Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поскольку точка О>а была произвольной, отображение ф„ определено на всем Ма, причем 'рта рфы (О)а)) =фаз (а'ат) =а)о=фаз (а'аа). Упражнения Завершите доказательство, показав, что (а) ф,а — отображение яо; (б) любое 9тцМг имеет такую окрестность У, что каждая компонента фат~ (У) гомеоморфна У при отображении фко и (в) если Мт также односвязно, то однозначно определяет а)а, так что фы взаимно однозначно.
Замечание. Утверждение о гомеоморфности двух многообразий ничего не говорит о том, как они могут выглядеть при вложении их в некоторое евклидово пространство большей размерности. Окружность на плоскости как одномерное многообразие гомеоморфна простому узлу в пространстве; простая бумажная петля не гомеоморфна листу Мебиуса, но гомеоморфна бумажной петле, у которой перед склеиванием концов сделано два полуоборота (т. е. один полный оборот одного конца) или даже любое четное число полуоборотов, тогда как лист Мебиуса гомеоморфен петле с нечетным числом полуоборотов (одного из склеиваемых концов бумажной полосы). Во всем этом можно убедиться при построении этих многообразий методом склеивания краев, рассмотренным в 2 23.!, На основании данной теоремы односвязное накрывающее мно. гообразие называется универоплоноом накроешощим многообразием.
В 2 24.5 будет показано, что любое многообразие тч( имеет универсальное накрывающее многообразие. Это обстоятельство играет важную роль в теории групп Ли, а также при космологической интерпретации многообразий Эйнштейна. Поскольку построение универсального накрывающего многообразия представляет некоторую трудность, ниже приводится несколько замечаний о математических построениях вообще. 24.4.
ЗАМЕЧАНИЯ О ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСНИХ МОДЕЛЕЙ Широкое использование построений математиками представляется иногда на первый взгляд неестественным и иснусственным. т(то касается физиков, для которых вещественное число — это, например, мгновенная координата хр х(Т) движущейся точки, то в целом для них кажется неприемлемым рассматривать это число как бесконечный класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел (особенно когда напоминается, что каждое рациональное число есть бесконечный класс эквивалентности упорядоченных пар е4.4. Замечания о ностооении математичеения моделвй ыз целых чисел и т.
д.). Однако после завершения этого построения и выяснения свойств получающейся системы можно полностью забыть детали построения и рассматривать вещественное число как объект, столь же изначальный и неделимый, сколь и точка в евклидовой геометрии. Построение математических моделей начинает сейчас играть заметную роль в квантовой теории и теории относительности, причем в основном по тем же причинам, что и в математике; когда структура определена набором аксиом, остается только доказать их взаимную непротиворечивость, а наилучший способ сделать это — представить модель структуры, основанную на более простых аксиомах, которые уже были приняты ранее. Одним из наиболее старых примеров такого рода служит отношение математиков к комплексным числам. Некоторым математикам казалось неестественным и опасным утверждение о существовании такого числа 1, что Р= — 1, и было немало споров относительно возможности существования таких чисел.
Эгот вопрос был решен (Гауссом в 183! г. н независимо Гамильтоном в 1837 г.) путем рассмотрения упорядоченных пар (а, Ь) вещественных чисел со следующими определенными для них арифметическими операциями; (а, Ь)+(с, а)=(а+с, Ь+с(), (а, Ь)(с, е()=(ас — Ы, Ьс+ас(), вследствие чего система всех упорядоченных пар приобрела в точности те же самые свойства, что и снстемачисел а+Ьй если бы число( существовало. Но тогда допускать (или не допускать) существование комплексных чисел — дело вкуса, а писать лн (а, Ь) илн а+Ь( — это несущественно. Исследуя релятивистское волновое уравнение для электрона, Дирак столкнулся с необходимостью ввести четыре величины аь а„ а„ее„произведение которых удовлетворяло бы правилу ое,.ае+сееее, 26 „(1, и=1,..., 4). (24.4.1) Вместо того чтобы просто постулнровать существование этих аь а равенство (24.4.!) принять за аксиому, Дирак указал четыре матрицы размера 4 Х 4, произведение которых в точности удовлетворяет (24.4.1) (если правая часть равенства интерпретируется как единичная матрица, умноженная иа 264н).
Теория алгебр Ли начинается с абстрактных определений и аксиом. После чрезвычайно длительных и сложных рассуждений, содержащих много трудных лемм и теорем, получается классификация так называемых простых комплексных алгебр Лн, по которой такие алгебры сводятся к девяти типам, или классам. После этого возникают два вопроса: (1) В какой мере исходные аксиомы непротиворечивы? (2) Может лн быть так, что последующие работы 144 Гл. «4. Накрывающие мнагоиораэия еще более упростят теорию и исключат некоторые из этих девяти типов? На оба вопроса ответы были получены путем построения математической модели каждой (из этих девяти типов) алгебры без использования каких бы то ни было аксиом (кроме обычных арифметических). Некоторые из этих конструкций довольно сложны и искуственны, однако своему назначению они вполне соответствуют (см.
