Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть (г)', <р, У) — произвольная карта на М, а У' — множество всех тачек 9=о(Р) для РЕг7. Положим <р'((е) <р(а '(Я)). Ясно, что (О', <р', Х) — допустимая карта на М (т. е. согласованная с ранее определенными картами) в силу определения гомеоморфизма. Тогда дх полагаются теми же самыми функциями координат х" = р' второй карты, что и у,ю зависящие от координат гу ~р' первой карты, Но тогда все карты, полученные из (К <р, М) посредством гомеоморфизма и и его суперпозиций, имеют совпадающие метрические тензоры, и могут быть отождествлены для получения одной карты на М. Эти идеи используются в гл. 28 при изучении глобальных свойств многообразий Эйнштейна, Глава 27 РИМАНОВЫ, ПСЕВДОРИМАНОВЫ И АФФИННО СВЯЗНЫВ МНОГООБРАЗИЯ Метрика, псевдометрика, связность и топология; геодезические (римановы) коордкнаты; геометрия в смысле Клейна; приближенная конгруэнтностгк кангруэнтность звезд; ковариаитная производная; абсолютная пронзводнан; параллельный перенос; ориентируемость, лоренпева ориентируемастгч лапласнан; даламбертиан; тензор Римана; тензор Риччи; скалярная римановз кривизна; получение вторых производных метрического тенэара па тенаору Римана; условия согласованности аффинной связности с метрикой; внутренняя кривизна многообразия; плоские многообразия; условия Штеккеля, Робертсона и Эйзен- харта разделения переменных в волновом уравнении.
Предварительные саеденил: гл. 23, 24, 26. Тема этой главы — геометрия многообразия, на котором определена метрика, псевдометрика или аффинная связность. Разграничение данной и предыдущей глав условно и довольно произвольно, поскольку в конце предыдущей главы изучаются геодезические кривые, а в начале этой — геодезические координаты.
Однако между ними есть и важное различие. Предыдущая глава носила в основном аналитический характер, и единственное геометрическое понятие, использованное в ней,— это расстояние между двумя точками; данная глава носит в основном геометрический характер, причем в смысле Евклида, за исключением некоторых концептуальных обобщений и аналитичности формулировок. Такие фундаментальные понятия, как параллельность, длина, кривизна, угол, являются в действительности геометрическими, и их следует именно так и рассматривать.
Использование аналитических методов не затрагивает геометрической природы этих понятий точно так же, как введение Декартом координат в евклидову геометрию. С этой точки зрения один из основных результатов предыдущей главы — теорема Уайтхеда — служит той же цели, что и постулат Евклида о том, что через две различные точки можно провести одну и только одну прямую, только в теореме Уайтхеда требуется, чтобы эти две точки были не слишком далеки друг от друга. В современной математике, все направления которой до некоторой степени сливаются, трудно понять, что является геометрией, а что анализом, однако, конечно же, те понятия, которые восходят непосредственно к Евклиду, следует признать геометрическими.
Во времена Евклида геометрию понимали как науку, изучающую окружающее нас физическое пространство. Если общая теория 232 Гя. 27. Риманоеи и аф4инно агязноа многообразия относительности верна, то таковыми же являются риманова, псевдоримаиова и аффинная геометрии; даже если эта теория будет модифицирована, ее главные идеи, разработанные за 60 лет, несомненно, будут продолжать быть основой теории физического пространства-времени.
Мы достигнем наилучшего понимания рассматриваемой темы, если на передний план выдвинем геометрические идеи (подобные параллельному переносу вектора вдоль кривой), а подробные аналитические формулы используем как незначительную детализацию их фона. 2УЛ. ТОПОЛОГИЯ И МЕТРИКА Согласно гл. 23, топология многообразия определяется набором его координатных карт Главное различие между римановыми и псевдоримановыми (или аффинно связными) многообразиями состоит в том, что у последних связь между топологией и метрикой является не столь тесной, как у первых. В связном римановом многообразии расстоянием 6(Р, 9) между любыми двумя точками Р и Я есть инфимум длины кривой между ними, который берется относительно всех путей из Р в Я. Многообразие тогда является метрическим пространством, что означает, что на нем определена функция г( (расстояние), удовлетворяющая следующим соотношениям: ((Р, О) ~ 0 Ч Р, О; г((Р, ()) = 0 еэ Р = ф г((Р, Я) (г((Р, й)+г((К Я), Топология в этом пространстве определяется указанной метрикой, потому что множества Б(е, Р) =(Я: г) (Р, Ю) < е) (открытые шары) являются открытыми множествами, а все другие открытые множества представляют собой объединения открытых шаров.
