Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Величины х" есть компоненты контравариантного вектора, но х» таковыми не являются. Тем не менее уравнения (26.6.12) в некотором смысле инвариантны: если в некоторой системе координат им удовлетворяет данная кривая Р(Х), то эта кривая удовлетворяет им и в любой другой системе координат, потому что эти уравнения выведены из инвариантного уравнения (26.6.8). Геодезическая и натуральный параметр являются инвариантными объектами.
Левые части уравнений (26.6.12), вычисленные не обязательно на геодезической, образуют в любой точке кривой й контравариантный вектор (полученный при помощи так называемого абсолютного дифференцирования вектора х» — см. Ч 27.6), хотя отдельные члены в (26,6.12) сами по себе не являются компонентами какого-либо вектора. Если кривая и" проходит через несколько карт н в каждой из них удовлетворяет (26.6.12), то Ю также называется геодезической на многообразии. За.т. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА ПСЕВДОРИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ В этом случае Ф может быть отрицательным, поэтому величина 1., ь определенная как ~ ФЫ' йаь, не имеет смысла длины. Даже если ь переопределить Ь как ) )Ф)"»с(нь, то В еще не будет длиной в а обычном смысле, так как для любых данных точек Р и Д всегда можно найти такую (кусочно гладкую) кривую от Р до Гь, что для нее Е=О, Тем не менее кривая в': х»=х»()), удовлетворяющая (26.6.12), по-прежнему называется геодезической, а ) называется натуральным параметром.
Величина Ф= д хох" постоянна на в, и возможны три случая 222 Гл. 2В. Ыетрико и геоогиоииескиг ио миогооорооии если Ф >О, то и" называется пространственнопадобной если Ф=О, то и" называется геодезической; (27.7.1) нулевой геодезической; если Ф < О, то й называется врел>еннопадабной геодезической. 2ВЯ. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ. УСЛОВИЕ ЛИПШИЦА Пусть а', ..., а" — координаты (нз данной карте) произвольной точки Р„риманова илн псевдориманова многообразия й1.
Задача с начальными данными для нахождения геодезической, идущей из точки Р, по направлению касательного вектора в Р„с натуральной параметризацией состоит в следующем: нужно решить дифференциальные уравнения — =рл, += — (,Яр"р' ()=1, ..., п) (26,8.1) с начальными условиями хл(0)=аг, рл(0)=$л ()=1, ... п). (2682) В следующем параграфе будет показано имеет единственное решение дяя ), из [ — Л„).,1. Удобно ввести обозначения уи = хи — аг (я = 1, ук+к рк (й что эта задача всегда некоторого интервала > п), , п) и переписать дифференциальные уравнения в виде ау'(сР.=Го(у', ..., у'и), у=1, ..., 2п, (26,8,3) гпе через Г"" обозначены функции в правой части Гг-го уравнения (26.8.1) для й=1, ..., 2п, а символы Кристоффеля теперь рассматриваются как функции от у', ..., у'". Функции Ги для всех у', ..., у'" определяются так, что соответствующая точка х',, х" лежит на заданной карте.
Предполагается, что все 1„2>) и их пер- Так как Ф вЂ квадратичн по х" функция, зта классификация не зависит от выбора натурального параметра. Параметр Х можно выбрать так, чтобы в первом случае было Ф= 1, а в третьем Ф= — 1; в этом случае ) называется соответственно расстоянием и собственным временем вдоль кривой и'. Геодезические играют важную роль в общей теории относительности. 2В.В. Геодезические. Задо»о с нпчальныла данными вые производные непрерывны на этой карте; оказывается, что в этом случае функции )» удовлетворяют условию Липшица на любой компактной области (у', ..., у'")-пространства, па которой они определены. Это означает, что для любой постоянной 6, такой, что 1» определены для всех у', ..., уаа в кубе К =(у: 1у') (6, 1= 1, ..., 2п) найдется такая постоянная 6= 1.
(6), что для л1обых двух точек (уг) и (у') из йг 1)» (у» узч) )» (ут уаа)~ ~ 1. шах 1 у' — 1~ и=1, ..., 2Ю ) =1, ..., 2п. (26.8,4) Доказательство этого свойства ()») предлагается в качестве упражнения. Оно основано на использовании вида Г», заданного в (26.8.1), и предположения, что символы Кристоффеля являются функциями класса С' по переменным у', ..., у". В новых обозначениях задача с начальными-данными принимает вид ду»(дЛ = )» (у', ..., ун), у" (О) = у» задано (й = 1, ..., )ч' = 2п). (26.8.6) В следующем параграфе будет доказано, что эта задача имеет единственное решение вблизи Л =0; следовательно, выполняется и следующая теорема.
Теорема 1. Задача с начальнылш данными (26.8.1), (26.8.2) о геодезических, идущих из точки Р, в направлении начального касательного вектора 16»), имеет единственное решение х" (Л) на некотором интервале — Ла < Л < 1., (Ла > О), Следствие 1. Если кривая е есть геодезическая Р(Л) на М с натуральной параметризаг(ией и удовлетворяет начальным условиям (26.8.2), то Р(Л) единственна на всем ее ттротяасении'). Доказательство. Предположим, что Р,(Л) и Р,(Л) — две такие кривые и что Л,— точка, в которой они расходятся, т. е.
