Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 46
Текст из файла (страница 46)
а) Наиболее общую Формулировку этой теоремы см. Векуа (!978, с. 73),— Прим. перев. 212 Гл. 26. гм отрока и ггодгзичггкиг на многообразии преобразуются согласно закону преобразования ковариантных векторов (26.1,!0) для любых векторов (он) и (газ), определенных в точке Р„то (Ттгг) преобразуется согласно закону преобразования тензоров соответствующего типа — ковариантных ранга 2 и контравариантных ранга 1.
Короче говоря, Т ' является тензором. Замечание о терминологии, встречающейся в некоторых книгах по дифференциальной геометрии. Часто используется иное определение векторного поля, которое будет приведено ниже: если оу — контравариантное векторное поле, то линейный оператор ае! А =о/д!дхУ, примененный к дифференцируемому скаляру г, дает скаля р Ц = эт (д1(дх~). Если многообразие и функции г и о/ принадлежат классу С", то 1 отображает класс С" функций в себя. Более того, если г и д — любые две такие функции, то (4а = И-И+ ац1 (26.2.4) линейный оператор, обладающий этим свойством, называется, как и в гл. 25, дифферелцироеалиезг. Обратно, если 5 — любое дифференцирование на алгебре С"-функций, то может быть построено такое векторное поле оз', что 1.=из(д1дхз), если оператор Ь имеет достаточно локальный характер.
Для того чтобы 1 был представим в таком виде, необходимо, очевидно, чтобы в случае согласованности скаляров ) н д в некоторой окрестности У~Я скаляры Ц и (.й также были бы согласованы в Ц Верно даже большее: если 1 можно представить таким образом, Р— произвольная точка, а равенство д~/дхт~р = ду/дхз)р (/ = 1, ..., л) (26.2.5) выполняется иа любой карте (следовательно, на любой карте, содержащей Р), то Ц и ).д должны быть согласованы в Р. (Оказывается, что любой линейный оператор 1., удовлетворякхций этому условию, обязательно является дифференцированием.) Чтобы построить поле от в любой точке Р данной карты, определим функции ~'з'(х), 1=1, ..., л, равенствами ~'д (х) = х~, выполняющимися в окрестности точки Р, а затем положим пз (х) = цц' (х). Это определяет функции от(х) на всей карте. Введем обозначение йг(х) =хз(д)'!дх~)р) для любого С"-скаляра 1(х) и для любой точки Р на карте. Ясно, что Г и д удовлетворяют равенствам (26.2.5); следовательно, (.1~; =Е,д)р=отд)/дх~)р.
(26,2,6) ыз ?б.д. Метрика в евклидвввм арветраноиве Поскольку в левой части стоит скаляр, из закона частного следует, что оУ преобразуются при замене координат как компоненты контравариантного векторного поля и что 1. является дифференцированием. Поэтому между локальными дифференцированиями и векторными полями существует взаимно однозначное соответствие, и на основании этого некоторые авторы определяют векторное поле как локальное дифференцирование на алгебре С"-функций на многообразии. Мы будем использовать первое определение, которое является традиционным для большинства областей физики.
?6.3. МЕТРИКА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Если Х', ..., Х" — декартовы координаты в евклидовом пространстве, а х', ..., х" — криволинейные координаты, через которые декартовы координаты выражаются в виде Х' = Х' (х',..., х"), 1= 1, ..., и, то мы получаем играющий важную роль метрический упензор ку«: дХ" дХв дХв дХк й „= д „(х', ..., х") = — — +... -1- — —. (26,3, 1) дкУ дк«дкУ дх« Очевидно, что для данной координатной системы х', ..., х" мы получим те же самые функции д „(...), если ХУ заменить на другие декартовы координаты, скажем ХУ, полученные из ХУ вращением осей координат (или вообще путем любого движения). Пусть теперь х' и ху+Ьху (1 1, ..., и) — координаты двух точек Р, и Р„а Х' и Х'+йХ' — их декартовы координаты, т. е.
