Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Так как сумма в (26.9.8) мажорируется степенным рядом функции ге! "1, соответствующий ей ряд сходится абсолютно и равномерно по Х на любом конечном интервале. Поэтому эту сумму можно почленно проингегрировать, а после этого окажется, что функция у()ь)= Ит у(Х, е)) удовлетворяет интегральному уравнению (26.9.1) и, следовательно, является решением задачи с начальными данными (26.8.5). Тем самым доказана и теорема 1 из предыдущего параграфа. 226 Гл. 2В. Метрика и геодезические но многообразии ЗЕЛЕ. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ.
ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В евклидовой геометрии любые две точки Р и !г могут быть связаны единственным отрезком прямой Р9. То же самое локально верно и для риманова и псевдориманова многообразия М с заменой прямой на геодезическую. Рассмотрим задачу нахождения таких функций хг(Л) (1=1, ..., и), что х'= — (г г)хох' (0(Л(1, 1 — 1, ..., п), хз(0) и х~(1) заданы (1=1, ..., и). (26.10.1) Уайтхед в !932 г. доказал следующую теорему. Теорема. Любая точка РОЕМ илгеет такую окрестность У, что для любых двух точек 1,!, и (е, из У с координатами х'(О) и хх(1) ()=1, ..., и) соответственно существует единственная геодезическая, соединяющая !',1, 'и О, и целиком лежащая в У.
Требование принадлежности всей геодезической окрестности У часто необходимо для обеспечения ее единственности; см. рис. 26,2, где геодезическая на цилиндре идет по длинному пути вокруг цилиндра, а не по кратчайшему пути от начальной до конечной точки. Эту теорему легко доказать в несколько более слабой форме: существуют такие окрестности У, и У„РоЕ У,~ У„что если 1,1,,(), ~ У„то имеется только одна геодезическая, соединяющая 1,"г, и (,1, и лежащая в У,; доказательство Уайтхеда возможности совпадения У; и У, содержит некоторые топологические соображения.
Следующие два результата, получающиеся при доказательстве теоремы Уайтхеда, приводятся также без доказательства. Следствие 1. Если кривая х'(Л) непрерывна при а Л(Ь и удовлетворяет уравнению геодезической при а ( Л ( Ь, то она удовлетворяет етому уравнению и при Л=а и Л=Ь. Следствие 2. Если (отражая зависимость геодезической от концевых точек) решение двухточечной задачи, получаюи(ееся в теореме Уайтхеда, записать как хл(Л, Я„(),), то для любого ЛС [О, 1) функции ху(Л, Щ„!',1,) непрерывно зависят от координат хт(0) и хг(1) начальной и конечной точек 1г, и !г,.
Доказательство существования решения двухточечной задачи аналогично доказательству существования решения задачи с начальными данными: система уравнений (26.10.1) сводится к интегральному уравнению, которое решается методом итераций Пикара. Процедура доказательства несколько сложнее, потому что здесь получается интегральное уравнение Фредгольма (верхиий предел 227 26,12. Аффинно озязниг многообразия интегралов равен 1, а ие Л), и поэтому здесь нет ни множителя 1!(г!, нн явной зависимости от Л, как это было в (26.9.6). Подробности см. в работе Уайтхеда (!932).
26.11. ПРОДОПЖЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ Для римановых многообразий можно доказать, что если кривая ху (Л) удовлетворяет уравнению геодезической при а < Л < Ь и лежит в компактной области многообразия, то существуют пределы х/(Л) при Л а и Л Ь и поэтому, в частности, применимо следствие 1 теоремы Уайтхеда. Для псевдоримановых многообразий это неверно, что показывает следующий пример. Пусть М вЂ” поверхность цилиндра, х' = г и х'= 0 — цилиндрические координаты, а метрика на М задается матрнцей (1 2г') ( уг 2 ~/г,1' Прн таких ограничениях на г М оказывается псевдоримановым многообразием. Читатель легко может проверить, что кривая г=Л, 0-1!Л (О<Л<г!,) является геодезической При Л вЂ” 0 геодезическая бесконечное число раз огибает цилиндр и приближается к окружности г=О.
Однако если кривая хг=хг(Л) (1=1, ..., л) удовлетворяет уравнению геодезической при а <Л <Ь и непрерывна при а<Л<Ь, то применимо указанное следствие 1 и величины х~ (Ь), хг (Ь) можно использовать как начальные данные для теоремы существовзния в З 26.8, чтобы продолжить геодезическую на некоторые значения Л ) Ь; аналогично геодезическую можно продолжить и на некоторые значения Л < а. Если под геодезической (в отличии от отрезка геодезической) понимать решение уравнения геодезической, продолженное настолько, насколько это возможно (вполне вероятно через несколько карт), то указанный выше результат можно сформулировать так: для римановых нли псевдоримановых многообразий геодезическая не может иметь на многообразии ни начала, ни конца.
Замечание. Это не означает, что для геодезической Л- -1- оо, и не означает, что геодезическая не может иметь начала или конца в некотором пространстве, в которое погружено данное многообразие. гб.12. АФФИННО СВЯЗНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ Поскольку законы преобразования тензоров известны, ад является тензором, легко найти закон преобразования для трехйндексного символа Кристоффеля (!1я) из уравнений (26.6.10), (26.6,11), Если Гл.
гд. Метрика и ееидееичеение на мниеаобуааии (~'е)' относится к координатам х", ..., х', а (Ге) — к координатам х', ..., х'*, то они связаны равенством Г, дхе дх' дех' 1 дхи ЬГьГ = ~ Ь'д — — + дхо дх'" дхы дх'" ~ дхе (26.!2.1) Так как в уравнение геодезической (26.6.12) входит только (;е), а не непосредственно д „, можно получить геометрию более общего вида, называемую аффинной геометрией, если совсем не предполагать существование метрического тензора д,х, а предло. лагать существование только набора величин, преобразующихся подобно ( е) и помещаемых на место (!'и) в уравнении геодезической.
