Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Иначе говоря, все элементы подгруппы Н представляются едийичными матрицами размера т зс лп поэтому представление р факторгруппы О/Оэ не является точным. Второй пример не столь элементарен (по крайней мере предстоящее его рассмотрение), потону что используется достаточно глубокая теорема о представлениях алгебр Ли. Будет показано, что если 6 — универсальная нанрывающая группа группы 50 (2, К) (т. е. группа вещественных матриц размера 2 Х 2 с детерминантом, равным единице), то О не клюет никаких точных конечномерных представлений.
Получим канонический вид любой матрицы М группы 5Б (2, й). Пусть Н вЂ вращен (элемент подгруппы 56 (2)), которое преобразует первый столбец матрицы М в вектор с компонентами а, О, где а > О. Тогда ЯМ имеет вид ЯМ= ( ), ас=!. Пригож. к гл. 25. Даг нелинейные группы Ли 203 Пусть теперь р — представление группы О на ж-мерном векторном пространстве )!и=Си. Будет показано, что р не является точным. Некоторое представление алгебры Л, которое будем также обозначать через р, индуцируется обычным образом; р ЯГ) Г йр(аз х, а))53! З „„а И т. д. Согласно Хаузнеру и Шварцу [1963, с. 143, теорема 2[, представление (вещественной или комплексной) ауосглой алгебры Ли Л вполне приводимо, т. е. ри может быть представлено в виде прямой суммы (гж Я Уа'ф... инзариантных подпространств, в каждом из которых р непризодимо (~„дг=гн).
Группа 6 порождается элементами вида е (Л Е Л), и р (е ) =го 'Х'; следовательно, х представление р группы д также вполне приводимо. Точнее говоря, каждое з иэ подпространств )г ! пространства уи инвариантно относительно р (я) для а всех я ц О и сужение р! представления р к подпространству )г ! неприводимо. Пусть яг — элемент й „ч з! яг и все его степени лежат вад единичнь1м элементом группы 3Б(2, Е) н, значит, коммутируюг со всеми я ~ б; следовательно, по лемме шура рг(ят)=-х(, где ! — единичная матрица размера Ф! х э!. Так как каждое представление унимодулярно, бе! р! (я) =1 для всех я; отсюда а -! л ! =1. Это верно для любого 1; следовательно, существует степень иг элемента 2! (например, !=ПА!), такая, что и (дг) =р (йг)г=! [единичнан матрица размера гл Х лг). Но яг~ не является единицей группы 6; поэгому р не является точным представлением.
Глава 26 МйтРИ((А И ГЮДВЗИЧВСКИй НД МНОГОО6РДЗИИ Скалярные, векторные и тензорные поля; скобки Ли; ковариантные и контра- вариантные векторы; законы преобразовзния; внутреннее и внешнее произведения; свер ~на; закон частного; производные; метрический тензор; положительно определенная н неопределенная (индефинитная) метрика; римановы и псевдоримановы многообразия; поднятие н опускание индексов; геодезические; вариацианное уравнение Эйлера; естественный (натуральный), аффинный или предпочтительный параметр; трехиндексные символы Кристоффеля; пространстзеннонодобные, нулевые и временноподобные геодезические; задачи с начальными данными и двухточечные задачи о геодезических; интегральные уравнения Вольтерра; итерации Пикара; теорема Уайтхсда; продолжсвие геодезических; аффинно связные многообразия; римановы и псевдоримановы накры.
ва~ощие многообразия. Предеапншельные сведения: элементарная теория многообразий (гл. 23 и 24). Многообразие по определению гл. 23 — это объект, полностью характеризуемый своей локальной топологией: оно является локально п-мерным пространством, удовлетворяющим аксиоме Хаусдорфа об отделимости. В этой и в двух следующих главах многообразие будет наделено геометрической структурой путем введения новых понятий, таких„как геодезические кривые (геодезнческая — это аналог прямой в евклидовой геометрии), длины, углы и т.
д. Наиболее важным из них является понятие геодезической, которое в основных интересующих физиков геометриях получается либо нз понятия метрики, либо из понятия аффинной связности; для нас исходным будет понятие метрики, поскольку она подобна расстоянию в общеизвестной евклидовой геометрии.
