Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2. Рассмотрим многообразие, в котором аффинная связность задана формулой Г~/з (х', ..., х") = Гз/ (х', ..., х") = б(х', Гг/з=О во всех остальных случаях. Покажите, что для этого многообразия в начале координат нет симметри- ческого решения уравнения (27.10.13); покажите также, что тенэор Риччи не симметричен: Йгз Ф Йзт 3. Покажите, что если в римановом или псевдоримановом многообразии тензор Риччи /7г/ равен нулю (иак в случае пустого пространства-времени общей теории относительности), то дна естественных определения операторов Лапласа и Даламбера, когда они применяются к векторному полю, созпздаюп й и/; м=йз'о/: з;,и Иначе говоря, как бьшо указано в предыдущем параграфе, мы получаем для выражения в левой части этого равенства правильное представление в начале геодезических координат.
4. Покажите, что в римановом илн псевдоримановом многообразии в начале геодезических координат дзй/а/бр~ дат = г/з 1/2/зги+ /2аг/т) = /8 (/2/кит+ А/тзг) (27.10.141 Отсюда следует, что тензор Римана содержит всю информацию о геометрии в малой окрестности любой точки, задаваемую метрическим тензором и его первыми и вторыми частными производными в эгон точке, потому что найдется такая системз координат (геодезических), что в этой точке выполняются стан- дартные равенства д/з=б/а и дд/з/ах!=01 следовательно, в этой системе координат зти величины никакой информации не содержат, тогда как вторые производные получаются из приведенного выше уравнения. Гл.
27. Римановы и аффинно связные многообразия ХГ.И. ТЕНЗОР РИМАНА И ВНУТРЕННЯЯ ИРИВИЗНА МНОГООБРАЗИЯ Предположим, что и-мерное многообразие М погружается в евклидово пространство Ен (т. е. рассматривается как и-мерная поверхность в нем) с наследуемой из Ен метрикой. Тогда геометрия М включает как внутренние, так и внешние аспекты„.под первыми понимаются такие свойства, которые определяются метрическим тензором на М и не зависят от конкретного способа погружения М в Ем. (Например, плоский лист нз нерастяжимого мате- Рис. 27Л. Рис. 27.2.
риала можно свернуть так, как показано на рис. 27.1, н тогда его наследуемая метрика будет совпадать с метрикой евклидовой плоскости.) Геодезическая в М является обычно некоторой кривой в Еге, н ее кривизна оказывается внешним свойством; центр кривизны лежит вне М. С другой стороны, кривизну того вида, которой обладает поверхность сферы, можно определить метрикой.
Кривизну поверхности Земли можно в принципе определить при помощи измерений, проведенных исключительно на этой поверхности: строится большой треугольник, сторонами которого являются геодезические (наикратчайшие пути между вершинами), и измеряются площадь А треугольника и сумма 2 его углов. После этого радиус Земли вычисляется по формуле А7'гв = Х вЂ” л. (27.!1.1) Очевидно, что Х вЂ” л есть угловое отклонение вектора от его первоначального направления после параллельного переноса по контуру треугольника. Можно представить себе вектор как стрелу, ГГ.И.
Плоское мноеооорозио лежащую иа палубе корабля, плывущего вокруг треугольника. Когда корабль изменяет направление своего движения в одной из вершин, совершая поворот направо на некоторый угол, стрела в это время поворачивается на тот же угол налево по отношению к направлению движения корабля до поворота. Заметим, что поверхность, обладающую кривизной такого рода, можно погрузить в Е' различными способами.
Полусферу можно изогнуть без растяжения, деформируя экватор так, как показано на рис. 27.2. Согласно дифференциальной геометрии поверхностей в Е', произведение двух главных радиусов кривизны в данной точке инвариантно по отношению к такого рода деформации без растяжения. Теперь мы выведем формулу, обобщающую (27.11.1) на случай общего и-мерного аффинно связного многообразия М, не обязательно погруженного в плоское пространство более высокой размерности. Пусть х', ..., хо — координаты на некоторой карте в М. Рассмотрим какую-нибудь очень маленькую замкнутую кривую 6 в М, полученную при обходе точкой х' параллелограмма в координатном пространстве К" с вершинами х~(0), лн(0)+а', х'(О)+ +ае+6', х'(О)+о', х'(О), где а' и Ь' — достаточно малые величины.
