Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Для того чтобы показать, что никаких дополнительных условий нет и, следовательно, все упомянутые выше алгебры в самом деле существуют, строятся модели этих алгебр. Модели регулярных серий суть алгебры мзтриц, которые будут определены ниже. Мы будем по-прежнему обозначать элементы алгебр символами А, и,..., несмотря на то, что для матриц могут казаться более подходящими другие символы. 1.
А состоит из всех комплексных матриц размера (т+1)х х (т+1) с нулевым следом; см. упражнения ниже. Для В и Р необходимо ввести аитидиагональную матрицу л размера рХр 2, В„состоит из всех комплексных матриц Л размера (2т+1)Х(2т+!), таких, что ).,l+Лг=О (р 2т-(-1). 3. Р„состоит из всех комплексных матриц ). размера 2тх2т, таких, что ).,/ +Л.г О (р 2т). Для С необходимо ввести антндиагональную матрицу размера 2тх2т 4. С„состоит из всех комплексных матриц )ч размера 2тх 2т, таких, что ).7'+3'кг=О, Следующие упражнения имеют отношение к серии А . Серии В, С„, Р„вполне аналогичны.
Более сложные модели исключительнйх алгебр приведены в книге Хаузнера и Шварца. У ПРАЖНЕНИ Я !. Пусть Л' — алгебра Ли комплексных матриц к размера (и+1) Х(яг+1) с произведением (Х, гг)=к!х — )хь, Вычислите естественную билинейную форму (Х, Гз) 1г(Ада Аб„), (Отметим, что Ада и Аби — линейные преобразования в некотором (гл+1)з-ыер.
аом пространстве а именно в Л'.) Покажите, что (х, гг) = 2 (( + О 1г (ли) — (и М (и рн. Покажите, что (к, Гх) выРоигдена в Лг по не выРождена в подалгебРе Л= Ам матриц о нулевым следом, так что А, является полупростой. 2. Обозначим через М коммутативную подалгебру алгебры Лн Л из упражнения 1, состоящую из диагональных матриц (с нулевым саедом).
Рао- Гж 25. Группы Ла 198 смотрите присоединенное представление подалгебры М на Л: )т — ° Аби, где (Абвь)гг=Оггг — р~,,)дгз (г, з=1, ..., л). Рассмотрите корни и корневые векторы этого представления. Покажите, что корневое пространство Л„состоящее из всех матриц Л, таких, что (Р,г — Рэг)аХгг=О дла некотоРого Ь и дла всех )ь из М, состоит также из диагональных матриц; следовательно, Ле=М, а значит, М есть подалгебра Картана.
Покажите, что другие корни и() и соответствующие корневые векторы Х„можно получить, выбрав фиксированные 1 и й и положив и()ь) =рм )гха йа =ь (1. Ь) где ь (1, Ь) есть матрица (й(1, Ь))ра =[2(гп+!Ц Ызбп.бело и что вектор )ьв есть диагональная матрица, элементы которой имеют вид Оха)п = 1/[2 (аз+ 1)) Ога)аа — 1/[2 (ю+ 1)[, Оь„)г„, =0 во всех остальных случаях. Покажите, что простое множество корней есть множество пг()ь)=)гг+т гет — рп, 1=1, ..., т. Покажите, что угол между )т„и )ь„равен 120', а во всех остальных слуаг ег+ чаях угол между векторами )ь„, и )х„равен 90', так что диаграмма Дывкина г г алгебры Л имеет тип Ам, т.
е. (.) — ( ) — ° ° — ( 2 (ж кружков> Классификациню и модели простых вещественных алгебр Ли, которые нужны для классификации групп Ли, читатель может найти в книге Хаузнера и Шварца. Напомним, что если Л вЂ” простая веществевная алгебра Ли, то ее комплексифнкацня Л является либо простой алгеброй, либо прямой суммой двух идентичных (т. е.
