Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть далее Л, Ле н М вЂ” алгебРы Ли гРУпп б, бр и Н. Покажите, что Л=Леттзр М, где р(гз) =Лбр для любого зг Е М Укааанае, Если для з Е Ле и и Е М (А, !г) означает !п(е е"), найдите произведение Ли двух таких пар, используя разложение формулы КБХ для Егх' из!Егин Ра н для каждого множителя отдельно, Полупрямая сумма становится прямой суммой Л,(у)М, если р — тривиальный гомоморфизм, который отображает каждый элемент )х из М на нулевое преобразование, т. е. р()з) ),=*0 для всех Х. В этом случае Лч и М являются идеалами в Л„ЯМ. Фундаментальная теорема о структуре, которая доказывается на весьма поздней стадии развития рассматриваемой теории, ут- 25,1б.
Клоссификояия просаых комплектах олгебр ети !Ю верждает, что любую алгебру Ли можно представить в виде повторной полупрямой суммы !... !!А,Р„Л,) Р„Л,) ... Р, А,) алгебр Ли, каждая из которых или одномерна, или проста; поэтому главной целью теории является классификация простых алгебр. Приведенная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных алгебр Ли; весьма тонкое ее доказательство можно найти в книге Хаузнера и Шварца !1968!. 25.тб. клдссиФикдция ЛРОстых кОмплексных АПГевр ли Отношения, связывающие различные объекты рассматриваемой теории, показаны на следующей схеме: Г „ппа Лн Вещественная Компленоная алгебра Лн алгебра Лн Простая ! Простые комплексная~-» вещественные — Группы Лн алгебра Лн алгебры Лн Любая группа Ли определяет единственную вещественную алгебру Ли, в свою очередь определяющую единственную комплексную алгебру Ли при помощи процесса, называемого комплексификацией, который будет описан ниже.
Комплексный случай проще вещественного, так же как и в элементарной теории матриц, потому что совокупность комплексных чисел С алгебраически замкнута, тогда как й не является таковой. (Вспомним, что вещественная матрица в общем случае имеет комплексные собственные значения и собственные векторы.) Имеется полная классификация простых комплексных алгебр Ли, а именно существуют четыре регулярные бесконечные серии алгебр и пять так называемых исключительных алгебр. Следующий шаг заключается в том, чтобы найти все простые вещественные алгебры, комплексификация которых приводит к данной комплексной алгебре.
Такой шаг выполнен в книге Х аузнера и Шварца [19681, где читатель может ознакомиться с полной классификацией простых вещественных алгебр. Этот результат получить гораздо сложнее, чем классификацию комплексных алгебр, но зато реализуется два шага в классификации групп Ли; для этого нужно, во-первых, найти все возможные повторные прямые суммы одномерных и простых алгебр, как описано в конце предыдущего параграфа, а во-вторых, найти все (скажем, связные) группы Ли, которые дают данную вещественную алгебру Ли, Мы дадим очень краткий набросок этой теории, используя классификацию простых комплексных алгебр.
Алгебраические подробности и ряд лемм, необходимых для доказательств, читатель может найти в книге Хаузиера и Шварца !1968!. гл. хз. Группы ди 190 Как уже указывалось в предыдущем параграфе, нас в основном интересуют простые алгебры, но при их рассмотрении потребуются некоторые непростые алгебры, а именно полупростые, разрешимые и нильпотеитные алгебры Ли. Для того чтобы их определить, заметим прежде всего, что если Л, и Л,— любые идеалы в некоторой вещественной нли комплексной алгебре Ли Л, то произведение [Л„Л,), определяемое как надпространство, которое является линейной оболочкой элементов вида [Х,, Х,1, где Х,ЕЛ„а ).,ЕЛ.„т, е.
подпространство [Л„Л,1=линейная оболочка ([Р.„ХД: 3,,ЕЛ,, Х,ЕЛ,), есть идеал, содержащийся как в Л„так и в Л,. Теперь мы определим две нисходящие последовательности идеалов в Л, а именно Л'=Л ~ Л' -> Л':> ... и Л'"=Л ~ Л"':>Л "' -~ ..., используя индукцию Ах+1=[А, Ль], Ла+" =[Л'ь, Л(Ф1, Говорят, что алгебра Л разрешила, если Л'"'=0 для некоторого л, и нильпотеягпна, если Л"=0 для некоторого й. Легко видеть, что нильпотеитная алгебра разрешима; действительно, Льп щ Л" для всех и, что устанавливается путем индукции по й.