Грубо говоря, геометрические свойства есть нечто противоположное глобальным топологическим свойствам данного многообразия, для которого последние выражаются посредством целочисленных или дискретных величин, подобных числу компонент, фундаментальной группе, высшим гомотопическнм группам, тогда как геометрия описывается непрерывными вещественными величинами — длинами, углами, натуральным параметром вдоль геодезической (см, 5 26.6, 26.7 и 26.12). Риманова геометрия исходит из метрической дифференциальной формы с(аз =.~чР~дузг(хг дха (в данной координатной системе), которая и определяет геометрические свойства. Геометрия единячной двумерной сферы служит простым и известным примером неплоской двумерной геометрии; для нее дзе = йОз+ з1па О дгрз 2б.!.
Скалярные и векторные воля на многообразии 205 (в сферической системе координат). Геодезическая (наикратчайший путь) между двумя точками на сфере — дуга большого круга; отсюда следуют различные теоремы сферической геометрии, например сумма углов треугольника (сторонами которого служат геодезические) превышает и на величину, равную площади треугольника. Хотя общее риманово многообразие в принципе можно было бы рассматривать как вложенное в некоторое евклидово пространство Ен достаточно большой размерности (точно так же, как двумерную сферу можно рассматривать как поверхность единичного шара в Ее), при изучении внутренних геометрических понятий, порождаемых метрикой, удобнее пользоваться внутренними (собствениыми) координатами. Если метрическая форма на многообразии М положительно определена (см.
4 26.4), то М называется римановым многообразием; если она не положительна (индефиннтна), то М называется псевдоримановым многообразием — такие многообразия фигурируют в общей теории относительности. Как мы увидим, существуют глубокие отличия между этими двумя типами многообразий. Далее предполагается, что М является связным и С"-гладким многообразием, где й достаточно велико, чтобы обеспечивать существование любых встречающихся в данной теории производных,— для этой и следующих двух глав достаточно взять й 4. В теории относительности нельзя предполагать, что М принадлежит классу С", потому что метрика определяется распределением материи, которое необязательно бесконечно дифференцируемо, а также потому, что уравнения гравитационного поля, будучи гиперболическими, допускают распространение разрывов различных производных от ди, в виде гравитационных волн.
ЗЬЛ. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИИ В евклидовом пространстве с декартовыми координатами х', ..., х" векторное поле описывается и функциями о' (х', ..., х"), е 1,..., и, причем при преобразовании декартовых координат вращением осей компоненты о', ..., о" векторов преобразуются той же матрицей вращения, что и координаты х', ..., х". Если рассматриваются криволинейные координаты, то становится необходимым различать два типа векторов: ковариантные и контравариантные, которые имеют различное физическое или математическое происхождение (иногда вводятся также так называемые векторные плотности разнообразных порядков; это часто удобно, но не необходимо). Прежде всего рассмотрим скалярное ноле (скаляр) на многообразии М, т.
е. функцию Г(Р) на М, вещественнознайную, если не сказано другое. Когда г(Р) задана во всех точках Р ЕМ. Гя. гб. Метрика и геодезическое ни многообразии как в 3 23.5, с каждой картой (О, ер, Ф) связана функция )(х', ...,хн)=г'(х), определяемая уравнениями )(х)=)'(Р), х=гр(Р) иРЕО, (26.1,1) Множество всех функций Г (...), связаинь;х с каждой картой, можно рассматривать как определение скалярного поля г'(Р), Если (се", ф', У') — другая координатная карта, то связь между соответствующими функциями Г и ~' на перекрытии двух карт выражается просто: г (х) = г"' (х '), (26.1.2) где (26.1.3) или, короче, о;(х)=д~(х)~дх' (1=1, ..., п). (26.1.5) Если на перекрытии двух карт связи, устанавливаемые уравнениями (26,1.3), описываются (как и в 3 23.2) функциями х' = хг (х", ..., х"), (26.1,6) х" =х" (х', ..., х") (26.1.7) и если на второй карте также записан соответствующий градиент о, '(х') = д~' (х')/дх" „(26.
1. 8) то связь между двумя наборами функций (о;) и (о,') на перекрытии двух координатных систем выражается равенством о,' (х') = ('дх" (х')/дхо) ок (х). х = ер(Р), х' = гр' (Р). Соотношение (26.1.2) интерпретируется следующим образом: оио становится тождеством по х', ..., х", если х" (в правой части) выражаются через х', или тождеством по х", ..., х", если х' (в левой части) выражаются через х"; ) и )т принимают одно и то же значение в данной точке РЕгИ. В то время как скалярное поле представляет собой множество функций Г" ( ), связанных с каждой картой, векторное поле или тензорное поле являются множествами наборов функций, причем с каждой картой связан один набор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
