Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Следовательно, если некоторая точка на плоскости $, Ч совершает один оборот по часовой стрелке вокруг начала координат Е=Ч=О, то !) увеличивается на 2п, а се — только на п, т. е. направления нулевых геодезических изменяются на противоположные. Ясно, что сингулярности типа сингулярности в точке $=Ч=О на многообразии К' физически неприемлемы; вообще максимальное расширение заданного многообразия Эйнштейна не имеет физического смысла, если оно не является геодезически полным. Природа сингулярности в точке $=Ч=О исследуется далее в упражнениях. 28.8.
Многообразия Кгрра УПРА)кнення !. Пусть М вЂ” двумерное многообразие, состоящее из одной карты, метрика на которой задана формулой 8И = К (пйз — и»!')+20 банч)Ю+ч') (28.7.4) на области координатного пространства й! = Фм. '— «» ( 5 ( го, (за исключением с=и=О). — »а ( т) ( а» Покажите, что М вЂ” плоское многообразие (т, е. что )!арта иа О) с нулевой сигнатурой и, следовательно, локально минковсксе. Покажите также, что в Месть обращение времени. 2. Найдите геодезические на многообразии М нз предыдущего упражне.
ния. Покажите, что когда геодезическая й идет к а» на плоскости с, т), натуральный параметр А на и" стремится к ж»ь, в то время как при приближении точки геодезической к началу координат 7» стремится к конечному значению. Геодезические, для ноторых имеет место последний случай, †э лучи 5=»соь и, »!= гэга а, а — постоянная, а г ) О. Указание.
Эти упражнения становятся тривиальными, если перейти к но. вым переменным х, б таким, что С=х» — Г», т)=2х(. (28.7.5) Эти координаты можно описать также преобразованием 5+(Ч=(х+П)», откуда ясно, что г(Р=Пхз — дн. Преобразование $, Ч вЂ” х, !двузначна, однако его можно сделать однозначным в любой односвязной части области А»,„ 3. Преобразование (28.7.5) х, г с, т! превращает проколотую (х, г). плоскость в двулистное накрывающее многообразие многообразия М. Рассмотрите другие накрывающие М многообразия и покажите, что двулнстными являются только те из них, которые имеют геодезически полное расшире.
ние (получаемое возвращением выколотой точки в начале координат (х, Г). плоскости). 4, Используя аналогичное преобразование и, о в 5, гь задаваемое фор. мулой $+)Ч=(и+го)», покажите, что многообразие Крускала К, из которого удалена точка и =а=О, образует двулистное накрывающее многосбразие многообразия К', определенного в начале данного параграфа. Покажите, что наиболее общее накрывающее К' многообразие содержит и копий карты ! Шварцшильда и и копий карты П Шварцшильда, где и — положительное целое число или с». Покажите, чта эта двулистное накрытие является единственным, которое имеет геодеанчески полное расширение (получаемое возвращением назад точки и=а=О). Поскольку праенция К на К' сохраняет метрику, очевидно, что все инварианты кривизны в К' имеют конечные пределы при приближении к особой точке с=О=О.
28.8. МНОГООБРАЗИЯ КЕРРА Осесимметричное решение уравнения поля й»в,=О в пустом пространстве было получено Керром 1!953!; это решение можно интерпретировать, по крайней мере, во внешней области, как решение для поля вокруг вращающейся звезды. Эта метрика асимптотически минковская на больших расстояниях г, как и в решении Шварцшильда. На больших, но все-таки конечных расстояниях метрика содержит член, представляк»щий ньютоновский потенциал 27б Ге. 78. Расширение многообразий Эйнштейна — 6М/г, как и в решении Шварцшильда (М вЂ” масса звезды), а также член а/ге с угловым сомножителем (а — момент импульса звезды).
(Замечание. Это чисто релятивистский эффект, он возникает вследствие наличия плотности импульса ро материи в определенных компонентах тензора энергии-импульса Та, правой части уравнения (28.2.6). Классическое уравнение Пуассона таких эффектов не порождает; согласно классической теории, вращение воздействует на гравитационное поле когсенно за счет сплющенности вращающейся звезды, однако это воздействие изменяется как 1/г".] Сейчас мы рассмотрим это решение, не выясняя его происхождение и не обосновывая его.