Как н в ~~ 25.12, алгебра Ли Л более чем одного измерения проста в случае, когда она не содержит собственных ненулевых идеалов. Алгебра Ли называется полупросшой, если она ие содержит собственных ненулевых разрешимых идеалов (в этом случае сама алгебра Л не может быть разрешима, так что слово «собственных» в последнем определении можно опустить).
При дальнейшем развитии теории окажется, что алгебра Л будет полупростой тогда и только тогда, когда Л'=Л (отсюда возникает требование, что б)гпЛ~!, ибо если б1шЛ=1, то Л'=О); далее, алгебра Л полупроста тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде прямой суммы идеалов Л=Л,Я...ЯЛм где каждое слагаемое Л является простой алгеброй. Если Л вЂ” вещественная алгебра Ли, то ее комплексификация определяется как комплексная алгебра Ли Л, элементами которой являются формальные суммы к+1м, где Х и 1х принадлежат Л, и для которой линейные комбинации и произведения Ли определяются очевидным образом; в частности, [Х, +1р„Х,+1р,)=[1.„к,)+1[1х„Х,)+1[2.„1ц,1 — [р„рД. л».16. класс»фамилия яаасся»»» ксмплсясялас алссбр Ли 191 Алгебра Л полупроста в том и только том случае, когда Л полу. проста.
Если Л проста, то ее комплексификация либо проста, либо представляет собой прямую сумму двух идентичных (т. е. изоморфных) простых комплексных алгебр, Любая вещественная или комплексная алгебра Ли Л содержит нильпотентные подалгебры (они, разумеется, не являются идеалами, если Л полупроста); в частности, она содержит так называемую подалгебру Картана М, определяемую ниже, которая является ннльпотентной.
Для анализа структуры алгебры Л исследуют структуру подалгебры М и соотношение между элементами М и остальными злементамн алгебры Л. Это соотношение описывается при помощи операторов Ад„, )» Е М; оператор Аб„ преобразует элемент алгебры Л в некоторый другой элемент Л, а именно преобразует Л в ()», Л1.
Отображение р.— Ас)и есть представление подалгебры М на векторном пространстве Л; поэтому теория начинается с рассмотрения общих представлений разрешимых и нильпотентных алгебр Ли. Изучение представления р абстрактной алгебры Л ямеет то преимушество, что, в то время как Л нз Л представляет собой абстрактный объект, р(Л) является линейным преобразованием в векторном пространстве, и, значит, могут быть применены стандартные методы линейной алгебры; например, в комплексном случае преобразование р(Л) имеет по крайней мере одно собст.
венное значение и один собственный вектор. Кроме того, произведение Ли преобразований р(Л) и р()») есть просто р(Л)р()»)— — р()») р(Л) Пусть р — представление любой алгебры Ли Л на векторном пространстве и'. Назовем ч из Р весовым вектором представле. ния р, если он является одновременно собственным вектором всех преобразований р(Л), ЛЕЛ, т. е. если р(Л)ч=а(Л)ч»УЛЕЛ, где а( ) — скалярнозначная функция, очевидно линейная, определенная на Л и называемая соответствующим весом представ. ления р.
Вектор ч из Р является обобщенным весовым еекторол представления р, соответствующим весу а( ), если для некоторого целого й (р (Л) — сс (Л) /)» ч = 0 УЛ Е Л, где 7 — тождественное преобразование в Р. Множество всех обоб. шенных весовых векторов для данного а( ) называется соотвегствущим весовым пространством и обозначается через Р„. Таки»1 образом, вес, весовой вектор и весовое пространство соответствуют собственному значению, собственному вектору н алгебраическому собственному подпространству для случая единственного линейного преобразования.
В этом последнем случае, если Р— комплекс- 192 Гл. 25. Группы Ли ное векторное пространство, то оно является прямой суммой всех алгебраических собственных подпространств у',Я... ЩУ», соответствующих собственным значениям гы ..., г„,— это отражение того факта, что любая матрица может быть приведена к жордановой нормальной форме. Аналогичные результаты имеют место для весов и весовых векторов, когда рассматриваемая алгебра Ли разрешима или нильпотентна. Теорема 1. Если р — представление разрешимой комплексной алгебры Ли М на векторном пространстве Р, то р имеет хотя бы один весовой вектор у и соответствующий вес а( ), Если далее допустить, что М нильпотеитна, то мы имеем следующий результат. Теорема 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
