Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Как и выше, пусть у', ..., у" и ги', ..., ш"— нормальные координаты в окрестностях точек Р, и Я, соответственно, т. е. геодезические координаты, в которых метрический тензор имеет стандартную форму (27.3.1). Эти координаты един-' ственны только с точностью до преобразований Лоренца; следовательно, получается приближенная геометрия Минковского, а не геометрия Евклида. При отображении ф, задаваемом как и ранее, условием вк =у', геодезические, проходящие через Ра, отображаются в геодезические, проходящие через 9„причема с сохранением их типа (пространственноподобные, нулевые или временно- подобные) н с сохранением угла между двумя геодезическими, задаваемого формулой (27.4.1).
Теперь, однако, созй может быть или больше 1, или меньше — 1, значит, 0 может быть мнимым. 27,4 Геометрические попятил. Принцип знвивалентпоети 939 Если же $ (илн й) — нулевой вектор, то созй принимаетбесконечное или неопределенное значение в зависимости от того, отлична от нуля величина д зйФ или нет. Следует заметить, что, даже если $ и 5 — оба пространственно. подобные или оба временноподобные векторы, значение сов)1, получаемое по (27.4.!), может оказаться вне интервала ( — 1, 11 Упрлжннние Покажите, что необходимое н достаточное условие для того, чтобы (соз 01 < 1, состоит в том, чтобы все линейные комбинации $ н Д были прострзнственноподобнымн (нля все временноподобнымн) Если соз 0= ~ 1, то найдется нулевой вектор вида а$+Ьй с ненулевыми а н Ь.
(В рнмвновом многообразии зтот нулевой вектор — вектор с нулевыми компонентами, поэтому $ представляет собой произведение Д нз скзляр.) Для фигур в аффинно связном многообразии углы и длины не определены; тем ие менее существуют некоторые геометрические соотношения, инвариантные относительно преобразования ф заданного выше условием у'=ш'.
Здесь уг и го' — произвольные геодезические координаты, никакого понятия нормальных координат нет и геодезические координаты определяются с точностью до невырожденных линейных или аффинных преобразований. Например, если й, е, и $ — векторы, касательные в точке Р, к трем кривым, и если $ лежит в той же плоскости, что и векторы й и $, т. е, если эти три вектора линейно зависимы, то это же верно и после преобразования.
В действительности при отображении ф сохраняется любое соотношение вида $=ай+Ь$ при заданных а и Ь. И вообще любое множество таких векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда линейно зависимо множество их образов при отображении чр. Геометрическое понятие параллельного смещения или параллельного переноса вдоль кривой, которое будет описано в 9 27.7, было введено Леви-Чивитой в 1917 г. Идея такова: в плоских геометриях — евклидовой, Минковского или аффинной, — где группа конгруэнтности (в декартовых координатах) состоит из преобразований вида х — Мх+а, где М вЂ” ортогональная, лоренцева или произвольная невырожденная матрица, особую роль играет подгруппа чистых сдвигов (трансляций) х -- х+а. (Заметим, что в случае пространства Минковского сюда не включается никакое относительное движение, кроме смещения.) А именно, если одна фигура может быть отображена в другую при помощи 240 Гл, гг.
Римано«ы и аффи«но е«язные многообразия чистого сдвига, то об этих фигурах говорят не только как о конгруэнтных, но и как об имеющих одну и ту же ориентацию в пространстве или как о переводимых одна в другую параллельным смещением. В искривленном пространстве этому понятию параллельного смещения соответствует понятие параллельного переноса малой фигуры вдоль кривой с получением, однако, обычно разных результатов в зависимости от выбора кривой, связывающей начальную н конечную точки. Наш подход к этим вопросам обусловлен аналогией с принципом эквивалентности общей теории относительности, согласно которому некоторые ее законы можно сформулировать просто утверждением, что соответствующие законы специальной теории относительности выполняются в инерциальной системе отсчета (системе «свободногс паденняэ).
