Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Перекрытие карт К и (, в М описывается, согласно (24.5.1), функциями хч хм(х', ..., к"), (24,5.3) которые определяют взаимно однозначное отображение области а( на область )Ч' н поэтому задают две координатные системы на области УП 0' из Ю. Если а ть то мы полагаем по определению, что перекрытие К и К„задается теми же самыми равенствами (24.5.3), а точку из 0„, имеющую данные координаты х', ..., х", отождествляем с точкой из Оч с соответствующими координатами х", ..., х", определяемыми этими равенствами Ясно, что эта процедура порождает некоторое многообразие М того же самого класса гладкости Са, что и й(. Проекция ф М на И легко определяется проектированием каждой К„ на соответствующую карту К: каждая точка из П„~М проектируется в точку из С<:М, имеющую те же самые координаты х',..., х".
Зта проекция ф принадлежит классу С", потому что в этих координатах она совпадает с тождественным отображением. Наконец, для доказательства односвязности М возьмем в качестве отмеченной точки А,Е М одну нз точек, лежащих над отмеченной точкой ВеЕМ. Точнее, пусть В, лежит в некоторой карте (. на й(. Рассмотрим гомотопическйе классы замкнутых путей, начинающихся н заканчивающихся в В,. Среди них есть класс нуль-гомотопных путей (скажем, т)), т. е. путей, стягнваемых в М непрерывно в точку В,. Тогда А„— это точка из Е„, лежащая над В„, т. е. имеюгцая те же самые координаты х', ..., хе в 1.ч, что и В, в (,.
Для произвольной карты К„на М возьмем один из путей класса сл в й( и поднимем его в М согласно первому принципу поднятия нз 4 24.2 и тем самым однозначно определим путь (обозначим его через а'), идущий из новой отмеченной точки А, в какую-то точку в К . Тогда в случае перекрытия карт К„ и получаем, что а ~; следовательно, по второму принципу под- 147 24.4. Построение универсального накрытии патия пути а! и ~! гомотопны в М или, точнее, становятся гомотопными, если их выбрать так, чтобы они имели общий конец на перекрытии К„и Е,. Пусть теперь й: Р(Х), 0<).<1,— произвольный путь в М; покажем, что он гомотопен любому другому пути, идущему из Р(0) в Р(1), т. е.
что М вЂ” односвязное многообразие. Каждая точка Р(а) на 6 относится к некоторой карте, а значит, и Р().) Рис. 24.9. относится к той же карте для ). из некоторого интервала (а — е, а+а). По теореме Гейне — Бореля можно выбрать конечное подразбиение (О, 11 вида 0 )ь, < )ьг « ° ° ° )" = 1 такое, что Р()ь) лежит в некоторой карте, скажем Е„, для всех )=О, 1, ..., )г — 1, и это верно для любого ХЕ~) 7, й +,(. Обозначим через й часть в' для ) «=Х()ьг;; зта честь лежит в Е .
Пусть для каждого 1 а,'— путь в М (такой же, как и в пре- Аи Рис. 24.9. дыдущемабзаце), идущий из отмеченной точки А, в Р(Х ), Так как обе точки Р()ь ) и Р(Х „,) лежат в Е„, путь а'; и и гомотопен ! а!'„(см. рис. 24.8), Поэтому аь' о аь о а, о... о йи, аь', Гл. 24, Накрывающие многообразия 148 а поскольку 1э в,о 1э, о...ов„„то 'и' (а,') ' о аь (см. рис. 24.9). Правая часть здесь зависит только от начальной и конечной точек Р(0) и Р(1) пути и; следовательно, любой путь из Р(0) в Р(1) гомотопен в, что и требовалось доказать.
Резюме (основная теорема). Любое (связное) и-мерное многообразие М имеет универсальное накрывающее многообразие М (также п-мерное), т. е. имеет односвязное накрывающее многообразие. М накрывает любое многообразие, накрывающее М, и все односвязные многообразия, накрывающие М, гомеоморфны М Модель М строится при помощи описанной выше процедуры. 24,6. МНОГООБРАЗИЯ, НАИРЫВАЕМЫЕ ЗАДАННЫМ МНОГООБРАЗИЕМ Рассмотрим теперь задачу, обратную нахождению универсального накрывающего многообразия М длялзаданного многообразия М: пусть задано М, и нужно построить многообразие М, которое может быть накрыто многообразием М. Процедура построения использует склеивание (отождествление) множеств точек в М. Приведем сначала несколько примеров.
Пусть М представляет собой (х, у)-плоскость, плотно намотанную на единичный цилиндр 2, ось которого лежит в направлении оси у. !яы знаем, конечно, что тогда плоскость накрывает цилиндр, однако мы сейчас покажем, как установить этот факт априори. Мы знаем, что для заданной точки (х, у) все точки (х+2п(, у), 1=0, .+.!, -Ь2, ..., плоскости совпадают с одной точкой цилиндра. Поэтому многообразие М, гомеоморфное цилиндру 2, можно построить так: определим лточкиэ многообразия М как множества Ле1 ((х+2п(,у): 1 О, ~1„...)=ф((х, у)), и соответственно этому определим и карты в М. Тогда отображение (х, у)- ф((х, у)) есть проекция М на М.
