Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В левой части равенства (25.9.1) с(е"/Ж представляет собой касательный вектор в точке е" группы 6; умно. жение этого вектора слева на е переводит его в касательный вектор в точке 1 группы 6, т. е. в элемент алгебры Л. Пояснение 2. Поскольку преобразование Абь можно представить при помощи матрицы размера пхл, а ряд для Г(г) абсолютно сходится для всех г, то Г(Аг(ь) вполне определяет линейное преобразование в Л. [В частности, если Л и Л' коммутируют, т. е если Аг)хХ' =[)., 2,'1=0, то правая часть (25.9.1) равна просто Х'.] Пояснение 3. Если Л вЂ” алгебра Ли матриц, то утверждение данной леммы в принципе можно установить, умножив степенной ряд для е ь'о на степенной ряд, полученный почленным дифференцированием ряда для еьо', и приняв во внимание некоммутативность матриц )ь и Х', раскрыв для этого скобки Ли, т. е.
по. ложнв [)., Х'1=).)ь' — "АЪ, Нетрудно проверить, что первые два или три члена результирующего разложения таковы, как указано в лемме. Докдзлткльство леммы Определим величины и (з 1)--з-зь(й дззь ~о(дз — Ь (1), Р (з. 1) = е-" "> дега вуд1 тэк, что Р (О, 1) = — О, н воспользуемся леммой нэ й 25.8: вь 59(тн — дй(з, 1)1дз= Р.
(1), Р (з, 1)!. гбло. Формула Кампбемп — Бебиерл — Хаусдорфп (КБХ) 169 для фиксированного аначепия г это дает дифференциальное уравнение вида 1' = ВР (а) !да = АР (а), где А — матрица преобрааования Ада <о', решением этого уравнения при началь. ном условии Р (О) =0 является 11 !а) = [(1 — е-ла)/А) а'.
(Замечание. А — вырожденная матрица, поскольку Ада и = О. Выражение (1 — ел')!А оаначает матрицу, полученную подстановкой А вместо г в целую функцию (! — е*а])а.) Поэтому р(1, 1 =Е-адЕЬАН=) !Лед) а', что и требовалось доказать. 15лв. ФОРмулА нэмпвеллд — Беянерд — хдусдОРФА (нБх) Если г. и )ь †коммутирующ элементы алгебры Л (т. е. если [)ь, )ь)=0) или коммутирующие матрицы, то еле"=вата. В общем случае мы ищем такой вектор о, что в"е" =е'. Формула КБХ дает явное выражение о через )., )а и скобки Ли, содержащие ).
и )а, для ) и )ь из некоторой окрестности начала координат Л. Теорема (КБХ). Пусть ф(г) = г 1и г~(г — 1) =! +!о/(1 2)— — гоа1(2.3)+еоа)(3.4) —... для )го! (1, где г=1+го; тогда для ) и )а в некоторой окрестности начала координат в Л аы а=1п (е'ви) =) +) ф(еа де' "аа) )аИ. (25.10.1) а Пояснение 1. Аргумент функции ф( ) в этой формуле можно представить матрицей М =!'+Ж' размера пхн, которую можно сделать как угодно близкой к единичной матрице, полагая ) и )а достаточно малыми. [Аб, есть нулевая матрица, а е"а — единичная матрица Л] Степенной ряд для ф(1+в) сходится абсолютно при (ю) (1; следовательно, ряд для ф (1+ (ат) сходится поэлементно, если каждый элемент и! матрицы Ю' удовлетворяет условию )го! ) (1!и, т.
е. если Л и )а ограничены некоторой окрестностью А) начала координат в Л. Пояснение 2. Векторы )., )а, о представляют собой координаты (логарифмические) элементов группы еа, еи, е'1 значит, о = гп ()., )ь). Поэтому формула КБХ является формулой для го., ) в логарифмических координатах и структура алгебры Л полностью определяет умножение в группе в некоторой окрестности единицы.
Пояснение 3. Все подразумеваемые в (25.10.1) разложения могут быть осуществлены, и несколько первых членов разложе- Гл. 25. Групп» Ли 170 ния логарифма имеют вид )п(е'ен)=Л+)ь+'/,[Л, )г1+х/1,[Л, [Л, )ьЯ+'/1,[)ь, [)з, Л))+... (25.10.2) Доказательство творимы. Обозначим через а (/) функцию (п (ехеги)! далее будет найдено дифференциальное уравнение для а(/), решение которого дает формулу КБХ Прежде всего, тзк как еее аЧЕг=еьегмп=ее(пр по лемме предыдущего параграфа имеем )г =е-о п~ бее ю/г// = / (Або а ) а' (г), (25.10.3) ГдЕ /(г)=(1 — Е-г)/г, ЕСЛИ Х(г) ОПрЕдЕЛИтъ КаК г/(1 — Е ')=(/(г))-', та Х(М)/[М)=/ для любой матрицы М, так что уравнение (25.!03) можно разрешить относительно а' (!): а' (/) =Х(Аб,<П) И (25.10.4) Согласно определениям Х(.) и ф ( ), имеем Х(г) =ф(е*); отсюда а'(б=чй[е о!'1)и.
