Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 45
Текст из файла (страница 45)
На перекрытии двух карт два соответствующих набора функций связаны законом преобразования, являющимся обобщением условия (26,1,2) для скаляров. В качестве первого примера векторного поля рассмотрим градиент скаляра г (Р) (относительно скаля ра предполагается, что он принадлежит классу С'). На карте «К гр, гр) градиент состоит из частных производных функции (26.1.1), а именно о;(х', ..., хо)=д/(х', ..., хн)!дх', (26.1.4) 2бл, Сполярпые и вгппюрные поля пи многообразии 207 (Здесь используется соглашение о суммировании, согласно которому правая часть равенства означает сумму по и от 1 до и; и называют немал« индексом.) Как и (26.1.1), равенство (26.1.9) интерпретируется как тождество, если хт выражены через х" или х" выражены через х' В дальнейшем указание на аргументы будет опускаться; тогда равенство (26.1.9) записывается короче: и; = (дха(дх') оа; (26.
1,10) это равенство выражает закон преобразования для ковариантных векторов. Обозначение ха можно использовать как для переменной, так и для функции; в (26.1.10) оно использовано для функции, и нужно смотреть на «знаменатель» частной производной, чтобы узнать, какие переменные являются независимыми: если там есть штрих, то независимыми переменными являются х", ..., х'", а если там два штриха, то независимые переменные — х"", ..., хп", и т. д.
Это соглашение является стандартным. Ковариантное») векторное псле на М определяется как множество наборов (ог) п функций, причем с каждой картой на М связан один такой набор, а соотношение между двумя такими наборами на перекрытии соответствующих карт выражается законом преобразования (26,1,10) Замечания. (1) Векторное поле не обязательно является градиентом какого-то скалярного поля, как это было в предыдущем примере, (2) Две карты могут перекрываться в точности по их общей области определения сг'г= М; в этом случае о законе преобразования (26,1.10) говорят как о замене независимых переменных в обычном смысле. Закон преобразования транзитивен: если вслед за (26.1.10) делается другое преобразование координат хп в координаты х"У, то и, и о связаны должным сбразом, потому что на перекрытии трех карт дх'", дх'" дхг дхг о! .
ог „о! . ог. дх»У дх"l дх'а дх"г Чтобы получить теперь пример так называемого контравариантного векторного поля, рассмотрим течение жидкости на М. Если в момент времени ! частица жидкости изображается точкой ') Префикс «ко» означает «так же, как», «одннаковый» н т. д., а префнке «контра» (см.
ниже) указывает на противоположность. Здесь термин «коварнантный» (вектор, тензор) поясняет, что данный объект изменяется прн преобрззованвн коордннат так же, как граднент (т, е, прн помощи транспоннрованной обратной матрицы Якоби преобразования х х'); контраварнантные объекты преобразуются «протнвоположным» образом, т. е. прн помощи матрицы Якоби, например так же, как скорость (см. далее).— Прим.
перев. Гл. 26. Меэиуики и геодеэические ни многоооуиэии Р(!), то в некоторой карте «хе', <р, )У) ее координатами являются х" (!), где х(С)=ср(Р(!)); величины о" (!) = дхи ((У д(, й = 1, ..., и, называются компонентами обобщенной скорости. [Они являются декартовыми компонентами скорости соответствующей точки х(!) в координатном пространстве Ви.! Если х'и(!) и о'л(!) — соответствующие координаты и компоненты скорости относительно другой карты «се', ер', !у'), то о'и (Г) = (дх'и!дх2) оэ (!).
Если для описания течения всей жидкости (а не одной частицы) рассматриваются компоненты ое (х) скорости частицы жидкости, которая в момент времени ! находится в точке х, то закон преобразования выглядит так: о'" (х ') = (дх' (х)!дхл) ог (х). Подобно (26.1.1) и (26,1.9), это равенство является тождеством на перекрытии карт, если обе его части выражены либо в переменных х', либо в переменных х". Мы снова будем опускать излишние подробности обозначений.
