Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Остальные рассуждения оказываются теми же самыми, что и в случае односвязности М. Если точки В; берутся в порядке расположения точек М, лежащих над В, (включая и саму точку В,), то получается группа Жб. Многообразия, наярыоаемые заданным многообразием 1б! гомеоморфизмов многообразия М. Действие этой группы на М таково, что для любой точки А, множество образов (о(А,): все и) дискретно. Чтобы убедиться в этом, возьмем правильную окрестность 0 точки А„=гр(А,). Все точки о(А,) лежат над А„однако, поскольку ф взаимно однозначно на каждой компоненте У' прообраза гр '(О), в каждой такой компоненте может быть не более одной точки, лежащей над А,.
Задача нахождения всех многообразий, накрь1ваемых заданным многообразием, тем самым сводится к задаче нахождения всех гомеоморфизмов о описанного выше вида. Эта идея используется в общей теории относительности (см. гл. 28). Глава 25 ГРУРРЫ ЛИ Группа Ли 6; линейная группа Ли; касательный вектор; алгебра Ли Л группы 6; произведение у1и; тождество Якоби; абстрактная алгебра Ли; структурные постоянные; локальный изаморфизм групп 30 (2) и 30 (3); зкспоненциальное отображение алгебры Л в 6; логарифмические (илн нормальные) коор.
динаты в 6; присоединенные представления алгебр Ли и односвязных групп Ли, формула Кэмпбелла †Бейкера †Хаусд! трансляция карты; идеалы! простая алгебра Лн; локальный и глобалыгый гомоморфизмы групп; теория гомоморфизмов; центр группы; центр алгебры," накрывающая группа; прямая и полупрямая суммы алгебр Ли; классификация простых алгебр Ли, Лредаарительнме сведению гл. 18, !9, 23, 24, 8 21,! — 21,4 Темой данной главы является современная теория непрерывных групп, часто неточно называемая теорией групп Ли.
Большинство самих этих групп играет определенную роль в физике и математике на вполне элементарном уровне. К этим группам относятся группы вращений и движений, группы Лоренца и Пуанкаре, унитарные и симплектические группы. Новое здесь состоит в изучении групп и связанных с ними структур с более глубокой аналитической, алгебраической н топологической точек зрения. Ключом к такого рода изучению является теория алгебр Ли и взаимодействия между группами н их алгебрами.
Это взаимодействие уже играло некоторую роль в квантовой механике с самого начала в том смысле, что элементы алгебр Ли появлялись в виде операторов, которые выводились нз свойств симметрии физической системы. В течение последних 25 лет многое из терминологии и некоторые специальные группы, такие, как группы, выводимые нз алгебры Ли б„появились в физике частиц. Правда, до сих пор применение указанной теории носило в основном эвристический характер, но представляется вполне вероятным, что по мере развития физической теории детали математического аппарата будут иметь все большее значение. В боль.
шинстве случаев теория групп Ли излагается весьма глубоко и поэтому оказывается затруднительной для неспециалиста. Я пытался представить эту теорию максимально элементарным образом, по возможности согласованным с полным описанием. Например, векторное поле на многообразии группы по определению состоит из таких компонент, которые преобразуются по некоторому закону (так это делается в физике), а не как абстрактное отображение (дифференцирование) в алгебре функций нз класса С". гад. Олределеаие и формулирование целей ггл. ОпРеделение и ФОРмулиРОВАние целеЙ Группой Ли является группа 6, элементы которой д, й, ...
можно рассматривать как точки некоторого многообразия таким образом, что теоретико-групповые свойства элементов изменяются непрерывно на этом многообразии. Другими словами, если д, Ь и пй представлены в картах !К ~р, Ж), (В", ~р', У') и !гг", ер", л(") (эти карты не обязательно различны), то координаты элемента дй должны быть непрерывными функциями координат элементов д и Ь, т. е. компоненты ер" (дй) должны непрерывно зависеть от компонент ер(д) и ев'(й); координаты д ' должны быть также непрерывными функциями координат д. Если 0 — группа матриц, подобно Я/(2) или Ю (3), и если многообразие определено, как в 9 !9.5, то рассматриваемая непрерывная зависимость получается автоматически, поскольку элементы матриц АВ и А ' (для невы- рожденной А) зависят непрерывно от элементов матриц А, В и А соответственно.