Это дифференциальное уравнение можно упростить, используя лемму из 4 25.7, Або которая гласит (в обозначениях 4 25.8), что отображение е есть отобра- жение т- ее те о; в частности, Аб е Е"'и=ее"1че Е'О=еде'"ее г"е "=е е "и. Абх Сяб Теперь неизвестная функция стоит только в левой части, и формула КБХ получается интегрированием от !=0 до /= 1 с учетом условий а (О) = 1п е = )„а (1) = (п е ги = а.
Так как Аг)А — преобразование ч — [Л, т), то элементы матрицы Ас(х являются линейными функциями компонент вектора Л. Поэтому матричные элементы преобразований ехр (Ас(„[ и ехр [! Ас(и[ представляют собой аналитические функции компонент векторов Л и )г. Из аналитичности функции ф(г) при ! г — ! ! < 1 следует, что для Л и )ь, принадлежащих окрестности Ж начала координат в Л, о которой говорилось в пояснении 1, компоненты вектора а = !пехеи суть аналитические функции компонент Л и )г; благодаря аналитическому продолжению эти функции аналитичны при всех таких Л и )г, для которых определен логарифм. Когда используются логарифмические координаты Лг, )пе"еи представляет собой просто функцию умножения, которая ранее обозначалась через пт(Л, )ь).
От этой функции требовалась только принадлежность классу С', теперь же видно, что в случае логарифмических координат она должна быть аналитической. В этих координатах функция обращения 1( ) задается равенством 1(Л) = = — Л и, значит, также аналитична. 171 ябан Трансзпяпп карт. Соелпсоепнностпв УПРАЖНЕНИЕ Выразите матричные ззементы Абз через компоненты йт вектора А, если задан базис е„ ... е„ в Л, и соответствуннпие структурные постоянные С!а. 2БЛ1. ТРАНСЛЯЦИИ КАРТ. СОГЛАСОВАННОСТЬ. 17 КАК АНАЛИТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ В этом параграфе выбирается некоторая базисная (основная) карта с логарифмическими координатами в ней, а другие карты будут получены из нее при помощи трансляций в группе.
Чтобы несколько упростить эту работу, выберем базисную карту столь малой, что имеет место ряд полезных свойств. Во-первых, пусть П вЂ” окрестность 1 в группе 6, такая, что отображение е' — Х в алгебру Ли взаимно однозначно, благодаря чему в 0 можно использовать логарифмические координаты. Вовторых, пусть м" — достаточно малая подокрестность а 0 (открытое подмножество множества У), также содержащая 1 и такая, что если а и и принадлежат Р; то д)т принадлежит У и !ив)з задается формулой КБХ. Наконец, пусть %' — такая подокрестность в У, что если а и й принадлежат ТУ, то а!1 принадлежит !7, в то время как д ' и й ' принадлежат ТУ (это обеспечивает использование формулы КБХ для тройного произведения вида аза,'йз и т. п.), и пусть Ат — образ Тчг в л, т.
е. У= ()па: де 1йг). В дальнейшем ( ТУ, !п, А() будет рассматриваться в качестве базисной карты. Вспомним, что для любого фиксированного элемента а из 6 взаимно однозначное отображение группы 6 на себя, задаваемое как а — аа, называется левой трансляцией на а, а отображение у — аа называется правой транслят(ией. Для любого фиксированного а из 6 левотранслированная карта (а(У,,тр, Ат) определяется следующим образом: прежде всего подмножество аТУ группы 6 определяется как а'И/=(ап,; и, а ТУ); тогда для каждого а=.аут ЕаМ/ функция а~р(д) есть 1паи Заметим, что образом аТУ при отображении а. а~р(а) является то же самое открытое множество Ф в координатном пространстве Л, которое представляет собой образ Иу при отображении д !пд.
Аналогично получается правотранслированная карта (Юа, <р„А'). Теорема 1. Любые две карты, полученные при помощи трансляции базисной карты (ТУ, 1П, Л1), согласованы (в действительности аналитически согласованы). Пояснение. Если а лежит в 227, то левая (как и правая) трансляция иа а есть гомеоморфизм в данной базисной карте, насколько это определено, потому что координаты элемента аа суть непрерывные !72 Гл. 25. Группы Ли (даже аналитические) функции координат элемента у согласно формуле КБХ, а координаты д суть непрерывные функции координат ад, так как а=а з(ад). Следовательно, любая транслированная карта согласована с базисной картой, и будет показано, что любые две транслированные карты также согласованы друг с другом.
Таким образом, 6 становится многообразием, и теорема 2 (см. ниже) показывает, что эти трансляции являются гомеоморфизмами во всем 6. Доклзлтельство творимы !. Сначала рассмотрим карты, полученные левой трансляцией базисной карты соответственно нв а и Ь, Если пересечение аигПь)т' пусто, то карты автоматически согласованы.
В противоположном случае следует доказать, что это пересечение при помощи ф (а также и ыр) отображается на открытое множество в й (см. й 23.2). Иначе говоря, если и — любая точка данного пересечения, так что а=паз =Ьйт, где ат и Н! принадлежат )р, то нужно показать, что а принадлежит некоторому подмножеству, которое является открытым подмножеством каждой карты в соот- У ветствии с топологией этой карты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
