Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Л =Л), то мы имеем автоморфизм. Линейное подпространство А алгебры Л называется подалгеброй„если [7., )х1 Е А для всех Х, )х Е А; если, более того, [Х, 1г) Е А !76 Гл. Ж. Группы Ли для всех ХЕ А и для всех )л ЕЛ, то А есть идеал алгебры Л, Алгебра Ли Л размерности большей 1 называется простой в том случае, когда она не содержит никаких других идеалов, кроме (О) и Л. (Причина, по которой в этом определении исключены одномерные алгебры, выяснится в й 25.16.) Легко видеть, что ядро гомомор- физма ф, а именно множество (Х: ф(Х)=0), есть идеал в Л. Следовательно, альтернативное определение состоит в том, что алгебра Ли размерности большей 1 проста, если она не может быть гомоморфно отображена на любую, менее сложную алгебру, кроме тривиальной алгебры (0], Идеалы играют почти ту же роль для алгебр Ли, какую играют нормальные подгруппы для групп.
Если Л,— надпространство Л, то отношение й=)л (шойЛ,), определенное в том смысле, что Х вЂ” )л принадлежит Л„является отношением эквивалентности, разбивающим Л на непересекающиеся классы, называемые классами вычетов по модулю Ле. Если для любого фиксированного к ЕЛ обозначить через Х класс вычетов (7+рл )лЕЛе) и определить а$,=ау и Х+)а=у+)л, то множе- ство классов вычетов образует линейное векторное пространство, называемое фактарпространством алгебры Л по модулю Л,. Мы покажем, что если Л,— идеал, то факторпространство можно интерпретировать как алгебру Ли.
Теорема 1. Пусть Л,— надпространство алгебры и!и Л. Для каждого выбора Х, и рт в Л множество ([7~ Й: 7 — йтЕЛе, М вЂ” р,ЕЛо) содержится в единственном классе вычетов (а именно в классе [Х„)е~]) тогда и только тогда, когда Л, есть идеал в Л. В этом случае если произведение Ли двух классов вычетов Х, и (ет опре- делить равенством [лч, )л,]=[1„)лт], то факторпрсстранство алгебры Л по модулю Л, является алгеброй Ди, которая обозна- чается через Л!Л, и называется факторалгеброй алгебры Л по модулю Л,. Отображение Л вЂ” Х есть гомоморфизм, называемый естественным гомоморфизмом Л на Л7Л, и обоэначагмый через ту„.
Пояснение. Рассмотрение коммутативного случая, в котором любое подпространство алгебры Л является идеалом, а любое произведение Ли [Х, р] равно нулю, показывает, что множество элементов [7,, )а], о котором говорится в формулировке теоремы, может быть лишь частью класса вычетов [Х„(лт], котоРый совпа- дает с Л,. Доказательство твоивмы ь (1) ДопУстим, что Ле — идеал. В общем елучае 1х и! — 1 нт1=(х — х и)+!х ° н — нт!' 177 убув.
Гомоморфнзмы группы гун следовательно, если Л вЂ” Л, и р — рг принадлежат Ла, тон оба члена из правой части принадлежат Лз; поэтому [Л, [х] и [Л,, Пг] находятся в одном и том жс классе вычетов, как и утверждалось. [2' Обратно, если для произвольных Л и и [Л, р+о] всегда содержится в том же классе вычетов, что и [Л, п], для любого аЕЛ», то [Л, а]ЕЛ», а отсюда следует, что Лз — идеал. (3) Определение произведения двух классов вычетов посредством формулы [Ль Ла! =[Лы Л,] наказывает, что отображение Л вЂ” Л есть гомомарфиэм, а тогда из пояснения, приведенного после определения гомоморфизма, следует, что факторпрастранство является алгеброй Ли. Теорема 2 (о гомоморфизмах).
Если Л,— ядро гомоморфизма ф алгебры Л на алгебру Л, то Л, есть идеал в Л (как уже отмечалось) и Л!Л,жЛ. Доклзлтпльство Обозначим через ф„естественный гомоморфизм л на Л(Л», Из равенства ф» (Л) =ф» (Лз) следует принадлежность Л и Лх одному классу вычетов, т. е. Л вЂ” ЛгЕЛ», отсюда ф(Л вЂ” Л,)=0 по определению Ла как ядра гомаморфизма»р и, значит, ф (Л) =е (Лг). Поэтому»[чр„' есть взаимно однозначное отображение множества Л/Л» классов вычетов нз Л; обозначим это отображение через Х.
Читателю предоставляется возможность завершить доказательство, проверив, что х линейно и удовлетворяет уравнению х([Л, р])= =[у (Л), х (и)), где Л н и — произвольные классы вычетов в Л по модулю Лз, т. е. произвольные элементы множества Л!Лг. Хйпз. ГОМОМОРазИЗМЫ ГРУППЫ ПИ В случае группы Лн гомоморфизм должен сохранять не только все алгебраические отношения, но также все локальные топологнческие и аналитические свойства, связанные со структурой многообразия. Если 6 и 6 — группы Ли, то отображение Ч' группы 6 в группу 6 называется гомоморфизмом групп Ли, если: 1) это гомоморфизм в теоретика-групповом смысле: Ч' (Ф) = Ч' (у) Ч' ([г), ху (у ') = Чг(у) ', 2) это непрерывное отображение; иначе говоря, если гр и гр — любые координатные системы в 6 и 6 соответственно, то каждая компонента вектора у=гр(Ч'(гр '(х))) (25,13.1) является непрерывной функцией компонент вектора х для всех х, для которых данное выражение определено.
