирует преобразование (21.12.3) в пространстве функций /, имеющих период 2п.
Теперь, разлагая 1()() и ~'()() в ряды Фурье Хс„е' " и ~ с' е' " соответственно, мы найдем, что О/и = .Е~ Рппрп~ и ф где р — р" (пп) — Еетеее (т-п)(п-и/а) ( ЕеаС в3п е+ю'(т-п1! ( па= тп ля,) -и Еи™ее < - > <п- /в> ) (агп) (21. 12,4) и где было использовано (21.11.3). Видно, что функции Бесселя появляются не только при определении инвариантных подпространств пространства Х", но и в зависимости матричных элементов р, от параметров $, в), 0 или ~, са, О, характеризующих элементы группы М,. Аналогичным образом можно получить неприводимые представления группы М, движений в евклидовом пространстве Е', принимая Е' в качестве однородного пространства.
Обозначим через Х„ пространство всех функций и(х, д, г), которые удовлетворяют трехмерному приведенному волновому уравнению 7*и+сели=*О с фиксированной постоянной а во всем пространстве Е'. Тогда представление группы М, на Х„, задаваемое при помощи соответствия каждому д из М, преобразования р(д): и(х) — и(д 'х) (21.
12. 5) пространства Х на себя, является неприводимым. Рассматривая инфиннтезимальные операторы этого представления, можно найти Гя. 2П Предетпелеппя групп (1 в Х„базис, состоящий нз функций Уг (О, ер) г ые /г м,(аг), 1=0, 1, 2, ..., т= — 1, — !+1, ..., 5 (21. 12.6) Поэтому происхождение так называемых сферических функций Бесселя )г (з) - $" я/(2~) ) г,м (з) (21.12.7) связано с неприводимыми представлениями группы М,. Представления группы М„рассматриваются в книге Виленкнна 119651.
В противоположность неприводимым представлениям компактных групп, которые являются коиечномерными н зависят от дискретного параметра !например, !=О, 1, 2,... для 30(3)), неприводимые представления групп движений бесконечномериы н зависят от непрерывного параметра а. Неприводимые представления групп Лоренца бывают двух видов: конечномерные, которые зависят от дискретного параметра, и бесконечномерные, которые зависят от непрерывного параметра. Первые получаются нз конечномерных представлений группы 5Е(2, С) (см. следующую главу) и появляются в релятивистской квантовой механике многих частиц. И те н другие представления нужны для полной совокупности неприводимых представлений; поэтому следует ожидать, что бесконечномерные представления могут также играть определенную роль в физике.
21ЛЗ. ХАРАКТЕРЫ Понятие характера у (я) представления играет в теории представлений чрезвычайно важную роль. Для компактных групп это ключ к установлению полноты системы неприводимых представлений, а значит, к решению вопроса о том, все ли представления найдены. Если р — представление на конечномерном пространстве Х", так что р(д) являются матрицами с элементами р „(р), то и Х(д) = 1г р(ьг) = Х ро(й). Следовательно, Х есть скалярнозначная 2=! функция на группе 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
