Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В дальнейшем из (К ф, Ф) при помощи групповых операций будут получены другие карты, с тем чтобы сделать 6 многообразием. Все группы, описанные в гл. 19, являются группами Ли, когда в них надлежащим образом определены координатные карты. (Некоторые авторы требуют, чтобы многообразие группы Ли было связным; по причинам, которые будут указаны в 6 25.11, это требование не обязательно.) Например, пусть 6 †груп вращений 50 (3) с внутренними координатами 0„, О,, 0„ рассмотренными в з 19.6. Тогда в качестве У можно взять множество всех элементов группы, для которых 1101~ ( п (т.
е. все элементы, для которых 10))~п), а в качестве б; — множество элементов, для которых 110 1~ ( п!2. Таким образом, М представляет собой внутренность шара К в к', который описан в 9 19.6, а М,— открытый шар, радиус которого равен половине радиуса шара К. Те же координаты можно использо. вать и для 0(3); в этом случае вся вторая компонента много. образна находится вне Г Для того чтобы вывести свойства групп Ли из данных выше определений, строится алгебра Л=Л(6) группы Лн 6: Л есть а-мерное линейное пространство элементов ь, )л, ..., в котором определена мультипликативная операция 1), 1и~, так называемое произведение Ли. Структура алгебры Л полностью определяется свойствами группы 6 в произвольно малой окрестности единицы 1; с другой стороны, Л полностью определяет многие свойства группы 6.
Затем строится так называемое экспоненциальное отображение Л в 6; оно обобщает отображение М ем для матриц. В некоторой окрестности начала координат пространства Л это отображение является взаимно однозначным„а компоненты элемента й служат (через обратное отображение) в качестве так называемых логарифмических координат в 6.
Из этой карты позднее получаются при помощи трансляций в 6 другие координатные карты, причем онн связаны с ней аналитически. Формула КВХ (см. 9 25,10) в явном виде задает еп(ь, )е) через Х и )л и показывает, что в логарифмических координатах зависимость произведения дй от д и й является аналитической. Эта формула связана лишь со структурой алгебры Ли, н отсюда следует, что в окрестности единицы 1, где определены логарифмические координаты, структура группы 6 целиком зависит от ее инфнннтезимальных элементов.
Прн исследовании групп Ли в приблизительно равных про. порциях комбинируются анализ, алгебра и топология. Применение мощных методов линейной алгебры дает полную классификацию алгебр Лн, из которой в свою очередь следует класснфи- 156 Гл. ?З.
Группы Ли кация групп Ли. Это может показаться неожиданным, если учесть, что часто группы Ли возникают как группы нелинейных преобразований — см. книгу Эйзенхарта 11933). ?%.?. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ я(, ) М 1( ) Поскольку функции т(х, у) и 1(х) принадлежат классу С', оии могут быть разложены в ряды Тейлора по компонентам х' и у' переменных х и у, включая члены третьего порядка с остаточными членами четвертого порядка.
Из группового отношения а1=!а=а для любого а следует, что )п(х, 0)= — гп(0, х)— = х (25.2.1) (вспомним, что ф(!)=О). Поэтому в разложении п)(х, у) вблизи начала координат обращается в нуль постоянный член, линейная часть разложения представляет собой х+у, а квадратичная часть разложения содержит члены типа хууг, но не содержит членов типа хгх" или урух; таким образом, т'(х, у)=х'+у'+аэхгу" +~ь?)х!хху'+с1~мхгу"у'+..., (25.2,2) где а, Ь, с — коэффициенты разложения и использовано соглашение о суммировании.
Аксиома ассоциативности теории групп налагает на гп(, ) ограничение )п(гп(х, у), г)=гп(х, ш(у, г)). (25.2.3) Если рассматривать только линейные и квадратичные члены в разложении гп(., ), то (25.2.3) удовлетворяется автоматически; тем не менее ассоциативность накладывает некоторые ограничения на коэффициенты а';~ в квадратичной части, что можно увидеть, если включить в разложение также и члены третьего порядка.
Подстановка (25.2.2) в (25.2.3) дает (после приведения подобных членов) а';,а, 'х'у"г'+ Ь1м (хту" + х"у1) г' = = а;'„а)" хгу'г'"+ см хг(угг'+ у'г"). (25.2.4) Исключим теперь из этого выражения коэффициенты Ь и с. Так как /, )г, 1, и являются индексами суммирования, нх можно переименовать в каждом члене таким образом, чтобы множители х"у'г" появились всюду; тогда, поскольку данное уравнение является тождеством по х, у, г, результирующий коэффициент при х"у'г'" должен обратиться в нуль, что дает / ю 1 а) аы — аг)а,„=см +сг,а — Ьы — Ьг Хб.8. Алгебра Ли грукли Ли Теперь просуммируем данное выражение по четным перестановкам тройки чисел к, 1, гп и из полученной суммы вычтем результат суммирования по нечетным перестановкам; правая часть при этом обратится в нуль, а в левой части получится сумма, которую можно записать в виде 0 ~ (а';„— а„';) (а1аЛ вЂ” агсь) (25.2.5) н в которой суммирование проводится по четным перестановкам тройки lг, 1, т.