Замечание 1. В общем случае это отображение переводит много элементов в один; в действительности 6 может иметь ббльшую размерность, чем 6. Замечание 2. Типичным отношением в 6, которое сохраняется в 6 и не имеет теоретико-группового характера, является сходимость последовательности элементов ух, у„ ... к пределу Й (что (7В Гл. Уб. Груилы Ди означает сходимвсть в карте, содержащей й, координат элементов д„д„... к координатам Ь); тогда вследствие непрерывности функций (25.13.!) последовательность Чг(у!), Чг(уэ), ... сходится к Чг([т) в 6.
Аналогично образ кривой в 6 при гомоморфизме представляет собой кривую в 6. Замечание 3. Свойство Ч' быть непрерывным отображением инвариантно относительно добавления или вычеркивания согласованных карт в одном илн в обоих многообразиях 6 и 6, пото. му что если х' и у' суть координаты в любых двух картах; то схема х' ч-э х у е-ь у' показывает, что координата у' непрерывно зависит от х', если только она определена при помощи композиции трех указанных отображений. Замечание 4.
Если Ч' является взаимно однозначным отобра жением 6 на 6 и, кроме того, Ч' ' непрерывно, то Ч" представляет собой изоморфизм групп Ли. Теорема 1. Пусть Чг — гсмомор4изм группы Ли 6 (т. е. непрерывный гомомор4изм) на 6, и пусть Л и К вЂ” алгебры Ли групп 6 и 6. Тогда отображение Ч', будучи выражено через логарифмические координаты, является локальным гомоморфизмом алгебры Ли Л на Л.
Замечамие. Как очевидное следствие волучается, что в силу линейности отображения Ч' в этих координатах любой гомоморфизм группы Ли локально является аналитическим отображением; оно аналитично также и глобально, потому что если д=д,й для произвольного ум то элемент Ч" (у) =Ч'(уэ) Чг(п) Ч'(у,) Ч" (д, тд) аиалитнчен в д для Й из некоторой окрестности единицы в силу аналитичности произведений и обратных элементов в каждой из рассматриваемых групп.
Доклзлтельство теоремы ь лля любого элемента ь, дсстаточно близкого к началу координат в й, мы можем определить элемент из й посредством координаты "и !п (Ч' (еь)). Нам нужно показать, что отображение Х вЂ” Х линейно и переводит [ь, )з] в [Х, й!. Сначала мы покажем, что оио преобразует (ь в Ф для вещественного 6 т. е. гХ=Й. Для фиксированного и множество чт(еьч), (Еи, есть однопараметрическая подгруппа группы О, которая включает элемент е~; следовательно, для каждого ! существует вещественное число з ((Г), такое, что Ч'(еы) =е' =е(и!ь, 25.И.
Гомоморфнзмы группы Ли 179 где 1(!) — непрерывная функция в силу непрерывности т', причем 1(0)=0 и 1(1)=1, Поскольку Ч' отображает произведения яз произведения, мы имеем е< ((+х! ь Чх (з(<+ х! х) ху (з<Х зх!) Ч (з<ь) Чг(, х),!и!ь з!< !х е!!и!+!<хих Отсюла 1(!+з) =1(!)+1(з), но лишь непрерывные функции, обладающие этим свойством, линейны. Учитывая, что 1(0)=0, 1(1)=1, мы получаем 1(!) = — <, что и требовалось показать. Теперь к обеим частям равенства Чг(е'"е<") = е'" е<з применим формулу КБХ, что дает з)х+(р+х/ззг()х, и1+...=ай+(и+х(зз<(Ь, и1+... (25.!3 2) для всех з и !.
Пусть з=ез', <=ей. учитывая, что ет=вт, можем сокра- тить обе части (25.13.2) на множитель е. Тогда при з 0 квадратичные и бодее высокого порядка чзевы обратятся в нуль; поэтому з'"ь+рр= '"к+1'И, а это устанавливает полную линейность отображения ь — ь. В силу этого можно опустить линейные члены з обеих частях (25.!3.2), н, рассуждая ана- логично предыдущему, мы увидим, что Р,Ф=(ь, м), т. е. что отображение )< — х)< есть гомоморфизм алгебры Лн, а это н тре- бовалось доказать.
Эта теорема не имеет глобального обращения, а лишь локаль. ное, и, чтобы сформулировать зто обращение, нам понадобится новое определение. Если С вЂ” окрестность единицы группы Ли 6, то аналитическое отображение Ч' окрестности ТГ в группу Ли 6, такое, что Чг(у)()=Ч<(д) Чг(й), когда д, Л и дд принадлежат К называется локальнь<м гомоморфизмом 6 в 6. Если обратное отображение также является локальным гомоморфизмом, т, е.
оно единственно и аналитично в некоторой окрестности единицы в 6, то Ч' есть локальный изоморфизм. Если, кроме того, 6 = 6, то Чг — локальный автоморфизм б. Теперь мы можем сформулировать обращение теоремы 1. Теорема 2. Если Л и Л вЂ” алгебры Ли групп Ли б и б, то любой гомоморфизм алгебры Ли фч Л вЂ” Л инду<(иругт локальнь(й гомоморфизм Ч': 6 — 6, задаваемый при помои<и зкснонен<(паленого отображения, а именно Ч'(еь)=г'з<М длл г' в достаточно малой окрестности едина«ы в б. Доказательство. Использование формулы КБХ дает чх (зази)='Р (ех+з+(х<з!!ми)+"') =зе(х+з+(х/знк з1+...!.
з силу того, что ф является гомоморфизмом алгебры Ли, последнее вырзл<ение равно 'Р(х!т р(н(+<х!з(!Ечл( Чим)з !80 Г*. 2В. Группы Ли а так как формула КБХ справедлива также н в О, то предыдущее выраже- ние равно еи(ыет(">, т. е. Ч' (е еи) = Ч' (е ) Ч' (е"), и теорема докааана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