Х' = Х' (х', ..., х"), (26.3.2) Х'+ ЬХ' = ХУ (х' + йх', ..., х" + йх"). Квадрат расстояния между Р; и Р, определяется равенством (й(РТ, Р,))«=(йХ')в+... +(ЛХв)', (26,3.3) если у«хе — малые величины, то после разложения (26.3.2) в ряды Тейлора получается (с((РО Рв))«=д«(х«... хв)йхУйх«+0()Ьх)в), (2634) где )у«х(=шах(у«хУ!. Это равенство обычно записывают в виде (у) йвв ~у«йху йх«' (26.3.5) величина йз называется линейным элементом. Из (26,3,1) следует, что при преобразовании координат х', ..., х" в другие координаты х", ..., х'" функции д „(...) преобразуются как компоненты ковариантного тензора второго ранга, что согласуется с обозначением д «. Более того, этот тензор симметричен: а =й«у.
Равенство (26.3.4) показывает, что числа д образуют йоложйтельно определенйую матрицу. Далее будет предполагаться, что Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии 2И аналогичный метрический тензор существует в любом римановом пространстве, хотя и необязательно в виде (26.3.1), поскольку декартова система координат может не существовать, если пространство не является евклидовым. ЗЬ.4.
РИМАНОВЫ И ПСЕВДОРИМ*НОВЫ МНОГООВРАЗИЯ Риманово многообразие — это и-мерное многообразие М, на котором определен тензор второго ранга дуи; этот тензор на всем М (1) симметричен (дуе =де,) и (2) положительно определен (у орое > О для любого ненулевого вектора (ог)).
Все собственнйе значения матрицы (уге) положительны. Заметим, что если тензор д симметричен, то и тензор у',„= (дхг)дхчу) (дхе!дх'") д„ (26.4.1) симметричен. Заметим также, что положительная определенность при этом законе преобразования сохраняется, потому что д, огое — скаляр. Детерминант матрицы (д,е) обозначается через д или д(х', ..., х"д он не образует скалярного поля, поскольку его значение в данной точке многообразия зависит от системы координат. Закон преобразования (26.4.1) в матричных обозначениях выглядит так: У6Уг (26.4.2) где 6 — матрица (д „), а l — матрица Якоби, Для псевдориманова многообразия не требуется, чтобы матрица (ауе) была положительно определенной; необходимо лишь, чтобы она была невырожденной и симметричной.
Каждое собственное значение 6 либо ) О, либо < О; сигнатурой з матрицы 6 нааывается число положительных собственных значений минус число отрицательных собственных значений. Согласно закону инерции Сильвестра для квадратичных форм„сигнатура матрицы 6' = г6Уг совпадает с сигнатурой матрицы 6; доказательство можно найти в книге Бохера [19221. Следовательно, сигнатура з в каждой точке не зависит от выбора системы координат. Собственные значения матрицы 6 являются непрерывными функциями ее элементов д „, а значит, и координат х', ..., хч и никогда не обращаются в нуль; следовательно, никакое собственное значение не может изменять своего знака при изменении (х').
Так как М вЂ” связное многообразие, сигнатура з матрицы 6 постоянна на М. В общей теории относительности М имеет размерность 4 и сигнатуру 2, так что 6 на всем М имеет три положительных и одно отрицательное собственные значения. 215 гб.4. Римаиоам и лс«мдоримаиоаы многообрааиа Поскольку с(е1 6чьО, матрица 6 обратима; элементы обратной матрицы обозначаются через дУа=д~а(х', ..., х"); эти функции преобразуются по формуле ума = (дх'у/дхг) (дх'а!дхг) дгг. (26.4.3) Это равенство можно получить при помощи вычисления матрицы, обратной матрице (26.4.2), учитывая при этом, что матрицы Якоби обратных преобразований являются обратными матрицами. Отсюда следует, что дда является контравариантпым тензором ранга 2.
Если «есть а-мерная гиперповерхность в евклидовом пространстве Ен, где Ж ) и, то К можно рассматривать как рима- ново многообразие с той метрикой, которую У наследует из Ем. Если х', ..., х" — внутренние координаты на части У гиперповерхности д' и Х', ..., Хн — декартовы координаты в Ен, причем на У Х»=Х'(х', ..., х"), 1=1, ..., й(, то, как и в О 26.2, расстояние г( (в Ен) между двумя точками ху н хг+Лху на К получается по формуле да= Х (Х'(х«, ..., х") — Х'(х'+Лх', ..., х" +Лх")1'= г =! = д ЛхУЛха+ 0 (! Лх' (), где пуа =,у; (дХ«)дху) (дХ«гадка) !=1 Говорят, что г«погружено в Ен и что у — наследстеенный (индуцированный) метрический тензор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