Контравариантное векторное поле на М определяется как множество наборов «оэ! и функций; с каждой картой связан один набор, причем закон преобразования о'" = (дх'е1дхг) о2 (26.1.12) выполняется для любых двух таких наборов на перекрытии соответствующих карт.
Отличие этого преобразования от (26.!.!0) подчеркивается местоположением штриха в производной. Этот закон преобразования также транзитивен. Замечание. В римановых и псевдоримановых пространствах (включая евклидовы пространства) любой вектор может быть представлен как в ковариаитной, так и в контравариантной форме; формулы для поднятия и опускания индексов при помощи метрического тензора дви будут приведены ниже (см. Э 26.5).
Однако в некоторых случаях, йапример в варианте Вейля единой теории поля, расстояния и длины векторов только относительны, метрического тензора вообще нет, а есть только так называемая аффинная связность (см. ~ 26.12). В таких случаях ковариантные и контравариантные векторы имеют существенно разную природу. Отметим также, что координаты х', ..., х" не являются компонентами вектора, потому что они не преобразуются по закону (26.1.!2), за исключением случая однородных линейных преобразований.
Когда на многообразии добавляют или исключают согласованные карты, как это описзно в гл. 23, предполагается, что и соответ- 26.1. Скалярные и нектарные палл на многообразии ствующие наборы компонент векторов (пу) или (ог) также добавляются или исключаются согласно законам преобразования (26.1.10) нли (26.1.!2). Свойства векторных полей, инвариантные прн таких добавлениях и исключениях, рассматриваются как их внутренние свойства. В этом смысле понятие ковариантиого (или контравариантного) векторного поля не зависит от координат. УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть и1 и а1 — гладкие контравариантные векторные паля, и пусть м1 и» ди1 (дх» — и»ди «1дх».
(26.!.!3) Покажите, что величины (ю1)» преобразуются согласно равенству (26.!.12) и позтому образуют векторное поле. Введем обозначение м [и, ч] и назовем м скобкой Ли векторов и н ч '). Ясно, что [и, ч] — [ч, и). Покажите, что если и1, о1, ю1 — произвольные гладкие векторные поля, то [[и, ч], и]+[[ч, м), и)+1[и, и], ч]=0 (тождество Якоби). Отсюда следует, что если, исходя из двух или более С"-векторных полей на С"-многообразии, получить все возможные векторные паля при помощи линейных комбинаций (с постоянными коэффициентами) и скобок Ли, то в реэуль. тате возникнет алгебра Ли (возможно, бесконечномерная). 2.
Пусть иг и а1 — гладкие кантравариантные векторные поля, скобка Ли которых равна нулю, т. е. и» да11дх» = а» ди11дх», Нужно показать, что если точка 0 на многообразии является концом пути, нзчинающегося в точке Р и следующего вдаль интегральной кривой векторного поля и1, т, е. вдоль решения системы дх|!д1 и1 0=1, ..., и), до момента времени 1», а затем вдоль интегральной кривой полн а1 до момента 1«, то той же точки 1) можно достичь, следуя от точки Р сначала по интегральной ириной поля аг до некоторого момента 1«, а затем — по интегральной кривой пачя и1 до некоторого момента времени 1,. С этой целью возьмем поверхность хг (з, 1) на многообразии, определяемую следующими задачами с начальными данными: дх/(з, 0)1дз=иг (х(з, О)), ху(0, О) задано (точка Р), дх» (з, 1) )д1 = а1 (х (з, 1)), х1(з, О) задано (из предыдущей задачи] (см. рис.