В римановом многообразии эта топология совпадает с топологией, определенной ранее при помощи координатных карт. В псевдоримановом многообразии, где матрица (дм) не является положительно определенной, только что определенное расстояние г((Р, 9) всегда равно нулю и поэтому ие является метрикой. Тем не менее это многообразие обладает коррреитно определенной топологией, порождаемой картами, как указывалось в 5 23,3, н то же самое верно для аффинно связных многообразий, для которых нет даже понятия расстояния вдоль кривой. аг,а.
Геодезические (римановм)»оординаои» хтдь ГеОдезические (римднОВЬО ИООРдинлты Ключом к исследованию локальных геометрических свойств рима- нова многообразия в окрестности точки Р„где метрический тензор д „задан в системе координат х', ..., х", содержащей точку Р,. является выбор новой системы координат х", ..., х'", которая становится все более похожей на декартову при приближении к Р„.
Было бы желательно, чтобы преобразованный метрический тензор д,'» был равен 67 в Р, (это всегда можно сделать), а вблизи Р, был бы близок к 6,.». Мы увидим, что можно обратить в нуль все первые производные от л» в Р,, а некоторые линейные комбинации этих производных даже в целой окрестности Р,. В этом смысле новые координаты будут настолько близки к декартовым, насколько это возможно. Оставшееся отклонение и,'» от 6,» будет отражать тогда неевклидов характер геометрии. Случай псевдоримановых многообразий аналогичен, только здесь мы стремимся сделать д,'» равным ~67» в Р„причем знаки + и — определяются в соответствии с сигнатурой тензора д В аффинно связных многообразиях мы стремимся к тому, чтобы обратить в нуль в Р, все коэффициенты связности Г;» и оставить их малыми вблизи Р,.
В данном параграфе мы рассмотрим аффинно связные многообразна, для которых Г;„=Г „;, а позднее уточним полученные результаты для других случаев. Пусть (Г7, ~р, Ф) — карта, содержащая точку Р„а х', ..., х" обозначают координаты в этой карте. Рассмотрим семейство всех геодезических, проходящих через Р„натуральный параметр Л для каждой из которых выбран так, что Л=О в Р„. Координаты на такой геодезической задаются решениями х»(Л) задачи с начальными данными Рх»Д(Л» -1- 1'", 0(хйе(Л) йх 'Д(Л = О, (27.2.1) х'(0) =ч»(Р,), (27.2.2) е(х», е(Л!», — — 0», (2?.2.3) где у», ..., уо — вещественные числа, не все равные нулю и определяющие направление, по которому геодезическая выходит из Р„.
Согласно теореме 2 Э 26.8, эта задача имеет решение х»(Л; у'..., ..., у"), А=!, ..., и, для 0(Л(1 и для всех векторов у', ., у" в некоторой окрестности начала координат. Если разложить это решение по степеням Л, а коэффициенты первых трех членов разложения получить из этой задачи, то обнаружится, что х»(Л; у', ..., у»)=х»(0)+Лу» — '!»Г»„„)»и'у +0(Л'/у/»), где /у) обозначает шах/ у»(. Индекс 0 означает, что коэффициент (») связности Г»,„вычислен в точке Р,. Выражение в правой части равенства можно было бы рассматривать и как степенной ряд по малым Гж 27.
Риионаоы и оффинно со»они» многообразия величинам ).ус, ..., )оуо; следовательно, без потери общности можно положить ). 1, если у» сами по себе достаточно малы. Тогда х»(1; у', ..., у")=х»(0)+у» — '/сГ" (»усуи+0((у)с) (2724) Из этого равенства следует, что матрица Якоби дх»(1; у',, у")/дус равна б»с в Р, (где не все у" равны нулю), а отсюда следует, что уравнения х»=х" (1; у', ..., у") (у=1, ..., а) можно обратить в некоторой окрестности точки Р, для получения (у/) как функций от (х/). Несколько первых членов соответствующего разложения у» выглядят так: у» = х» — х» (О) + '/,Г», /о (х' — х' /О)) (х" — хы (0)) +....
(27.2.5) Числа у', ..., у" называют геодезичеекссми (или Римановыми) координатами вблизи Р„. В этих формулах коэффициенты связности Г",„зависят от исходных координат. Соответствующие коэффициенты в геодезической системе координат будут обозначаться через Г»с„; их значения можно вычислить следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