Аксиомы группы не налагают больше никаких ограничений на коэффициенты а)м ибо уже приведенных ограничений достаточно, чтобы определить алгебру Ли, и в конце концов окажется, что любая алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой группы Ли. (Зто весьма глубокий результат, см. книгу Хаузнера и Шварца [1968, 9 111.71.) Из уравнения гп (! (х), х) = Гп (х, 1 (х)) = — О, которое выражает собой групповое отношение, заключающееся в том, что а 'а=аа '=1 для всех а, можно получить с точностью до квадратичных членов разложение функции 1(х). Р (х) = — х' -1- а,'их~хи+....
(25.2.5) 2Э.З. АЛГЕБРА ЛИ ГРУППЫ ЛИ Алгебра Ли А группы Ли б основывается на так называемых инфинитезимальных элементах 6, т. е. на касательных векторах к гладким кривым, выходящим из единичного элемента 1. Такая кривая задается функцией д(Г), определенной для некоторого интервала Ои Г(е (е) 0) и такой, что д(0)=1, а соответствующая кривая х(1) =<у(д(1)) в параметрическом пространстве Р' имеет касательную в каждой точке (включая 1=0, которая фактически является единственной существенной точкой). Если х(1)=ф(д(1))=ХГ+..., (25.8.1) то при преобразовании координат компоненты РУ вектора ).
преобразуются как компоненты контравариантного вектора в точке х= 0 многообразия (см. 9 26.1). А именно, поскольку ) = йр(а(())!й(!,=., видно, что если ввести новые координаты х" =х" (х', ..., х") (1=1, ..., п), то )." = дх "/дх~ )„=, ) с. Зтот вектор называется касательным вектором в 1 к кривой л(й) (Согласно приведенному выше определению, кривая задается параметризацией, а также множеством групповых элементов в ней; д(1), н(21), д(2' — 1) — различные кривые, выходящие нз 1, и они имеют различные касательные векторы, хотя все эти векторы имеют одинаковое направление.! Множество всех касательных векторов в 1 в некоторой и-мерной группе б составляет и-мерное векторное пространство над вещественным полем дс, так как если )е(+...
и )д(+... являются координатами двух гладких кривых, то (аХ+ б)д) г+..., где пи б — вещественные числа, представляет собой координату третьей гладкой кривой. Это векторное пространство станет алгеброй, называемой алгеброй Ди Л = Л (0) группы 6, когда будет определено умножение, основанное на групповом умножении в б.
Пусть н(1) и й (1) — выходящие из 1 гладкие кривые в О. Если функция й(1) определяется как коммутатор д(1) и й(1), т. е. если Л(1) =а (1) Д(Г) й(Г)- Л(Г)-', и если координаты н(1) н й(1) суть ер(а(1)) =1 (1)+..., ер(й(11)= Ф+ .. то непосредственное вычисление показывает, что координатой функции й(1) является Ч (й(1))= )е+..., (25.3.2) где »' = ад ()")дь — ) *Ф) =(а,',— а,';) Л!ф', (25 3,3) дм Из формулы (25.3.2) следует, что функция к(1)=А(г' г) есть кривая в 6, выходящая из 1, и что» вЂ” ее касательный вектор; » называется произведением Ди векторов Х и )д и обозначается при помощи скобок Ли: »=[1, )д] (25.3.
4) [Установив довольно сложные законы преобразования коэффициентов ам, можно получить непосредственно из (25.3.3), что»' преобразуются как компоненты вектора, когда изменяются координаты.] Из (25.3,3) следует, что произведение Ли линейно по каждому множителю и антисимметрично: [)д, Ц= — [), )д]; из выражения (25.2.5), которое было выведено из ассоциативности в б, следует, что произведение Ли также удовлетворяет тождеству Якоби [Э., [)д, »]]+[)д, [», й]]+[», [Х, )г]]=0 (253.5) Примером алгебры Ли является алгебра векторов в К', где произведение Ли определяется как векторное произведение [)., )д]= =Х х )д в обозначениях Гиббса.
Тождество Якоби можно прове- !вз Ж.а. Алгебры ди линейных гр пи рить, либо записывая (25.3.5) покомпонентно, либо используя тождество А х ((4 х ч) (А о) )4 — () м) У. Алгебры ли матриц будут рассмотрены в 9 25.5. 25.А АБСТРАКТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Конечномерное векторное пространство над полем скаляров гс (или 6) в случае, когда в этом пространстве определено умножение [А, (4], которое является линейным по каждому множителю, аитисимметричным и удовлетворяет тождеству Якоби (25.3.5), называется вещественной (соответственно комплексной) алгеброй Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
