Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(Этим наблюдением поделился с автором Липман Беро во время беседы за чашкой чая в Институте Куранта.) Аффинно связное многообразие ориентируемо, если аффинное преобразование геодезических координат около некоторой точки, полученное путем параллельного переноса векторов вдоль замкнутой кривой, определяется матрицей с положительным детерминантам для всех таких кривых и всех точек многообразия. 2УЛЬ ТЕНЗОР РИМАНА В ОБЩЕМ ВИДЕ.
ЛАПЛАСИАН И ДАЛАМБЕРТИАН Пусть М вЂ” аффинно связное многообразие. Как было указано в 9 27.5, результат двукратного ковариантнаго дифференцирования векторного поля в общем случае ие симметричен по соответствующим индексам. Непосредственные вычисления с использованием формул из уиазаниого параграфа показывают, что ог~ я: г сп и» й)ягпг (27.9.1) ь) Вроде правила левой руки, прввилв пряной руки, правила буравчике и т, п. В оригинале испол»»овине жаргонное слово ск1гвШу, не ииеизп»ее вьялогв в русском языке. — Прим. перев.
27.9, Тенэор Римана в оби4вм виде. Лаалаеиан и Валамбернеиан 247 где Й)и~ обозначает величину 17) д --* — „Гн — — Г)и+Г' аГв) — Г' ~Г;и, (27.9,2) Так как ое произвольно, то правило частного, примененное к (27.9.1), показывает, что п' величии И)и, являются компонентами тензора четвертого ранга, называемого тензором Римана или тензаром кривизнае Римана. В евклидовом пространстве теизор Римана тождественно равен нулю в любой системе координат, поскольку очевидно, что он равен нулю в декартовой системе координат, а если все компоненты тензора равны нулю в одной системе координат, то они равны нулю и в любой другой.
В 9 27.12 будет показано, что обращение в нуль тензора Римана также и достаточно для того, чтобы риманово многообразие оказалось евклидовым, псевдориманово многообразие — пространством Минковского, а аффинно связное многообразие — плоским. В каждом случае это утверждение непосредственно связано с метрикой, однако, если многообразие односвязно, его можно расширить до полного евклидова пространства, пространства Минковского или плоского пространства. В частном случае риманова или псевдориманова многообразия, где существует метрика, а индексы можно поднимать и опускать, тензор Римана допускает другое представление; см. следующий параграф, Если )Ч)ц свернуть по первому и четвертому индексам, получится тензор Риччи (27.9.3) )7ги й)ие играющий важную роль в теории относительности.
Остальная часть этого параграфа посвящена лапласиану и даламбертиану (операторам Лапласа и Даламбера). Оператор Лапласа задается в евклидовом пространстве (в декартовых координатах) в виде Че д;+д,'+... +д„', где д, д/дхн; оператор Даламбера задается в пространстве Мии. ковского специальной теории относительности в виде Д* д',+д',+д',— д,'. Оба оператора можно записать в виде дтвд да, где (йе'и) — диагональный метрический тензор. В физических теориях зги операторы применяются к скалярным и векторным полям. Когда они применяются к скалярному полю 7, их обобщение на случай римановых или псевдоримановых многообразий есть просто у~а), .д е, но для обобщения их применения к векторному полю о, необходимо ввести тензор, обозначаемый через пс7н и называемый вторым 248 Гл.
27. Романова и аффонно связные многообразия симметрическим расширением от (см. Томас [19611), компоненты которого задаются в начале Р системы геодезических координат у', ..., ун как о? ат ~р — — д'о((дУ" дУ' )р, (27.9.4) где о (у', ..., у") — компоненты векторного поля оо выраженные через геодезические координаты.
Согласно приведенному ниже упражнению 4, в общем случае этот тензор не совпадает с результатом симметризации второй ковариантной производной ол а,с по индексам й и (. В соответствии с принципом эквивалентности мы определяем операторы Лапласа и Даламбера в применении к векторному полю о, как дыо (27,9,5) а ие через вторую ковариантную производную (см., однако, упражнение 3 в следующем параграфе). Симметричные расширения более высоких порядков определяются аналогично, например, опас,„)р=дво (дх" дх'дхм )р УПРАЖНЕНИЕ 1. Покажите, что если ср — скалярное поле, то Фса,с=Ф;с а=Ф;ы, тогда как для коваркантного векторного поля о( в общем случае 2. Покажите, что в произвольной системе координат второе снмметрнческое расширение имеет внд о) и — дзот(дхадх' — Глсдв (дхм — Г?1дом(дха — Ге~дом(дхс — о Г,'.вас, (2?.9,6) где Гсас — комрфнннентьк заданные в (27.2.10). 3. Покажите, что в начале геодезических коорднпат дГ(с)(дух + дГ?1(дул+ дГЯ(дус.=- О, 127.9.7) где кружка над Г указыва~от на то, что козф4нщненты связности выражены через геодезические коорднваты у', ..., у".
4. Покажете, что для гладкого векторного поля ос сп ы — '~т (сн а с+во с;а)= т(в()?ыса,+Лхасс) ов 127 9 и) 5. Г1окажнте, что в начале геодезнчсскнх координат дГ)лс(ду? = т(з ()с"'и +)? лн). (2?.9.9) Последняя формула показывает, что тензор Римана содержит всю внутреннюю информацию о пространстве в непосредственной окрестности любой точки Р, задаваемую коэффициентами связности и их первыми производными в Р. А именно при должном выборе 22.20.
