Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Естественный гомоморфизм 6 на 6!6, непрерывен и, значит, является гомоморфизмом группы Ли (следовательно, он аполитичен). Приведем пример, показывающий, что заключения теоремы могут не иметь места, если подгруппа 6, не является замкнутой. Пусть 6 — двумерная группа тора, состоящая из матриц еГа О (а, Р вещественны). ЗВ.14. Теоргма о гомоморфиэмое длл групп ди 188 Пусть бе — подгруппа из матриц < еи О (1 ве|цественно), где Π— фиксированное вещественное иррациональное число.
Многообразие группы б является тором, а многообразие группы 6,— спиралевидной кривой, всюду плотной на этом торе. Подгруппа 6„ нормальна, но не замкнута. Алгебра Ли Л представляет собой плоскость, н при отображении е" — Х группы 6 на Л образом б, является множество параллельных прямых, всюду плотное в этой плоскости. Л, есть прямая из этого множества, проходящая через начало координат. Относительно базиса (е„ е,), такого, что е, лежит теперь на Л„ вторая координата )е имеет различные значения на различных прямых множества, составляющего б„и поскольку любая окрестность начала координат пересекается бесконечным числом прямых указанного множества, то 11е не является постоянной ни в б„ни в любом смежном классе. Теперь сформулируем без доказательства две последние теоремы.
Теорема б. Алгебра Ли группы 6!Ое изоморфна Л(Ле. Теорема 6 (теорема о гомоморфизмах). Если б,— ядро гомоморфизма группы Ли б на б, то 6/беок 6. Иначе говоря, если Чг — изоморфизм (в смысле элементарной теории групп), определенный в 8 18.8, то Ч" и обратное отображение Ч' ' аполитичны. Первые семь из приведенных ниже упражнений имеют отношение к отчасти неясному вопросу (упомянутому в 8 28.1) касательно того, какие группы Ли имеют точные представления и, следовательно, являются линейными группами, т. е. могут рассматриваться как группы матриц (или соответствующих линейных преобразований), как это обычно справедливо для групп, встречающихся в приложениях.
Каждая алгебра Ли Л имеет хотя бы одно представление, так называемое присоединенное представление алгебры Л на себя (упражнение 2). Посредством экспоненциального отображения оно дает локальное представление группы Ли б на ее алгебру Л. Это представление может быть, а может и не быть расширено до представления всей группы б, и в случае существования такого расширения оно может быть, а может и не быть точным.
Упражнение 8 связано с накрывающими группами. Группа 56(2) есть универсальная накрывающая группа 'группы 50(3). Основная теорема 2 24.3 о накрывающих многообразиях гласит, что не существует никаких групп, которые накрывали бы И/(2), будучи неизоморфными 56(2). Следовательно, как утверждалось в 8 21.1, не существует многозначных представлений группы 50(3) кроме двузначных. Гл. 25. Группы Ли УПРАЖНЕНИЯ Центром С группы 6 называется множество таких элементов группы которые коммутируют с любым элементом группы, т. е.
с = (й Е 6: йй = Ай РА ~ 6). Аналогично центр 2 алгебры Ли есть множество таких элементов, которьц коммутируют с каждым элементом этой алгебры, т. е. 2=(А~Л: р,)г)Г б у ЕЛ). 1. Покажите, что центр группы Ли является замкнутой нормальной под. группой, а центр алгебры Ли — идеалом.
2. Напомним, что для любого )ч из Л Адг есть линейное преобразование )х [А, )ь) алгебры Л на себя. Покажите, что если произведение Ла двух таких преобразований определено обычным образом как [Адх, Ад„[=ЛдхАд — Аб Адх, после чего множество (Лдх. ХцЛ) всех таких преобразований становитсв алгеброй Ли, то отображение )ч Ад является гомоморфизмом алгебры Л иа эту новую алгебру. Этот гомоморфизм называется присоединенным пргдгтав- лгниглг Л (на себя).
3. Покажите, что если Л вЂ” алгебра бгз центра, т. е. 2=(0), то присо- единенное представление является точным (т. е. приведенный выше гомомор- фязм есть нзоморфизм). Аг„ 4. Если 6 однссвязна, то локальный гомоморфнзм вь в группы 6 на группу линейных преобразований в алгебре Л, рассмотренный в 4 255, можно расширить до гомоморфнзма всей группы 6, который называется при- соединенным представлением группы 6 на Л. Покажите, что необходимое условие для того, чтобы этот гомоморфнзм был изоморфизмом, заключается в отсутствии центра у группы 6, т.
е, С должен быть равен (1); тогда данный гомоморфнзм локально является изоморфнзмом. 5. Для иллюстрации упражнения 4 возьмем 50(2) в качестве 6 и примем за базис алгебры ли л группы 5(1(2) матрицы тн т„т, размера 2х2, определенные в (22,7.5). Тогда преобразования Айх представляются вещестАах венпыми матрицами размера ЗХЗ. Покажите, что матрицы в образуют Аах группу 50(3) и что гомоморфиам гх в вэтомслучае представляетссбой знакомый нам (2 1)-гомоморфизм группы 5(7(2) на группу 50(3).
Что яв- ляется центрами групп 5(1(2) и50(3)2 5, Если С вЂ” центр группы 6, то не обязательно отсутствие центра уфзк- торгруппы 616в. Покажите это путем рассмотрения конечной группы 6=(~1, ~1, лм[, йй), где 1, 1,  — базисные единицы кватернионов, удовлетворяющие соотношениям 1з=[з=йв= — 1, 11= — 5=А, 1А= — М=1, М= — гй=1, 7. Покажите, что центр 2 алгебры Ла Л является идеалом и что фак- торалгебрз Л12 является алгеброй без центра. 3.