Хаузнер и Шварц [19б8)). Другим примером служит вопрос о возможности существования тех или иных неевклидовых геометрий (основанных на аксиомах„ отличающихся от аксиом евклидовой геометрии); эта задача была решена построением моделей без использования каких-либо новых аксиом. В этих моделях были введены определенные объекты, которые довольно произвольно были названы «точками», указано, что означает «расстояние» вдоль кривой между двумя точками, определена «прямая» как кривая минимальной длины между двумя точками и т.
д. и, наконец, было доказано, что эти «объекты» удовлетворяют всем аксиомам Евклида, за исключением того, что через точку 9, не лежащую на прямой Ь, проходят много различных прямых Ь', «'.",... и т. д., параллельных й (или — для другой модели — таких прямых нет вообще). Таким образом было доказано, что аксиому Евклида о параллельных можно изменять, не порождая этим противоречий ') (см. гл.
26 — 28). Распределения сами по себе являются конструкциями. Дирак постулировал существование некоего объекта, обозначенного через б(х — х,), который во многих отношениях должен был вести себя как обычная функция и, кроме того, обладать некоторыми де! особыми свойствами. Функционал <Ь, Ч»=* р(х«), если его интерпретировать должным образом, удовлетворяет всем этим требованиям, Математическая модель универсального накрывающего многообразия М для данного многообразия М строится в следующем параграфе методом, заимствованным из общей теории относительности (см. замечание в $ 23А), Пространство М не предполагается известным заранее ни как топологическое пространство, ни даже как набор точек.
Вместо этого имеется набор карт в указано, как их следует связать друг с другом, чтобы получить М. Согласно теореме Уитни о вложении (которая здесь доказываться не будет), и-мерное многообразие, подобное М (абстрактное или какое-либо другое), гомеоморфно и-мерной поверхности некоторого евклидова пространства Ег«более высокой размерности; эта поверхность дает другую математическую модель многообразия М, если первая модель была уже построена. ') Иначе говоря, аксиома о параллельных является независимой.— Прим.
л«ре«. 145 24.5. Построение уныверсальноео нанрытыл 2АЯ. ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОГО НАКРЫТИЯ Пусть задано связное многообразие М класса С», и мы хотим построить односвязное многообразие )И, накрывающее М. Предположим, что карты К, 1..... на М односвязны '). Выберем в М отмеченную точку В, и для любой карты К обозначим через а, б, ...
гомотопические классы путей из В, в К (концом этих путей может быть любая точка из К, поскольку К односвязна). Далее мы берем дубликаты карты К, обозначаемые через К„ Ки ..., по одному для каждого гомотопического класса (см. рис. 24,7), а затем для получения многообразия М соединим все Рис. 24.7. Построение универсального накрывающего многообразия. карты К„, Кр,..., (.с, 1,н,...,..., уточнив, как они должны перекрываться.
Если заданы любые две из них, скажем К„и ьч, то положим, что они не перекрываются, если не перекрываются в М карты К и Е. Если К и В перекрываются, то можно предполагать, что пути из а и т) имеют общий конец на перекрытии К и (.. Тогда мы будем считать, что К и (.н не перекрываются, если пути из сс не гомотопны путям из т); в случае же гомотопии указанных путей (в этом случае мы будем писать а т)) мы полагаем, что К„и ~ имеют то же самое перекрытие, что и К н Ь. Точнее, пусть К=(П, Ч, М), ).=(сг", ер', М'>. (24.б.)) Тогда для каждого а карта К„представляет собой копию К, отличающуюся от К и ат других копий только указанием раз- ') Точнее, односвязны множества сг, на которых определены координатные функции ы (см. й 23.!).— Прим. перев, 146 Гл.
л4. Накрыеающие мкаеаабраааа личающего индекса м. Пусть К„(У, юр, )У), 5„=(У', юр', У'), (24.5.2) где У„и 0„; — области многообразия М, которые определяются следующим образом: каждая точка х области У координатного пространства Е" определяет точку р Е О, с координатами лы ср1(р)=х~, где хе — координаты х. Многообразие М состоит из всех таких точек, определенных для всех карт К„, Кз, ..., (.с, („, ...,.... Этн точки М различны с точностью до отождествления точек, которое необходимо делать, когда определяется перекрытие карт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