Простые вычисления показывают, что если какой-то вектор о' перемещается параллельным переносом вокруг и", начиная с о'=$' в первой вершине, то суммарное отклонение Лп' равно (с точностью до наименьшего порядка малых величин) е 1) у)7е (пел» пеле) (27. 11. 2) Это и есть нужное обобщение формулы (27.11.1), Исходя из формулы (27.1!.2) тензор Римана можно выразить через отклонения (девиации) Ло'„полученные для различных векторов $' при параллелином переносе вокруг произвольных малых петель, Еще раз подчеркнем, что эта формула справедлива только для малых петель 6, тогда как (27.11.!) имеет место для произвольно больших треугольников. Причина этого в том, что сфера имеет постоянную кривизну.
Если бы та же процедура использовалась для эллипсоида общего вида, то пришлось бы ограничиться очень малыми треугольниками. ХТЛХ. ПЛОСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ОБРАЩЕНИЕ ТЕНЗОРА РИМАНА В НУЛЬ Если имеются два римановых многообразия одной и той же размерности, то возникает вопрос: не являются ли они одним и тем же пространством, описанным в разных системах координат? С этим вопросом связаны глобальные топологические проблемы, а также следующая, более локальная задача.
Пусть заданы две римановы метрики, каждая из которых определяется набором п* гладких Гл. 27. Романовы и аффинно связные многообразия функций д7а(х', ..., х") (1, (г=!, ..., п) аз(х~т, ..., хгн) (), (с=1...,, и), заданных в Гс" на областях Ф и М' соответственно. Найдется ли такое преобразование хо=хм(хт, ..., х") (1=1, ..., л) области М в область )ьг' или части Лг в часть У', что дг преобразуется в Р,'е по тензорному закону для ковариантных тейзоров второго ранга? Если это так, то можно считать, что эти две системы координат определяют две карты одного многообразия. В общем случае это трудный вопрос, на который, однако, можно дать полный ответ, если функции одного из наборов, скажем и,'ь(...), постоянны; в этом случае пространство оказывается евклйдовым, а тензор Римана обращается в нуль.
Покажем, что, для того чтобы пространство было плоским, необходимо и достаточно равенство нулю тензора Римана. Предположим сначала, что )г'7», равен нулю на всем аффинно связном многообразии, и покажем, что в любой односвязной области можно выбрать такие координаты ут, ..., ув, что соответствующие коэффициенты связности Г'7ь тождественно равны нулю. При наличии метрического тензора можно подобрать такие координаты у', что й7а всюду принимают стандартные значения ~ б, '). Пусть х', ..., х" — координаты некоторой односвязной карты; рассмотрим следующую задачу с начальными данными для коварнантного векторного поля ог(х', ..., х"): пг,, =О, т. е.
до,/дхт — Гное=*О, (27,12 1) от(0, ..., 0) задано. (27.12,2) Как известно, эта задача имеет решение при любых начальных данных (27,12.2), если выполняется условие совместности д (Гьггпау дх' — д (Ггьгоа)/дхУ О. (27.12.3) Вычислив производные в этом уравнении по правилу дифференцирования произведения и еще раз использовав дифференциальное уравнение (27.12.1), мы придем к уравнению ('.' '"' ° '- — Г" — — Г„) о +ГРГгао — Г11Г еп 0 ') В точке Р„ в которой строится геодезическая система координат, всегда (тг7а О (см. (27.2.брь а при наличии метрического тензора всегда можно добиться того, чтобы я ь = — * 1; речь идет о том, чтобы зги равенства выполнялись в окрестности Р„ — именно такое многообразие называется плоским.— Прим.
лврвв. 17.12. плоские многяобрааил После переименования немых индексов его можно записать в виде И1иоФ О где Ь'"~п задается формулой (27.9,2). Поскольку тензор Римана равен йулю, условие совместности выполняется. Пусть о,.(х', ... ..., х"; р) (р=1, ..., и) суть и решений задачи с начальными данными, которые получаются при задании и линейно независимых начальных векторов о,(0, ..., 0; р), р=1, ..., и; для каждого из этих решений опт=0.
Для каждого р=1, ..., и рассмотрим теперь другую задачу с начальными данными ду(х', ... х")1дх'=о,(х', ..., х"; р), у(о, ..., 0)=о. Условие совместности для этой задачи имеет вид до,.~дх~ — до 1дх' = О, т. е. ол — о ., = 0 (другие слагаемые ковариантных производных взаимно уничтожаются); следовательно, оио выполняется, потому что ковариантные производные равны нулю.
Обозначим решения этой новой задачи с начальными данными через уг(х', ..., х") и возьмем новые координаты, положив уг = уг (х', ..., х"), р=1, ..., и, что допустимо, поскольку в начале координат яко- биан этого преобразования отличен от нуля (потому что он равен детерминанту матрицы, столбцы которой являются векторами о;(О, ..., 0; р), выбранные линейно независимыми].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