изоморфных) простых комплексных алгебр. Следовательно, для классификации простых вещественных алгебр нужно изучить наждую простую комплексную алгебру, а затем найти все простые вещественные алгебры, из которых ее можно получить путем комплексификации. Если задана простая комплексная алгебра Л, то возможный способ построения алгебры Л заключается в том, что Л рассматрнвается как линейное пространство элементов алгебры Л не над полем скаляров О, а над полем К, но этот способ не является единственно возможным. Другие возможности обнаруживаются при рассмотрении так называемых сопряжений в Л.
Сопряжение в комплексной алгебре Ли представляет собой антилинейное отображение С [т. е. С(а)ь+Ь)х)=аСь+ЬС)ь), которое сохраняет произведения Ли (т. е. С[к, П[=[СЛ, С)ь)), причем квадрат этого отображения совпадает с тождественным отображением [т. е. С(Сь) =Л), Множество всех элементов )ь из Л, таких, что Сь =л, с Й в качестве поля скаляров представляет собой простую вещественную алгебру Ли. Полный анализ сопряжений в простых комплексных алгебрах Ли, а также перечень получающихся простых вещественных алгебр приведены в книге Хаузнера н Шварца.
Если в качестве примера Л рассмотреть простую комплексную алгебру А,, состоящую из матриц размера 2 к 2 с нулевым следом, то имеется три соответствующие простые вещественные алгебры, а именно сама Аг (с Й в качестве поля скаляров), 25.!5. О применении групп /Уи и алеебр Ли е физике 199 алгебра /«Аг =(вещественные матрицы размера 2 ЗС 2 а нулевым следом) и алгебра г«А«= (ыатрипы размера 2 Х 2 вида !Н, где и зрмитова и имеет след, равный нулю). Отме«им, кстати, что некоторые из соответствующих ~руин Ли являются группами 5!. (2, С), .вр, 3/. (2, К), 3// (2) и ЗО(З].
Каждой простой комплексной алгебре А, о гп >! соответствуют 4+Кт+1)/2] простых вещественных алгебр, где ! 1 означает нелую часть. Исключительной алгебре Оз соответствуют три вещественных алгебрьн Ое (над й], НО'„з', НО',". 15.1а. О пРименении ГРупп ли и ллгевр ли в Физике В гл. 22 была обсуждена роль группы вращений Ю(3) как группы симметрии в квантовой механике. В расчетах обычно появляется соответствующая алгебра Ли, а не сама группа.
Алгебру Ли группы Ю(3), которая, конечно, совпадает с алгеброй Ли группы 3(/ (2), являющейся универсальной накрыва!ощей группой группы Ю(3), можно реализовать либо как алгебру Ли вещественных кососимметричных матриц размера ЗхЗ, либо как алгебру Ли косоэрмитовых матриц размера 2х2 с нулевым следом (в предыдущем параграфе эта алгебра была обозначена через ЯА,). Кроме того, эту алгебру можно реализовать как алгебру Ли операторов в гильбертовом пространстве Н состояний некоторой физической системы. Если Н рассматривать как пространство /.з(](е) волновых функций тр(х) нерелятивистской частицы с нулевым спином, то отображения йг! ф(х) ф(д 'х) ~ЕЕЮ(З)1 образуют представление группы Ю(3) на Н, как в 9 20,9. Так называемые инфинитезимальные операторы этого представления, рассматривавшиеся в 9 20.9, имеют вид /.
=х'д/дх" — х"д/дх' (//г! 123, 231, 312). Самосопряженные операторы (гз/. соответствуют составляющим момента импульса частицы. Линейные комбинации операторов (, с вещественными коэффициентами дают некоторую реализацию алгебры Ли Л группы 30 (3). В физике элементарных частиц подходящие группы симметрии часто неизвестны из-за отсутствия полной теории элементарных частиц, но иногда находятся различные алгебры Ли А, играющие определенную роль на эмпирической основе.
Может возникнуть путаница нз-за того, что слово «группа» часто используется для обозначения алгебры Ли. В частности, быва!от ссылки на «группу 6«», Согласно 9 25.16, 6, является алгеброй Ли, а точнее комплексной алгеброй Ли. Группа, фигурирующая Гл. хб. Гррллоо хти йоо Приложение и главе ЪЪ. ДВЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ ЛИ В данном приложении мы приведем два примера групп Ли, которые не являются линейными, т, е. не имеют точных консчномерных представлений, а значит, не могут быть реализованы как группы матриц.