Пусть 6 — связная группа Лн, М'-универсальное накрывающее мно. гообразие многообразия М группы 6, и пусть ф — проекциз М' на М. Многообразие М' становится груапой 6', называемой универсальной накры- вающей группой группы 6, если е этом многообразии определить умножение следующим образом, Сначала выберем одну из точек в М', которая находится над единицей 1 группы 6, н обозначим ее 1' [следовательво ф (1') = ! и 1' 25.15. Прямая и полуярямая сумма алгебр Ли 1ау будет единицей группы 6'1. Теперь допустим, что д' и Л' †д произвольные точки в М', а д'(з) и Й'(з) — правые в М', связывающие соответственно д' н а' с 1' так, что и'(О) =Ь'(О) =1', тогда как д'(1) =.у' и д'(1) =)у. допустим далее, что п(з) и а(з) — проекции кривых й'(з) и Ь'(з) на многообразие М, т.
е, п(з) =ф (д'(з)) и а (з) =ф(а'(з)). Тогда и (з), равное произведению п(з)а(з), будет некоторой кривой в М, выходящей нз 1. Пусть Гг'(з) — кривая в М', которая получается прн поднятии Д (з) в многообразие М', причем так, что й'(О) =1' (см. й 24.2); тогда произведением у'Ч в М' должна быть определена точка й'(1). Покажите, что зто определение состоятельно (т. е. не зависит от выбора кривых; вспомним, что М' — односвязное многообразие) и что благодаря ему 0' становится группой Ли.
Покажите, что проекция ф есть гомоморфизм группы Ли П' на 6. Покажите, что если Яе' лежит над ! (т. е. если ф (У') =1; иначе говоря, если я' принадлежит ядру упомянутого гомоморфизма), то у' коммутирует с любым а'ЕП'. Указание. Возьмите определяющие кривые в М' так, что а'(з)=!' для О~за х/з, а д',(з)=д,' для х1з~зчС1. 25Л5.
ПРЯМАЯ И ПОЛУПРЯМАЯ СУММЫ АЛГЕБР Лй Понятия, которые обсуждаются в этом параграфе, аналогичны прямому и полупрямому произведениям групп, определенным в 2 18.15 в связи с кристаллографическими пространственными группами. Предположим, что некоторая алгебра Ли Л может быть представлена в виде прямой суммы (в смысле векторного пространства) двух подпространств Л, и Л„т. е. любой вектор )чЕЛ можно однозначно разложить в сумму Х,+Х„где )., принадлежит Л„а ач принадлежит Л,.
Предположим, кроме того, что [)ы ).,)=О для любых ).х ЕЛ, и ~,зЕЛ,. В таком случае Л, и Л, являются идеалами в Л, а Л называют их прямой суммой Теперь предположим, что Л есть прямая сумма (в смысле векторного пространства) Л, и М, где Л,— идеал, а М вЂ” только подалгебра. Тогда для )1 и ).„принадлежащих Л„, и для )з, и )а„принадлежащих М, [), +)х д +)х.)=[)" Х )+[)х д)+[! ° )х.[+[)х ы) Первые три члена в правой части содержатся в Л, (поскольку Л, является идеалом) и могут быть переписаны в виде ) е) + А" о )'з Ас(иА тогда как четвеРтый член, [)з„)зз1, содеРжитсн в М, Такой же результат получается, если мы начинаем с алгебр Ли Л, и М и строим Л„но сначала следует отметить некоторые свойства линейных преобразований Ас(н.
Каждое из них преобразует идеал Л„в себя, и отображение ы — Ас(„является пред. ставлением алгебры М на Л, согласно упражнению 2 предыдущего параграфа, потому что для )з н т, принадлежащих М, Ад1н,,) = Ад„Адч — Аг(ч Ас(н. Гл. уб. Группы Ла Для фиксированного )х преобразование Ад„есть дифференцирование, т. е. Ад„Р.„Х,) =(Аб„й„).,)+(Л„Ад„й,).
(В любой алгебре дифференцирование представляет собой линейное преобразование р, такое, что р (х о у) = р (х) о у+ к о р (у), где кружок означает операцию умножения в этой алгебре.] Пусть теперь Л, и М вЂ” две заданные произвольные алгебры Ли, и пусть преобразование )з р()з) является представлением алгебры М посредством дифференцирований в алгебре Л,. Алгебра Ли, которая называется иолуирямой суммой алгебр Л, и М и обозначается через Л„®РМ, определяется следующим образом. Рассматриваемая как векторное пространство, она представляет собой прямую сумму Ла и М, так что ее элементы суть упорядоченные пары (Х, )з), где ХЕ Л„а )з ЕМ, и, кроме того, в ней определено произведение У!и следующим образом: Р ° М*), Р.. М'Ц=Рт. Х,1+»(М,) Х,— р(рз) Х [р рз1).
Очевидно, что это произведение линейно по каждому множителю и антисимметрично. УпРАжнение !. Покажите, что определенное сейчас произведение удовлетворяет тождеству Якоби, Пусть Л = Л, Яр М. Если отождествить Л, с множеством элементов вида ()ь, О), а М с множеством элементов вида (О, )з), то р()з) станет в точности преобразованием Ас)р в Л, потому что Аг)ге, н! (!" Ог =[(О )з) (Х О)3=(р()т)Х 0). УПРАЖН ЕНИЕ 2, Пусть б„и Н вЂ” заикнутые подгруппы группы Ли С, причем б, нормальна. Допустйм, что каждый алемент а из б имеет единственное представление в виде дел, где уз и 6 принадлежат соответственно бе и Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
