Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 35
Текст из файла (страница 35)
[Эту матрицу не следует смешивать с матрицами, из кото- рых строится алгебра Л, когда 6 †линейн группа, и от кото- рых она, вообще говоря, отличается размером. Если, например, элементами Л являются матрицы размера тхт, то Аб может быть представлено матрицами размера т'хт'.] Через Йзн обо- значается преобразование Л Ас)а(Аб„Л)=Ад„[)з, Ц=[)з, [)з, Л]]; аналогично Аг)иАг)ю Аг(ьи и ехр(Ас)н) обозначают преобразования Л вЂ” [)з, [т, Ц], Л вЂ” [)з, [)з, ...[)з, Л]...]], Л ((+Ас$н+(1!2!) Аг)нз+...)Л, где ! — единичное преобразование в Л. Лемма.
Г(усть еи — заданный элемент группы, и пусть для каждого Л из Л а(1) — гладкая кривая, такая, нто д(О)=1, а касательным вектором к ней в 1 является Л; пусть также Л' — касательный вектор в 1 к кривой еид(1)е и. Тогда отобра- жение Л Л' есть линейное преобразование в Л, которое ванном виде записывается как Л вЂ” Л' =е Л. (25.7,1) Доказатвльство. Для любого фиксированного з в интервале (6, )! групповой автоморфизм д (1) — ~ ен' д (1) е-нэ индуцирует отображение Л вЂ” ь Л (з) способом, описанным в формулировке леммы; будет доказано, что Л (з) удовлет- воряет тому же самому днфференпиальному уравнению, зависяшему от з, что зае и е нЛ. Логарифмическая координата элемента группы В(1, з)=еиэа(1) е-нз равна х(1, з)=)пя(1, з) 1Л(з)+....
(25.7.2) Чтобы найти производную по з при з=з„, запишем д (1, зз+ з) = еи'й (1, зэ) е-и', (25.7.3) « (1, зз+з) = пэ (гп (Чз, « (1, д,)), †), (25.7.4) где, иах и в предыдуших параграфах, пи(, ) вмражвет координату (здесь логарифмическую) произведения двух элементов группы через координаты множителей. Вспомнив определение (25.6.4) для О((х. у), определим аналогично 1 р'(х, у)=дшг (х, у)(дхр [25.7.5) 25.7. Лемма о внутренних аетоморфазнах. Отображение Аб«165 Дифференцирование (25.7.4) по Г показывает, что касагельный век|о«в (=О х кривой х(Г, ах+а) имеет вид Лт (аз+ з) = рз (Нх — Их) д[ (мх, О) Л» (з»1 (25.7.6) Из разложения (25,2.2) для шг (х, у) получаются разложении аля р' и 4», включающие члены первого порядка р'=Ь',+и|у~+..., Е[=б +а~»х'+....
(Все зти разложения и величины р( н Ц выражены теперь через логариф«н) ческие координатыл Из (25.7,6) тогда следует бЛ~ (3+ за)/~й [х- о = (а'„— а»у) )х'Л» д)), т. е. аЛ (з)!аз=[и, Л (з)) =Ай«Л (з) [см. (25.3.3) н (25.3.4)1; если использовать базис в й, то данное уран«ение становится системой н дифференциальных уравнений первого-порядка с настоянными коеффициентами, решением которой является (25.7,7) Лой = Аб„Л (О). Аб В частности, Л' =Л (1) =е «Л, что и требовалось доказать.
Уш Ажнпнив Аб Покажите, что для фиксированного и линейное отображение Л е есть автоморфизм алгебры Л, г. е., во-первых, зто отображение взаимно однозначно, а, во-вторых, Аб Аб Аб е "[Л, ч)=[е "Л, е «ч), (25,7.3) [Отметим, что само Аб„не является даже гомоморфизмом алгебры Л.) Говорят, что е ' есть внутренний автожоргризж алгебры Л, Аб, индуцированный внутренним автоморфизмом а- е' де " группы 6. Пояснение, Если е«и е«* — два любых элемента группы и если е« =е«е«*, то автоморфизм группы 6 а — е«уе-«.
= е«е«*ае-«.е-« индуцирует автоморфизм алгебры Л Абн, ел"«, Аб«, е «=е Поэтому в такой окрестности 1, в которой определены логариф- мические координаты, соответствие е «элементу группы е« Аб является (локально) гомоморфизмом 6 в группу линейных пре- образований в векторном пространстве Л. В дальнейшем будет показано, что в случае односвязной группы 6 это соответствие может быть расширено до гомоморфизма всей группы 6, т. е. до привоеоиненного представления группы 6. Гл. 28. Группы Ли 166 Группа линейных преобразований в Л, порожденная преобразованиями вида е и, называется группой внутренник автоморАд физмов алгебры Ди Л и обозначается через !п((Л). Каждый элеАд Ад мент этой группы является конечным произведением е и е ...е пл и называется внутренним автоморфизмом Л (его не Ад всегда можно представить в виде е ' для некоторого а Е Л).
Ад, В случае односвязной группы 6 элемент группы (и! (Л) есть образ элемента д=еи еп ...еп/ группы 6 при упомянутом в пояснении гомоморфизме (в присоединенном представлении). 2$.8. ЛЕММЫ О ФОРМАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Касательный вектор в / к кривой й(/) в многообразии группы обычно обозначают через йа(/)/й/ или д(!). Это, конечно, чисто формальное обозначение, если только 6 не является группой матриц, так как в общем случае «отношению разностей» (д(/,) — д(/,))/(/,— Г») нельзя придать никакого смысла. Тем ие менее это обозначение можно использовать в согласии со многими правилами дифференцирования, причем оио часто значительно упрощает запись формул и сокращает выводы этих формул. Пусть в 6 выбран элемент Й и соответствующая кривая д(!).