Теиэор Римана в романовом миогоодразии 249 системы координат (геодезических координат) Гвму можно обратить в нуль в точке Р; следовательно, они не несут никакой внутренней (не зависящей от выбора координат) информации, а все их первые производные определяются по формуле (27.9.9) тензором Римана. Подобным же образом в следующем параграфе мы покажем, что при наличии метрического тензора дух тензор Римана дает и всю внутреннюю информацию, выражаемую компонентами метрического тензора дуг и их первыми и вторыми частными производными в точке Р. 12.4а. ТензОР РимАнА В РимАнОВОм ИЛИ ПСЕВДОРИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ 1Тредположим теперь, что на многообразии определен метрический тензор рхг.
Тогда коэффициенты связности Г'ь входящие в определение (27.9,2) тензора Римана, совпадают с символами Кристоффеля второго рода (у'г), определенными формулами (26.6.10) и (26.6.11). В этом случае непосредственные вычисления показывают, что тензор Римана /7у „, (с опушенным первым индексом) можно выразить через даг и его производные: ! У досуг + дгЫух дгдуг дгяуг ~ 2 1,дхУ дхв дхг дх' дхУ дхг дхг дх",/ +й И" рЦ/! у/1 !гй рЦ/!, Ч1), (27.10.1) где квадратные скобки обозначают символы Кристоффеля первого рода (см. (26.6.10)). Число независимых компонент этого тензора меньше пе, потому что из формулы (27.10.!) вытекают следующие свойства симметрии: /х уухг = /гуухг = /г уугх = /'ыуу (27.10.2) /7уухг+ о/агу+ Руых = 0 (27.!0.8) На основании этих соотношений мы сейчас покажем, что число независимых компонент тензора Римана равно и' (и' — ! )/12, (27.
10. 4) что для размерностей я=2, 3, 4 составляет соответственно 1, 6, 20. Действительно, нз трех соотношений (27. !0.2) следует, что не. нулевые компоненты можно записать (с заменой знака, если нужно) в виде /7гуиг с !(/ и /г<!, причем если (//) и (/г/) рассматривать как двузначные л-ичные целые числа, то (//)((/г/). Число допустимых значений (//) или (я/) равно тогда п(п — 1)/2=т, а число допустимых пар (!/), (я!) есть т (т + 1)/2 = и (и — 1) (и* — и+ 2)/8. Гл. 27. Риианогы и аффинно о»явные инагообравия Далее, если не все г, 1', й и 1 различны, то (27.10.3) сводится к некоторой комбинации предыдущих тождеств (27.10.2), а если они различны, то можно без потери общности предположить, что г(1( <Уг<1, так как для любой перестановки г', )', Уг', у величин г, 1, )г, г тождество (27.10.3) для г, у, й, 1 можно получить из этого же тождества для г', (', й', 1', используя тождества (27,10.2).
Поэтому число независимых тождеств типа (27.10.3) равно п(п — 1)(п — 2) х х(п — 3)/4!, а вычитание его из (27.10.5) как раз и дает (27.10.4), Можно доказать, что )7ы», не удовлетворяет никаким другим алгебраическим тождествам, не зависимым от (27.10.2) н (27.10.3). Как было указано в предыдущем параграфе, свернутый один раз тензор Римана )7';»г дает тензор Риччи (27.10.6) В рнмановом или псевдоримановом многообразии этот тензор симметричен: гт7» гг»7 Двойная свертка тензора Риччи с метрическим тензором дает скалярную кривизну Римана )7 — ус»)7 „ (27. 10.
7) Ковариантная производная тензора Римана удовлетворяет пгож- деспгву Бианки .7г ~»с ы+ )адыги; »+ )гиы»; г = 0 (27,! 0.8) что легко проверить на основании (27.10.1), если воспользоваться геодезическими координатами в окрестности любой точки, поскольку в них ковариантные производные становятся обычными производными в этой точке. Внутреннее произведение последнего равенства и д'»дн имеет внд )7.„,+)7»..„+У..,=О, Здесь второе и третье слагаемые равны между собой, а первое в точности совпадает с — д)т7дх„. Отсюда следует, что симметрический тензор Бг» = )77» )787 (27. 10. 9) фигурирующий в уравнении поля Эйнштейна, имеет нулевую дивергенцию: Б7м,=о, Бт»,=о.
(27. 1О. 10) Рассмотрим теперь кратко условия, при которых аффинно связное многообразие можно превратить в риманово многообразие путем введения метрики, согласованной со связностью, т. е. условия, при которых для заданных коэффициентов связности Гй(х', ..., х") (Г'„,=Г;„) найдутся такие функции д»г(х', ...,х") 25! 27./О. Тгнэор Римини э риманоэам многообразии (для которых йга, д, ), что Гз,=(з'!), т. е. такие, что где, как всегда, (д™) — матрица, обратная к матрице (д„). Зто равенство можно разрешить относительно доз,/дх' и получить дда,/дх, =дгэГз',+д„аГ;, (27,10.!2) По определению ковариантной производной это равенство в точности совпадает с равенством д ...
=О, которое, как известно, и должно выполняться в римановом или псевдоримановом многообразии. Поэтому необходимое и достаточное условие существования метрики, согласующейся со связностью, состоит в том, чтобы система уравнений (27,10,12) имела какое-нибудь решение йзг (х', ..., х"). Упражнении 1. Покажите, что нз условия согласованности метрики и связности, выра- жаемого уравнением (27.10.12), следует, что если его решение да!существует, то оно удовлетворяет равенству /г~з/гйгг+ и г/!тига = 0 (27. 1О. 13) которое в точности совпадает с первым из соотношений (27.10.2). При помощи конарнаитного дифференцирования получите из этого равенства остальные соотношения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