Системы геодезических координат в окрестности точки играют роль инерциальных систем. Например, параллельный перенос вектора вдоль кривой будет определен так, что в момент прохождения вектора через точку Р кривой его компоненты, соответствующие у' (где у',..., у" — геодезические координаты в окрестности Р), почти не изменяются, т. е. имеют нулевые производные по параметру кривой. 17.$. ИОВАРИАИТИОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В этом и двух следующих параграфах обсуждаются три тесно связанных понятия (ковариантное дифференцирование. абсолютное дифференцирование и параллельный перенос), любое из которых можно принять за основное, а остальные вывести из него. Мы рассматриваем здесь аффннно связное многообразие общего вида. Частные производные комгюнент тензора преобразуются подобно компонентам тензора ранга, на единицу большего, но только в случае линейных преобразований, а в случае более общих преобразований изменяются по другому закону.
Например, на евклидовой плоскости векторное поле с постоянными декартовыми компонентами имеет переменные компоненты в полярной системе координат; поэтому то, что частные производные по г и 0 компонент этого вектора не обращаются в нуль, является особенностью системы координат г, й. Чтобгя исключить явления такого рода, мы определим некото-' рый тензор более высокого ранга, задавая его компоненты в любой точке Р в геодезической системе координат в окрестности этой точки как соответствующие частные производные; тогда для вычисления компонент этого тензора в других системах координат нужно использовать законы преобразования тензоров.
Пусть Р х' =а' †произвольн точка, и пусть у', ..., у" †соответствующие геодезические координаты. Как и в Э 27.2, х'=а'+у' — '/«Г«у«у«+..., (27.5.!) у' = х' — а'+'7«Г'7 (х' — а') (х" — у") +.... (27.5.2) 27.5. Каеараантнее дифференцараеание 241 В этих равенствах коэффициенты связности относятся к системе координат х' и их следует вычислять в точке Р. Пусть ое(х', ... ..., х") †произвольн ковариантное векторное поле; обозначим его компоненты в геодезической системе координат через о;(у', ... ..., уа). Ковариантный тензор второго ранга ос, — ковариантная производная вектора о, †определяет (в точке Р) заданием его компонент в системе координат у~: оц1)р —— д0;/дУе/р (1, ) =1, „и).
(27.5.3) Найдем вид этого равенства в системе х'. В точке Р мы имеем о»=о, и ос,=ос ь потому что в точке Р дх'/дуе =бор Однако оо находящиеся в правой части равенства (27.5.3), нужно знать не только в точке Р, но и вблизи нее (для выполнения дифференцирования). Вблизи Р ое = о, дх»(ду'; поэтому В точке Р дх'/дуl =бу и т. д., а вторая производная равна — Г;» (по 27.5.1). Поэтому м , = до1!дх~ — Ге1о» (27.5. 4) (просуммировано по й); это и есть правило ковариантного дифференцирования в произвольной координатной системе; ос; (х',..., х") образуют дважды ковариантное тензорное поле. Это правило показывает, что если тензор ос1 определяется в точке Р формулой (27.5.3) в частной геодезической системе координат в окрестности Р, то он правильно определяется теч же равенством и в любой другой геодезической системе в окрестности Р.
Действительно, если хе — геодезические координаты, то Г,', =О в Р и. (27.5.4) согласуется с (27.5.3). Непосредственным применением коварцантного дифференцирования получаем, что если о, — градиент скаляра г" в евклидовом пространстве, то лапласиан от ~ в произвольной криволинейной системе координат имеет вид донь, = до (д'7/дх' дх~ — Г~; д)(дх»), поскольку эта величина является скаляром (т. е. инварнантом) и, очевидно, равна лапласиану от 7' в декартовой системе координат. 242 Гл. 27. Римановы и аффинно связныв многообразия УПРАЖНЕНИЕ 1. (а) Покажите, что если от=ог (х', ..., х") — контраэариантиое векторное поле, то формула ог.
=доУдху+Г~ оа (27.5.5) определяет смешанный тенэор второго ранга. (5). Покажите, что если ТП— конариантное тензорное поле второго ранга, то формула ТП, — — дТП(дхь — Г~ Тту — Г~ ТП (27.5.6) определяет коэариантнсе тензорное поле третьего ранга, Ковариантная производная тензора общего вида имеет один дополнительный член (в дополнение к частной производной), как в (27.5.4), для каждого ковариантного индекса и один дополнительный член, как в (27.5.5), для каждого контравариантного индекса. Ковариантная производная скалярного поля 7 есть просто его градиент; 7,, а=в((уг(хь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