Для описания многообразия Керра используются координаты й х, д, г. (Предупреждаем читателя, что здесь, как и в других аналогичных случаях, эти координаты произвольны и, скажем. х, д и г не следует интерпретировать как декартовы координаты, а ( — как время.) Выберем такие единицы измерения, чтобы 2М, сс и с были равны 1 (в этом случае единицей длины служит радиус Шварцшильда 2М6/се); тогда метрическая форма имеет вил Р нхе = ах'+ дд'+ с(ге+ е Р,, (на с(хи)е — с((е, (28.8.1) /ге йх" = — ' с(г+,о,(хс/х+дс(д'+ е~ е (хс(д — дс(х) — с/с (2882) и р=р(х, д, г) — функция, неявно определенная уравнением (Хе ! де)/(ре („ае) 1-ге/ре ! (28.8.3) Ось вращения совпадает с осью г; а — постоянная, равная удвоенному отношению момента импульса к массе (в принятых единицах измерения).
Для быстро вращающихся звезд а~) 1, а для медленно вращающихся звезд а может быть величиной порядка 1 или даже меньше. Этому решению могут соответствовать различные карты. Окружность х'+д'=а', г=О является особой: на ней /с„о „/санто оо. Она соответствует сингулярности при г=О в решеййи Крускала, и действительно эта окружность стягивается к началу координат при а О. Уравнение (28.8.3) имеет два корня р(х, д, г) противополож- НОГО ЗНаКа В КажДОй ТОЧКЕ Х, д, г, За ИСКЛЮЧЕНИЕМ КРУГа ХеЛГ + де< а', г=О, где р=О При прохождении точки х, д, г через этот круг необходимо перейти от одного решения к другому так, чтобы сохранить непрерывность производных от да, Это достигается введением следующих карт М„..., М,. Йа каждой из них с(зе выражается формулой (28,8.1), но в каждом случае знак р(х, д, г) определяется особо.
Для М, д/=(все х, д, г, () — (х'+д'(а', г=О), р(х, д, г))О. (28.8,4) 28.8, Мновооброоол Керри 277 Выражение для д( означает, что й( совпадает со всем пространством Р«, из которого исключен замкнутый центральный круг. По аналогии с теорией функций этот круг называется разрезом '). Для М, Ф то же, что для М„р(х, у, г) <О.
(28.8.5) Две следующие карты связывают М, и М, через вырезанный круг. Координатная область Ф для иих могла бы быть любой односвязиой областью, содержащей открытый круг (конечно, обязательно не содержащей граничную окружность). Ее можно было бы взять в виде тонкой пластинки, но простоты ради мы возьмем в качестве )и' все пространство ес«, в котором сделан разрез по внешней части указанного открытого круга в плоскости х, у. Для М, Л'=(все х, у„г, 7) — (х'+у»)а', г=О), з(цп р (х, у, г) = з! яп г.
(28.8.6) Для М, Ф то же, что и для М", з!яп р (х, у, г) = — 51яп г. (28.8.7) Карта М, согласуется с М, при г)0 и с М, при г< 0, в то время как М, согласуется с М, при г < 0 и с М, при г > О. Двусвязное многообразие М, можно теперь построить при помощи отображений М| а)О) ы о) М, дг«« ы«о) дгг (28. 8,8) где каждое отображение на диаграмме совпадает с тождественным отображением х х, у — у, г г ') В оригинале Ьгап«Ь сщ.— Поии.
перев. в соответствующем полупростраистве (г)0 или г(0). В этом многообразии любая точка может быть возвращена в исходное положение после двукратного «навинчивания» на окружность х'+у'=а', г=О. Данное многообразие М содержит две асимптотически плоские области, распространяющиеся на бесконечность: для обеих ~р~>) ))щах (1, а); для одной р)0, а для другой р(0. Первая из них представляет (на болыпих расстояниях) гравитационное поле некоторой положительной массы (равной у» в принятой системе Гл. лз. Расширение многообразий Эйниинейна единиц), а вторая — поле отрицательной массы (равной — )е).
