Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Обычно предполагается, что Й изменяется за счет изменения о, при неизменных ч и размерах. Однако гидродинамииескне уравнения инвариантны относительно изменений масштабов длины и скорости (сохраняющих все отношения соответствующих длин и скоростей) и относительно замены одной жидкости другой, если прп этом не изменяется значение Р. Задача Тейлора о течении между вращающимися концентрическими цилиндрами (иногда называемая круговой задачей Куэтта) и задача Бенара о конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, представляют собой наиболее изученные в настоящее время примеры возникновения турбулентности. 29.2. ПРИМЕРЫ БИФУРКАЦИЙ В ГИДРОДИНАМИКЕ Сначала рассмотрим частный случай задачи Тейлора о течении между концентрическими вращающимися цилиндрами, когда внешний цилиндр покоится.
При медленном вращении внутреннего цилиндра течение будет ламинарным; у скорости жидкости отлична от нуля только компонента по 9 (», 0 и г — цилиндрические координаты), которая зависит только от», По достижении определенной критической скорости вращения это так называемое течение Куэтта становится неустойчивым и на него накладывается возмущение, состоящее из равномерно распределенных по пространству кольцевых вихрей, как показано на рис. 29.1.
Если А обозначает некоторую меру интенсивности вихрей, скажем максимум компоненты скорости возмущения по» или по з, го А зависит от угловой Ж2. Примврм бифуркаций в гидрвдииом кг 2а5 Рис. 29Л. Вихри Тейлора. а о Рис. 29.2. Бифуркации а задаче Тейлора. фиксированной точке пространства скорость жидкости будет теперь периодической функцией времени. Если А, обозначает амплитуду волн, то А, зависит от зг так, как зто показано на рис. 29.2, б. скорости Й внутреннего цилиндра так, как это схематически изображено на рис. 29.2, а, Два возможных знака А при заданном значении Й соответствуют двум возможным направлениям вращения вихря, которые одинаково вероятны и определяются начальными условиями (соседние вихри вращаются в противоположных направлениях).
Если зг лишь немного превосходит критическую скорость згь то величина 1А ~ приблизительно пропорциональна р' Р— зг,. Появление нового течения при Й=з2, называется бифуркацией. В только что описанном случае это бифуркация к другому стационарно- ~~ гуу му течению: в фиксированной точке пространства скорость жидкости не зависит от времени, а кольцевые вихри являются устойчивыми и сохраняются до тех пор, пока внутренний цилиндр не перестанет вращаться.
Когда будет превышено второе критическое,-"'=====4-. значение угловой скорости зг„кольцевые вихри станут неустойчивыми и произойдет вторая бифуркация к волнистым вихрям, схематически изображенным на рис. 29.3. Эти волнистые вихри вращаются вокруг общей оси цилиндров примерно со средней угловой скоростью жидкости в течении Кузтта. Следовательно, в 286 ГА 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости Возможно, более известным примером является бнфуркация в течении за круговым цилиндром. При небольшой скорости набегания жидкости на цилиндр течение за ним будет ламинарным, но после превышения ею некоторого критического значения оно станет неустойчивым и перейдет в так называемую вихревую дорожку Кармана, в которой вихри образуются попеременно на двух сторонах цилиндра (их оси параллельны цилиндру), а затем движутся вниз по потоку со скоростью, примерно вдвое меньшей скорости окружающей жидкости.
В этом случае после первой бифуркации течение будет периодическим. ЗЕ.З. УРАВНЕНИЯ НАВЬŠ— СТОКСА Уравнения Навье †Сток, записанные через переменные поля скоростей жидкости п(х, () 1хис 29 3 вазаис и полЯ ее давлений Р (х, 1) имеют вид тмиа ииху" и ззд'"' дн/д(+(н Ч) и+Чр — т Ч'и О, (29.3.1) Ч и =О. (29.3.2) Они должны выполняться в некоторой области Я физического пространства вместе с граничным условием и задано на дЯ (29.3.3) и надлежащим начальным условием, Здесь плотность принята равной единице за счет выбора системы единиц измерения. Пусть п(х), р(х) — некоторое стационарное решение этих уравнений, соответствующее, например, течению Куэтта в задаче Тейлора.
Для изучения влияния возмущений (конечных или инфинитезимальных) на это решение удобно представить полные поля в виде п(х)+п(х, г), р(х)+р(х, г)„ где и и р обозначают теперь отклонения от выбранного стапионарного решению Эти отклонения удовлетворяют системе уравнений дп/дС+(й Ч)н+(н Ч)й+(и Ч) н+Чр — иЧ п=О, (29 3 4) Ч н=О, (29,3.5) н=О на дЯ, (29.3. 6) которая не является результатом линеаризации исходной задачи (она нелинейна).
Теперь известная функция п(х) входит в коэффициенты членов, линейных по и. 2У.Б. Задача с начальными данными. Повупоочок в Н 287 29.4. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Каждой задаче о гидродинамической устойчивости соответствует некоторая эволюционная задача в банаховом (практически в гнльбертовом) пространстве Н, определяемая эволюционным уравнением с(и)с11 =! и+В(и, и), и=и (1) Е Н, (~)0, (29,4,1) и начальным условием и(0)=н, (заданная функция).
(29.4.2) Для каждого Т элемент и(() является точкой пространства Н и описывает мгновенное состояние системы, т. е. поле скоростей н (х) и поле давлений р(х) в физическом пространстве;  — линейный оператор. Уравнение Навье — Стокса, взятое в форме (29.4.1), содержит нелинейные квадратичные члены, совокупность которых обозначена через В(и, и), где В(, ) — билинейная функция с надлежащей областью определения в пространстве НхН.