Говорят, что все точки (х+2п(, у) каждого множества отождествлены (т. е. сделаны идентичными). Отметим, что множитель 2п несуществен, потому что здесь играют роль только топологические свойства М. Отождествление (склеивание) точек (х+ и, у) или вообще точек (х+ап, у) для любого ненулевого вещественного числа а приводило бы к тому же самому результату. Аналогично, если для каждой точки (х, у) ЕМ отождествляются все точки вида (х+1, у+т), где ! и т независимо пробегают значения О, -ь1, 1-2, ..., то получающееся многообразие М оказывается тором (точнее, гомеоморфно тору).
Пусть М вЂ” бесконечная пачоса — ! (х(1, — оо (у( о. Пусть для данной точки (х, у) Е М отождествляются точки вида ге.б. Много»оразом, нонрыоагмыг заданным многооброашм 149 (( — ))'х, у+1), 1=0, ~1, ...; получающееся после этого много- образие гч' оказывается листом Мебиуса. Обобщая зти примеры, возьмем произвольное (связное) много. образие М. Предположим, что и — гомеоморфизм (класса С», если М является С»-многообразием) М на себя. Обозначим через и' 1-ю суперпознцию о, т. е. о' (Р) = а (о (... о (Р)...
)), Ф рее а через и"' — 1-ю суперпозицию обратного отображения и '. Для любой точки РЕ М рассмотрим множество точек ае! (Р) — (о (Р). 1 0 ~1 (24.б.!) [В первом примере о — сдвиг (х, у) — (х+2п, р) в плоскости.] Далее предположим, что и таково, что множество точек ф(Р) в М дискретно для каждого Р, т. е. предположим, что найдется такая окрестность точки Р, которая не содержит других точек ог(Р) с 1~0. Тогда, поскольку о является гомеоморфизмом, каж- дая точка о»(Р) имеет окрестность, не содержащую точек о'(Р) с 1Фй В рамках этих предположений получается многообразие й(, «точки» которого суть множества ф(Р): г»(=(ф(Р): Р ЕМ). Чтобы определить карты на гч, возьмем карту (К «р, й1) иа М.
Предположим, что «7 настолько мала, что в гг' не найдется такой точки Р, чтобы н о(Р) лежало в Г (В противном случае заменим эту карту на какую-нибудь подходящую подкарту,) Карта (сг, «р, У) многообразия гч' определяется тогда следующим образом: ге! 41 (ф(Р): РЕЮ, «р(ф(Р))=«р(Р), РЕ К )У гч. В качестве совершенно очевидного упражнения оставляется доказательство того, что (а) «р взаимно однозначно, (б) определен- ные так карты попарно согласованы и покрывают все й(, (в) ото- бражение Р ф(Р) является отображением на Ф, (г) любая ок- рестность гг' указанного выше вида является правильной окрест- ностью каждой своей точки, потому что компоненты ф "(ег) суть множества о'(0), 1=0, ь1, ....
Следовательно, ф есть накры- тие г»1 многообразием М. Покажем теперь, что каждое накрытне многообразия М мно- гообразием М связано с группой гомеоморфизмов М описанного выше типа. Пусть М н г»( — связные н-мерные многосбразия, причем М накрывает г»( посредством проекции ф (предполагается„что она Гя. 24. Наяремаеяние мяогообрааия не взаимно однозначна, так что накрытие не тривиально). Пусть В, и В,— отмеченные точки в М и М, причем В, лежит над В, (т. е.
ф(В,) .В,). Покажем, что для любой другой точки В; Е М, лежащей над В„существует гомеоморфнзм о многообразия М на себя, который переводит В, в В,'. Доказательство этою оказывается довольно простым, если М односвязно, и мы рассмотрим сначала этот случай. Если 6,— путь в М из В, в В;, а ве — его образ в М, то 6,— замкнутый путь, начинающийся и кончающийся в В;, далее мы фиксируем а~, и 6, и с их помощью построим гомеоморфизм а М на себя, при котором В, переходит в В; Пусть Р,: Р,(1) (0(1~~1), Р,(0)=В, — путь в М из В, в произвольную точку Р,(1)=А;. Построим образ А, прн отображении о. Пусть Р,— образ путй Р, в М с конечной точкой А„=ф(А,), а Р; — результат поднятия пути Ы„о Р, в М.
Тогда Р; (1) — точка, лежащая, как н А„над А,. Отображение о: М М определяется соответствием о: А, А,=Р;(1). Это определение корректно, потому что при таком же построении с любым другим путем Я, в М из В, в А, оказывается, что Яз гомотопен Р, (так как М односвязно); следовательно, путь Ж, о ф, гомотопен ге', о Р„а значит, по следствию второго принципа поднятия, Р; гомотопен ч';, и в результате получается та же самая точка А; как образ А, при отображении о. Более того, и взаимно однозначно, потому что 6,' существует. Ясно, что и непрерывно, поскольку малое смещение точки А, можно получить при помощи малого изменения пути Р; и, значит, малого изменения пути Р;, что дает малое смещение точки А,', Таким образом,а †гомеоморфизм М на себя.
Если М не односвязно, то уже нельзя утверждать, что пути Р, и Я, в М из В, в А1 гомотопны. Пусть А †конечн точка ();(1) пути Я,'; покажем, что А = А;, т. е. что отображение и определено все-таки корректно Пути Р о Р; и Я о Я; в М, идущие из А; в А; и из А, в А," соответственно, отображаются при помощи ф на пути Р,' К, Р, и Я,' Ж, ('„1,, Однако в Ф это замкнутые пути, начинающиеся и кончающиеся в А„и оба они гомотопны Ь';, из следствия второго принципа поднятия вытекает, что Р,-' оР; и Я оЯ,' гомотопны, и, следовательно, и определено корректно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