Обе эти области соединяются центральным кругом. Рассмотрение геодезических показывает, что многообразие М, геодезически полно прн (а!)Уе, но не полно при (а1< )ге. Расширение этого многообразия до большего и геодезически полного многообразия при |а(()ег осуществлено Бойером и Линдквнстом (1967!.
Получающееся многообразие довольно сложное, и мы предлагаем читателю ознакомиться с его описанием по указанной работе, а здесь ограничимся аналогией между описанным выше многообразнем М, и картами Финкельштейна. Для исследования метрики на больших расстояниях (при больших р) удобно ввести сферические координаты г, 6, р, записывая г =г созй и т. д. и, как обычно, напоминая, что необязательно интерпретировать г как радиальную координату. Для больших положительных р (28,8.3) показывает, что р = г. Далее, из выражения (28.8.2) следует, что нидхи ж с(г — Ж, а из (28.8.1) в приближении р ж г следует, что дзе = (1-)- 1(г) дге+. ге (с(9е+ з)пе 0 е(сре) — (1 — 1(г) д(е — (2) г) е(г й, а это и есть метрика (28.4,2) карты ! Финкельштейна.
Иначе говоря, в пределе а=О форма (28.8.1) дает в точности карту 1 Финкельштейна; следовательно, для малых а следует ожидать, что эту карту нужно будет дополнить другой ее копией и двумя копиями некоторой карты, которая при а=О сводится к карте !1 Финкельштейна, причем объединение этих карт выполняется так же, как объединение карт Финкельштейна в случае многообразия Крускала. Указанные карты получаются путем изменения знака с(( в формуле (28.8.2) для величины й„дхи. В силу этого имеются два варианта многообразия М„полученных по схеме (28.8.8) в соответствии со знаком д( в (28.8.2); обозначим их через М, н М;; оба они содержатся в геодезически полном многообразии, которое построили Бойер и Линдквнст.
харь 3АдАчА кОши Задача Коши для уравнений Эйнштейна в пустом пространстве имеет одно общее с задачей Коши для уравнений Максвелла свойство. Напомним, что два уравнения Максвелла, а именно (28 9.1) 7 Е=О, Ч Н=О, можно рассматривать как чисто начальное условие; если этн условия выполняются при (=О, то из остальных уравнений дЕ(д1 = — с7х Н, дН(д( =с7 х Е (28.9.2) хд.з.
Задача Коши (этих уравнений будет шесть, если расписать их покомпонентно) следует, что дивергентные условия (28.9.1) автоматически выполняются и для всех (~0. Следовательно, полная система восьми уравнений оказывается избыточной, так что в качестве эволюционных уравнений нужно рассматривать только шесть уравнений (28.9.2) с шестью неизвестными.
Уравнения поля Эйнштейна йв,=О (28.9. 3) обладают похожими свойствами, только с несколько другим результатом. Во-первых, поскольку теизоры дз и )сз симметричны, мы можем брать в качестве искомых функций только яз с ()(у, а поэтому и уравнения (28.9.3) нужны только с 1) «:у. Это составляет десять уравнений с десятью неизвестными. Мы убедимся в том, что четыре из этих уравнений представляют собой просто начальные условия и если они выполняются при (=х" =О, то автоматически выполняются и при () О.
В силу этого имеется только шесть независимых уравнений, описывающих эволюцию десяти искомых функций; решение оказывается недоопределениым и содержит четыре произвольные функции. Это в точности то, что и должно быть. Действительно, задача с начальными данными, собственно говоря, предназначена для определения геометрии простраиства-времени для х4 ) 0 или хотя бы для х4 ~ (О, Т); однако геометрия ие определяет функции ди, однозначно, допуская возможность замены координат. Любое решение задачи с начальными данными может быть изменено путем произвольного преобразования координат в области х4 ) О, оставляющего без изменения начальные данные на начальной поверхности х" =0 Так как дифференциальные уравнения (28.9.3) имеют второй порядок, начальными данными служат значения функций ди„дди,!дх' (для всех х', х', х' при х'=0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