Если б — абстрактная группа, то непрерывную зависимость, о которой здесь говорится, следует постулировать. Формальное определение можно дать многими способами, ибо очень немногие основные свойства влекут за собой многие другие свойства. Например, часто постулируют, что группа должна быть С"-многообразием, но Гильберт в 1900 г. предположил, что от группы необходимо лишь требовать быть С'-многообразием, и тогда она автоматически будет С"-многообразием; зто предположение в 1952 г. проверил Глисон и независимо от него Монтгомери и Зиппин. Они показали, что многообразие любой группы Ли на самом деле является вещественным аналитическим многообразием. Кроме того, необходимо лишь постулировать одну координатную карту на группе, а именно карту, локализованную в малой окрестности единичного элемента, в которой дй и д ' непрерывны; остальная часть структуры многообразия тогда получается при помощи аксиом группы.
Определение, данное в этой книге, постулирует только то, что требуется для вывода остающихся свойств элементарными методами. Известные группы Ли, включая все те, которые (насколько я знаю) когда-либо встречались в приложениях, являются линейными группами Ли, т. е. они изоморфны группам линейных преобразований в конечномерном пространстве или, что эквивалентно, изоморфны группам матриц. Это часто относится даже к тем группам, которые появляются как группы нелинейных преобразований.
Например, группа преобразований Мебиуса в комплексной пло. скости г — (аг+ 6)!(уг+ 6) (аб — ур =.Ф О) изоморфна ограниченной группе Лоренца, которая линейна. Далее, многое в теории упрощается в случае, когда рассматриваются группы матриц, а не абстрактные группы Ли; например, экспонента от матрицы, ехр М, элементарна и хорошо известна, тогда как Гл. лб, Глупим Ли соответствующее построение для алгебры Ли абстрактной группы Ли требует техники, которая будет развита в последующих пяти параграфах. Итак, для физических применений одной теории линейных групп, по-видимому, будет достаточно.
Однако абстрактная формулировка представляется необходимой для полной теории. Даже если начинают с матриц, теория приводит к группам, которые не являются, по крайней мере очевидным образом, группами матриц, а именно к факторгруппам б/Н и полупрямым произведениям. Любая компаюпная группа Ли линейна, но доказательство этого основывается на весьма глубоких результатах теории; см. книгу Шевалле (1946!.
В приложении к этой главе описываются две нелинейные группы Ли. Абстрактная теория представлена ниже, но в различных местах указано сведение к матрицам; см. упражнения 1 — 7 в З 25.!4. Пусть б — группа. Допустим, что в пространстве, точками которого являются элементы б, определена и-мерная координатная карта (ьг. ~р, Ф), такая, что Г7 содержит единичный элемент 1 группы. (Мы используем символ 1, поскольку символ е потребуется для экспоненты.) Предположим для удобства, что ~р отображает ! в начало координат пространства Р'. ~р(1)=0, Подмножество П, множества 0 называется опирытым (как в гл. 23), если <р(Г7,) — открытое подмножество множества Л! в Р'.
Мы допускаем, что произведения и обратные элементов группы непрерывны в этой карте, когда их координаты определены. Тогда мы можем определить меньшую карту со специальными свойствами следующим образом. Пусть д и й принадлежат Г7. Если у и й достаточно близки к 1, т. е. если <р(д) и ~р(й) достаточно близки к началу координат в й", то дй, д ', й ' также близки к 1.
В частности, если д=й=1, то пй, д ', й ' равны 1, а их координаты определены и все равны нулю. Следовательно, по непрерывности существует такая окрестность У, единицы, что если д и й принадлежат П„то координаты элементов дй, д ', й ' определены и принадлежат открытому множеству Л! в И". Удобно Йм рассмотреть даже меньшую окрестность О, = О, П О, ', где Г7, ' = ам = (д '. дЕ ~7), и определить )У,=~р(Г7)<=Л!. Тогда если д и.й принадлежат 0„то дй содержится в К в то время как д-' и й ' содержатся в Г7,. Векторнозначная функция т(х„х,) поэтому определяется для всех х, и х, из !Ч, при помощи равенства гп(%(й) %(й))=Ф(йй)ЕК аналогично 1(х) определяется как ! (Ф(Ы)1='у(й' ') Е Л!о Группа б совместно с и-мерной картой (К ~р, Л') называется п-мерной группой Ли, если функции гп(, -) и 1( ) определены лй.д Определение и формцлироеание целей в открытом множестве Ж„как описано выше, и принадлежат классу С'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