Лт =лир (Л: Р, (Л') =-Р, (Л'), 0~ 1,' ча Л). Положим Р,=Р,(Лг)=Р»(Л) и применим теорему 1 к задаче с начальоыни даннычи в Лп тогда оказывается, что если Р, (Л) и Р, (Л) определены за точкой Л=Л„то они совпадают на некотором интервале (Л~ — Л„, Л1+Ла), а следовательно, они не расходятся в Л1 вопреки предположению. Если начальный касательный вектор (1») заменить на вектор того же направления, но другой длины, то в качестве множества точек в М почучается та аке самая геодезическая, но с другим выбором натурального параметра Л, т. е. из структуры уравнений (26.6Л) следует, что если (»» (Л), р» (Л))— какое-то решение для Л а (О, Л»1, то при а > О (л»(оЛ), ор" (аЛ)) †решен для Л ~ [О, Л,/о). В качестве начального касательного вектора вместо (й") берется вектор (ай»).
Если положить о= Ле, то отсюда следует, что для любого заданного направления всегда существует решение, определенное для ") То есть 5 ие может разветвляться. — Прим. ледеа, Гл, уд. Двечгрггка и геодеэичгские но многообразии всех Л С 10, П, перпоиачально идушее и этом напраиленни и такое, что асе компоненты его начального касательного аектора меньше некоторог1 положительной константы. Можно также доказать, что эта константа непрерывно заеисит от папраэлепин (Сл), а значит, имеет нижнюю грань или минимум, Поэтому верна следующая теорема. Теорема 2. Пусть, как и вьиие, а', ..., а" — координаты (в некоторой карте) точки Р,. Существует такая положительная константа К=К(ре), что задача с начальными данными (26,8,1), (26,8.2) о геодезической имеет решение на интервале 0<Л<1 для всех векторов (за), таких, что ~Р! < К (Й=1, ..., и).
Эта теорема будет использована в следующей главе для доказательства существования в окрестности точки так называемых рима- новых координат. 2вхн ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ. ИТЕРАЦИИ ПИКАРА Данный параграф содержит материал, не относящийся непосредственно к теории многообразий; он посвяшен доказательству фундаментального свойства обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно сушествования решения задачи с начальными данными (26.8.5) в случае выполнения условия Липшица (26.8.4). И теорема существования, и сам метод ее доказательства широко применяется во многих областях физики и математики. Перепишем задачу с начальными данными (26.8.5) в виде интегрального уравнении Вольтерра (в котором независимая переменная Л оказывается верхним пределом интеграла): л ул(Л) =уэ(0)+ ) )а(у(Л')) Ю', й 1, ..., Ф, (269.1) э где у — вектор с компонентами у', ..., ун.
Далее удобно использовать норму (! х(=шах~ хг 1, которая позволяет записать условие (гз Лившица в виде ~('(У) — Г'(У)(<цу — й, В=1, ..., йГ. (26.9.2) Решение интегрального уравнения (26.9.1) получается здесь итерал(ионным методом Пикара, в котором уа(Л, с) обозначает г)-ю итерацию, ул(Л, 0) есть у" (0) (не зависит от Л), а последовательные приближения задаются формулой ул(Л, г)+1) у" (0)+) 1'(у(Л', г)))г(Л', а=1, 2, .... (26,9,3) е Чтобы оценить скорость сходимости, введем обозначения (для а1,2,...): гзу (Л г))=-у" (Л у) — у" (Л г) — 1) б|" (Л, у)=)а(у(Л у)) — Р(у(Л у — 1)) 226 2В.У. Интегральное уравнение. патриции Пикара Вычитая последовательные уравнения (26.9.3) одно из другого (для г/+1 и е/), получаем /ауа (Х, д+ 1) = ~ б/а (Х', д) дй'.
(26.9.4) о Это уравнение выполняется не только для в=1, 2, ..., но и для 4=0, если положить уа()., — 1)=0 и заметить, что /а(0)=0. Скорость сходимости оценивается в следующей лемме. Лемма. Предположим, что !! у (0) )! < б/2 (26.9.5) (т. г. что у(0) лгжит нв просто в кубе ()У, а в вго центральной части1 и тиа ! "е ! (!п2/Е, где Š— константа Липиеица в (26.9.2).
7'огда для г/=1, 2, $ бУ ()ь, д) !! ( (б/2) (1/д!) (Е. ! Х !)е (26,9,6) и Ь (Х. 9)!! < б. (26.9.7) Доказательство. Случай 4=1 следует иа (26.9.4) и (26.9.6), а далее докааательство можно продолжить индукпней по д, поскольку и йч й = "ьч+'г(4+ 1) а 1у(Х, 41=~ ч~»', Ьу(Хг е) 1 ° а ~ (б/2) ~ (1/Н) (Е ! Х !)' < (6/2) еы =б. (26.9.8) а Опенка (26.9.8) обеспечивает допустимость нспольаования условия Лиюпипа для любого В. Ясно, что именно сомножитель 1/д! в (26.9.6) обеспечивает эффективность метода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