2б.!). Покажите, что тогда х (з, 1) удовлетворяет и уравнению дх l (з, 1)! дз = и 1 (х (з, 1)) при 1=0, для чего докажите, что величины в обеих частях э»ога уравнения являются решениями указанных задач с начальнымн данными (относительно 1), а именно тех же самых «обыкновенных» дифференциальных уравнений (з фик. ') Или их коммутатором.— Прим. перга. Гх. 26. Метрика и геодезические на многообразии 2!0 снроаано) — !( — хг(з, !)) = ' ! — к" (з, !)), д I д т до/(х(з,г))гд дз ( дз ' у дхл ! дз т. е. — (иг(х (з, !)))= ' и (х(ь !))) д дог (х (5, !)) дка с теми же самыми печаль~имя условннмн, потому что дхг(з, 0)(де=ил(х(з, О)).
Поверхность хг (з, Г) состоят нз точек, которых можно достичь, следуя нз р по зигзагообразным путям, каждый отрезок которых является отрезком Рнс. 26.!. интегральной кривой либо для поля ит, либо для поля ог. 26.2. тенЗОРные пОля Контравариантные тензоры Тг», Тлы и т.
д. произвольного ранга (ранг — это число индексов) преобразуются согласно закону Т""" =(дх'Угдхг) (дх'»/дхе)... Т"". (26.2, !) Соглашение о суммировании применяется здесь ко всем повторяющимся индексам г, з,... в правой части равенства; в результате получается кратная сумма. Ковариантные тензорные поля Т;», Тг»! и т. д. преобразуются согласно закону Т;» = (дхг(дх") (дх')дх'х)... Т„, (26.2. 2) а смешанные тензоры — согласно правилу, указанному в следующем примере: (26.2.3) дкг дле дк'г дк" Все эти законы преобразования транзитивны. О последнем тензоре говорят, что он имеет контраварианлчный ранг 3 и ковараанагный ранг !.
2!1 28.2. Теязорныв поля Законы преобразования показывают, что если и», пУ вЂ” контра- вариантные векторы, а и»п г,— ковариантные векторы, то величины ТУ'= пупа, Тра = и» г„, Тла = и»еаа, Т»а» = и)пав» и т. д. определяют тензоры обозначенного типа. Вообще если Т»! и" ' » О»ь..
»,»,... — любые два тензора, то произведения (Т!Пе" »»ь. ) (5ог1" » '*" ) являются компонентами тензора )(пи,.. »», гг, »»,... контравариантные и ковариантные ранги которого суть суммы соответствующих рангов тензоров Т и 5. Описанный процесс построения тензоров называется внешним умножением' ) векторов и тензоров. Если у некоторого тензора один и тот же символ встречается как в верхних, так и в нижних индексах, то вступает в силу соглашение о суммировании (относительно повторяющихся индексов) и в результате получается тензор меньшего ранга; например, если задан тензор Й'а»м, то можно определить тензор )са» = Жв»п или, напРимеР, из тензоРа 52а» можно полУчить скалЯРы 5»" и 52аар ТакаЯ пРоцедУРа называетсЯ свеРл!кой. Внешнее умноженйе с последующей сверткой называется внутренним умножением, например если и» и ю,— векторы, то пуы» — скаляр').
Легко проверяемым обращением последнего результата с,тужит закон частного*), который утверждает, чтоесли задано множество наборов величин (пу) и с каждой картой, содержащей некоторую точку Р»о связан один такой набор и если для каждого ковариантного вектора (ы»у), определенного в точке Р„величина п»ы» является скаляром (инвариантом при изменении координатных систем), то наборы (п)) определяют контравариантный вектор (в точке Р,).
Ковариантные и контравариантные векторы здесь можно поменять ролями. Вообще если, например, заданы наборы и' величин ( Туа»), такие, что величины 5,= Т, »пап»» ') Чаще это умножение называется»пвпзорнмм, а виешпим умножением (кососимметрических) теизоров называют альтериираваиие тепзороого произведеиия (см., например, Мищенко и Фоменко [1980)).— Прил», перев, з) То есть обычное скалярное пропзведеиие векторов.— Прим, перев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