Тогда существование (или отсутствие) тензора а „при по. мощи которого эти величины могут быть найдены из уравнений (26.6.!О), (26.6.11), не играет особой роли. Аффинная связность многообразия М определяется (по аналогии с тензором) как множество наборов л' функций Г' „= = Г' „(х', ..., х"), причем с каждой картой на М связан один такой набор, а на перекрытии двух карт два соответствующих набора функций связаны законом преобразования дхм дх'" дходх'х ~ дхе (совпадающим с (26.12.1)).
Так как уже не предполагается, что Г'м вычисляются по значениям метрического тензора а „как (Г'х), то необходимо проверить непосредственно, что этот закон преобразования транзитивен (см, 6 26.1), для того чтобы гарантировать самосогласованность определения аффинной связности; это предоставляется сделать читателю в качестве упражнения. В аффинно связном многообразии М (т. е, в многообразив, на котором определена аффинная связность) гладкая кривая и': х' =х'(Л) (1=1, ..., л) называется геодезической, а Л вЂ” натуральным лараметром на в", если и" удовлетворяет уравнениям х'+ Г'„х"х' = 0 (г = 1, ..., л) (25.! 2. 3) (точки означают дифференцирование по Л).
Сравните эти уравнения с (26.6.12). Как и в римановой геометрии, уравнения геодезических (26.12.3) инвариантны относительно замены систем координат в том смысле, что если кривая в лежит на перекрытии двух карт, то она удовлетворяет уравнениям (26.12.3) в одной из координатных систем тогда и только тогда, когда она удовлетворяет этим уравнениям и в другой системе координат. Эти уравнения инвариантны также относительно преобразования Л вЂ” аЛ+Ь (а чь0) натурального параметра данной геодезической.
2ейв. Риманави и пеевдариманави накрывающие мнаеаабравия 229 Теоремы 2 26.8, относящиеся к задаче с начальными данными о геодезической, остаются справедливыми, если коэффициенты Г' аффинной связности являются С'-функцнямн, для чего, согласно (26.12.2), требуется С*-гладкость многообразия. Выполняется и теорема Уайтхеда (на самом деле Уайтхед сформулировал и доказал ее первоначально именно для аффинно связных многообразий): длл каждой точки Р найдется такая окрестность (е, что любые две точки в $е можно соединить единственной геодезической, целиком лежал(ей в У. Вопрос о том, можно ли найти (по заданным на многообразии коэффициентам Г';, аффинной связности) такой метрический тензор а „, чтобы он был согласован со связностью, т. е. чтобы Г',» —— (,У»), обсуждается вкратце в конце 3 27.10.
Геометрическая структура, обусловленная геодезическими на аффинно связном многообразии, называется геометрией путей; некоторые ее аспекты обсуждаются в следующей главе. Из (26.12.3) ясно, что при этом следует предполагать симметричность коэффициентов связности по нижним индексам: Г' =Ге В более общем случае иногда вводится дополнительное геометрическое понятие — кручение, которое основано на антисимметрической части ')в (Г' — Г'„) свЯзности; см.
ФландеРс [19631. Так как кручение не действует на геодезические, его следует рассматривать как нечто внешнее по отношению к ннм и накладывать на геометрию многообразия, определяемую геодезическими. 2$ЛЗ. РИМАНОВЫ И ПСЕВДОРИМАНОВЫ НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ Пусть М вЂ” накрывающее многообразие для Г»Г, а ф — проекция М на йг. Лля любой функции Г(Р) иа й( (скажем, класса С») о де1 функции Г" (1г) =Г" (ф(1г)), определенной на М, говорят, что она поднята из й) на М (по аналогии с поднятием кривых и поверхностей, описанным в 2 24.2). Предположим теперь„что й( — риманово многообразие. Пусть ~' (Р) — координаты в некоторой правильной окрестности У щ йГ, а д,» †компонен метрического тензора в этих координатах. Все ф' й дв» являются функциями на йг, и их можно поднять на М как функции ре и д „.
Тогда каждая связная компонента ГГ, нз ф '($~) становится картой с координатами ~~' и метрическим теп. юрам д „и нетрудно показать, что тем самым М превращается в риманово многообразие, которое называют римановым накрываюи(им многообразием для йГ. Если М вЂ” универсальное накрыва- 230 Гм 26. Меарина и ыодезпчеекие ни многообраэии ющее многообразие многообразия М, то М называется его униеере льным риманаеым накрывающим многообразием. Аналогично определяются н псевдоримановы накрываю|цие многообразия. Рассмотрим теперь задачу построения многообразий М, накрываемых данным римановым многообразием М. Для общего многообразия М такое М было получено в ~~ 24.6 посредством такого гомеоморфнзма о М на себя, что если Р— любая точка М, то множество точек Р, о(Р), о(а(Р)), ..., а '(Р), ...
дискретно (не имеет предельной точки в М); построение накрываемого мнопюбразия М осуществляется отождествлением всех точек этого множества для каждой точки Р, т. е. множество всех точен, получающихся из Р посредством гомеоморфизма а, рассматривается как одна точка искомого многообразия М. Для того чтобы в результате такого построения получилось риманоео многообразие, необходимо потребовать только, чтобы отображение а было изомеглрическим гомеоморфизмом, т. е. чтобы оно сохраняло метрику.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