Для первого примера возьмем в качестве С так называемую гррллр Гей- аенберго С= О ! р: хуари Обозначив введенные матрицы через д х, путем непосредственаых вычисленкй мы получим, что -1 йх, о, о -1 но, р, о -1 Ех,о,о Ео,р,о Ех,о,о =л-х,о, о (25.А.)) =хо -р,о -1 йо, р, о =Ее, о, хр. Отсюда следует, что если р — любое прсдстанление группы С, то р(йо о х) представляет собой унимодулярную метрицу для любого а, поскольку бе( ф (яо, о, «р)) РаВен ба( Р (Ех. о. о) бс( Р (Ло, и, о) бЕГ Р (Хх, „, о) ' ба( Р (а,, р, о) Ь = ).
в физической теории, представляет собой, видимо, группу, алгебра Ли которой является одной из трех вещественных алгебр Ли, которые упомянуты в предыдущем параграфе и комплексификация которых дает алгебру 6,. Как же в таком случае выделить единственную группу? Самый простой и естественный способ состоит в учете следующего обстоятельства; только одна из вещественных алгебр Л, комплексифнкация которых приводит к данной алгебре Л, является алгеброй Ли компактной группы (или, возможно, нескольких компактных групп), а из всех групп Ли 6, имеющих данную вещественную алгебру Л, только одна является односвязной. Следовательно, в частности, существует единственная компактная односвязная группа Ли, соответствующая алгебре 6,.
Но поскольку многие из групп симметрии в физике не являются ни компактными, ни одно- связными, разрешение вопроса об идентификации группы, которую следует ассоциировать с заданной алгеброй Ли в физике частиц, требует, по-видимому, дальнейшего развития теории. Алгебра 6, использовалась также при изучении атомов с частично заполненными )-оболочками; см.
Рака Н951). В этом случае теория столь полна, что существует совершенно определенная соответствующая алгебре 6, группа, которая, согласно Рака (см. также статью Берендса, Дрейтлейна, Фронсдейла и Ли [19621), является подгруппой группы 50(7). 201 Нрялож.
к гл. 25. Даа нелинейные группы Ли Допустим теперь, что Ое — нормальная подгруппа группы 6: ! 0 л о,-(~~о о): Будет показано, что любое конечномерное представление факторгруппы О/Ое не является точным; следовательно, О/Ое не может быть линейной группой. Пусть лх, э ю 0 ~ а < 1, обозначает элемент группы 6/Оа (смежный класса 6), который содержит л„э . Иначе говоря, ях в а есть бесконечное множество матриц размера 3 Х 3, а йменно матриц (,! и х+лт, !00 1 Нетрудно видеть, что по аналогии с (25.А.1) --1 --1 их, о, е не, а, о кк, а, е йе, а, о = ьо, е, а где и — «у (шоб 1). Отсюда, как и выше, для любого представления р группы О/Ое де1р (я) =1, если я принадлежит подгруппе Н=(аы ш .'0 ах < 1) < О/6 Но Н изоморфна группе 50 (2), когда 2пх играет роль угла 0; следовательно, Н является компактной и абелевой группой.
Согласно общей теории представлений, рассмотренной в й 21.! — 21,4, любое представление компактной группы эквивалентно унитарному представлению, а любое унитарное представление абелевой группы вполне приводимо к пряьюй сумме одномерных представлений, Следовательно, если р †люб т-мерное представление факторгруппы 6/Ое, то относительно подходящего базиса в пространстве рм представление р подгруппы Н ни 50 (2) имеет диагональный вид: еэиш а (0) Р(йе, а,а) = (0) зал!ляг Каждое из одномерных представлений, задаваемых диагональными элементами втой матрицы, имеет детерминант, равный 1 для всех я из Н; поэтому все целые числа п~, ..., гг равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