Иногда вместо В(и, н) мы будем писать (')(н). В ряде случаев удобно рассматривать более общее уравнение М с(и)с((= Во+В(и, и), (29.4.3) где М вЂ” другой линейный оператор. Если М допускает обращение, то это уравнение может быть сведено к (29.4.1). Но нередко эволюционный процесс охватывает не все пространство Н, а лишь некоторое его подпространство Н,.
Тогда й4 допускает обращение на этом подпространстве, а не на всем пространстве Н, и к тому же оператор М ' может оказаться достаточно сложным с вычислительной точки зрения. Поэтому уравнение (29.4.3) часто оказывается полезным. В следующей главе рассматривается гильбертово пространство специального вида, удобное для решения задачи Тейлора. 2Р.Б ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ. ПОЛУПОТОК В И Основными членами в уравнении Навье — Стокса (29.3.1) явля.
ются первый и последний члены в левой части — они делают его сходным с уравнением диффузии. Задача, определяемая соответствующим уравнением диффузии с подходящими граничными условиями, имеет единственное решение для начальных элементов и из некоторого плотного в Н множества, и это решение непрерывно зависит от начального и. благодаря этой непрерывной зависимости можно определить обобщенные решения для любых начальных элементов и, и они также будут непрерывно зависеть от начального п (см. книгу Рихтмайера и Мортона (1967]). В общем случае решение не может быть продолжено назад, в сторону от- 288 Гл. 29.
Бифуркации в вадачах гидродинамической устойчивости рпцательных й хотя иногда это возможно; в частности, это возможно для решений, являющихся собственными колебаниями. Полное нелинейное уравнение Навье — Стокса обладает аналогичными общими качественными свойствами (см.
работы Ладыженской !1970, !975! и книгу' Марсдена и Мак-Кракена (1976, гл. 9!), однако доказательства в этом случае усложняются, а теория выглядит менее полной. Будем предполагать, что каждое из уравнений (29.4.1), (29.4.3) имеет в Н единственное решение и(!) при ! ) 0 для произвольного и(0) Е Н. Для заданного начального и обозначим это решение через гр(и, (), т. е. положим и (! ! = ц~ (и (О), (). (29.5. 1) При фиксированном и функция ср(и, !) (() 0) называется движением в Н; при фиксированном () 0 соответствие и — су(и, () является отображением в Н, и мы будем счичать его непрерывным; при 1=0 оно совпадает с тождественным отображением, поскольку сг !и, 0)=и. Функция ср(, .) называется полупотоко,я в Н. Хотя движения в общем случае не могут быть непрерывно продолжены назад по времени, такое продолжение, если оно су.
ществует, определяется однозначно. Иначе говоря, два различных движения за конечное время никогда не могут слиться и стать далее неразличимыми. 29.6. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Возьмем в качестве линеаризации (29.4,1) уравнение с(и(с(( = !.и (29.6.1) и будем искать решения этого уравнения в виде и ((1= фечс. (29.6.2) Это означает, что нужно найти собственные функции ф и собственные значения г, оператора Ь, т. е, решить уравнение Ьф=йф (29.6. 3) при условии, конечно, чтофчи0.
(Если исходить из (29.4.3), то нужно решать уравнение Ьчр=)Мф.! В гидродинамических задачах оператор Ь не является само- сопряженным, и поэтому мы не можем применить обычную спектральную теорию. Тем не менее в большинстве случаев Ь имеет чисто точечный спектр, состоящий из счетного числа собственных значений, так что Ьф,=),,ф (! 1, 2...,). (29.6.4) »Р.б. Собственные колебания Обсуждение вопроса о полноте системы (ф») собственных функций для определенных гидродинамических задач можно найти в статье Ди Примы и Хабетлера П9691, которые использовали для этого теорему Наймарка об операторах в гильбертовом пространстве.
Более общий подход излагается у Сэттинджера !19701, применившего теорему Карлемана. Полнота понимается в том смысле, что конечные линейные комбинации функций ф» плотны в »т. При этом имеется в виду, что рассматриваются не только собственные, но и обобсценные собственные функции (если они существуют), т. е. такие векторы ф, для которых (й — Л7)" ч =0, (й — Л7) ф~о. (29.6.6) (При Й=О ф — обычная собственная функция.) В гидродинамике всегда предполагается, что для задач на собственные значения существуют лишь обычные собственные функции. 1!о аналогии с конечномерным случаем кажется вероятным, что существование обобщенных собственных функций не является типичным свойством течений жидкости (см. приложение к гл.
31). Матрицу А размера и »си можно рассматривать как точку пространства (», имеющего размерность л'. Для существования у матрицы А обобщенного собственного вектора необходимо, чтобы ее характеристическое уравнение нес р(Л; А) с(е1(А — ЛИ=О (29.6.6) имело кратный корень, т. е. такой корень, который одновременно удовлетворял бы уравнению с(р (Л; А)ус(Л О.
(29.6.7) Исключив Л из (29.6.6) и (29.6.7), можно получить алгебраическое уравнение, которому должна удовлетворять матрица А; следовательно, только матрицы А, принадлежащие некоторой поверхности в пространстве )», т. е. некоторому множеству меры нултч могут иметь обобщенные собственные векторы. Мы будем предполагать, что оператор Е имеет только обычные собственные функции, Между прочим, для задач, решаемых численно в гильбертовом пространстве, нетрудно проверить возможность существования обобщенных собственных функций. Если решено уравнение а затем для какого-либо из найденных Л получены решения сопряженного уравнения (.еу =Л)( и при этом оказалось, что (т, ф) ~0, то не существует обобщенных собственных векторов, соответствующих этому собственному значению Л').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