Если д(/е) — касательный вектор к а(!) в /„то Йд(/е) следует определить в качестве касательного вектора к кривой Йд(/) в !е. Взаимно однозначное отображение группы 6 на себя, задаваемое как д - Йд для фиксированного Й, называется левой трансляиией") в 6. Это отображение индуцирует взаимно однозначное линейное отображение пространства касательных векторов в точке у,=д(/,) на пространство касательных векторов в точке Йаы Аналогично д(/е)Й определяется как касательный вектор к кривой д(/) Й; поэтому правая трансляция д- дй в 6 индуцирует отображение пространства касательных векторов в точке у, на пространство касательных векторов в точке д,Й.
Согласно этим определениям, й (Йд (/)),'. / = Й е/д(!)/й/, й (д(!) Й)/й/ = (йд (/)/сИ) Й. (258, )) Из ассоциативности 6 следует, что если Й, и Й,— элементы группы, а 2 — касательный вектор к некоторой кривой, то (Й,Й.,) ). = Й, (Й»й) и (Й,е.) Й, = Й, (е.Й,); следовательно, все скобки можно опустить.
В таком произведении любое число множителей представляет собой элемент группы, но лишь один множитель может быть касательным вектором, а значит, и произведение является касательным вектором. В общем случае Л, ЙХ, 2Й и ') Либо лсиыи сдвигом.— Прим, верее 28.8. етеммь«о формальнмз про»чюдна«л 167 т. д являются векторами в различных точках 6 и не могут сравниваться, поскольку если ),т и ).е — векторы в различных точках, то уравнение ).« =д, теряет смысл. Однако если вектор ). принадлежит Л, а значит, является вектором в ), то Х и /т)ь/« '— векторы в одной и пюй же точке 6; в частности, отображение Х еЮв™ есть внутренний автоморфизм е" » алгебры Л, рас- смотренный в предыдущем параграфе. Используя конкретную систему координат, можно без труда установить следующие соотношении« й (дг(1) й (1))/«(1 = д (1) г(/«(1)/«(1 + (й«г (1)/й1) /«(1), (25,8,2) дм(1)-«)/й1- — й(1)- (дй(1)/ 1) й (1)-, (25 8.8) дв«х/й1 ° Леп = ег«Л.
(25.8.4) Производные порядка выше первого, вообще говоря, выводят нас из пространства касательных векторов в другие (по-внднмому, малоинтересные) пространства. Однако если йг(в, 1) — гладкое двухпараметрическое семейство элементов в 6, то величины, опре- деляемые как с«=с«(з, 1)=дг 'дй/дз, ))=))(в, 1)=д 'д«г/д1, (258.5) суть касательные векторы в точке д(з, 1) «л(з, 1) 1 для всех з и 1, т. е.
всегда принадлежат Л и могут быть продифферен- цированы. Лемма. Для сз и р, определенныт в (25.8.5), до«/д1 — д))/дь («х, ()1. (25.8.6) (Замечание. В случае линейной группы 6 дзд/д/дз определяется как матрица (в дополнение к д, дд/д1 и дд/дз) и справедливость этой леммы следует непосредственно из определений (25.8.5) после выполнения дифференцирования и учета (25.8.3); члены, содержащие д'д/д1 дз, взаимно уничтожаются.) Йокяздтнльство. Йля того чтоаы проверн~ь (26.6.6) для заданных значений а= ее, 1=1е, запишем я(з, 1) в виде В (з„, 1е) п(з, 1); тогда и в р можно записать в виде и (з, 1) = я «дй/дз, р (з, 1) = р- «дй/д«.
Так как д(зе, ге)=1, то разложения координат д и и-«по степеням « — Зе=е, И 1 — 1е=11 НаЧниаштеа С ЛИНЕИНЫХ ЧЛЕИОВ (ПРЕДПОЛаГаЕтеа, Чта р (5=6): ае~ Ы (З, 1) «РГ (й (З, 1)) =Х«З«+»«1,+А«З;+ВГЗ«1«+6«1/ Р ..и (26 87) отсюда ее~ р«1«, 1) <р' (Л (з, 1) «) — )е«з«»йт — А'з« вЂ” Вгз«1« — О1«+ 1 +а)з(Х«««+р«1т) (Хзз«+рзг«)+..., (26.8.8) Гл. 25. Группы аун Поскольку а (з, 1) есть касательный вектор к крнной, полученной на е(з, 1)-т й (з', 1) путем варнацвн в' прн заданных з н 1 с последующим прнравннваннем з'=з, то (выполннв аналогичную операцию н для р) мы будем иметь аг(з, 1)=дюг (у (з, 1), х (з', 1))(д~ й Рг (з, 1) =для'(у (з, 1), х(з, 1'))/д(' 1~ подставив в этн выражения разложения (25.8.7), (25.8.8) н взяв соответствующне производные, мы получим (да0д1 — ф) дз)...
=а'. (пуйз — изр(), а это н есть искомый результат в силу определення (25.3.3), (25.3.4) пронэзедення Лн. 25.9. ЛЕММА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ЭКСПОНЕНТ Лемма. Если Х=Х(1) — гладкая кривая в Л, а Х' или )ь'(1) означает г(д(г(1 (которая также является кривой в Л), то е ь с(ел(г(1 =1 (Ас(д) )ь' (25 9 1) 7(г)=(1 — е з)(г=! — (1!2!)г+(1!3!)гэ —.... (25.9.2) Пояснение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
