Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Вероятно, методы такого рода будут необходимы для детального понимания процесса возникновения турбулентности. ЗВЛ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ЗАДАЧЕ ТЕЯЛОРА, пОлученных и ТФбз г. Пусть г, и г, — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров (предполагаемых бесконечно длинными), ограничивающих течение, а (2, и а)в — угловые скорости цилиндров. Для невозмущенного течения угловая скорость на радиусе г(гт(г~гз) равна (в (и) А + В/га, где А и В определяются нз условия прилипания на стенках, а именно !1, = А + В/ге и !вз = А -1- В(г,'.
Эту задачу можно оха рактеризовать различными безразмерными параметрами, например параметром гт(г, (который фиксирован для данной физической установки), и двумя числами Рейнольдса 71, =()тгг/т, Яз = Изгадит. (30.1.2) Устойчивость основного ламинарного течения Кузтта, заданного в виде (30.!.1), по отношению к малым осесимметричным возмущениям изучалась Тейлором [19231 как теоретически, так и зкспери- ЗОЛ.
Обвар реарльтатоа ао ааоача Тейлора ментально. Он установил устойчивость для значений величин К, и гг„соответствующих точкам, лежащим ниже сплошной кривой на рис. 30.1, для случая г,/ге=0.880. Еще ранее при помощи простых соображений Репей показал, что течение будет устойчивым при 0 =Я,~й,, т.
е. для случая, когда точка Я„ )са) находится справа от штриховой прямой на рисунке. Рис. ЗО.!. Схематическая диаграмма гайдаровской устойчивости. Вычисления Тейлора показывают, что, как только гсо возрастая, превысит при фиксированном Й, свое критическое значение (т. е. значение на кривой), основное течение становится неустойчивым относительно собственного колебания, поле скоростей которого в цилиндрических координатах г, 0, г имеет вид ц и,'е (1 (г) игал) (30.!.3) Структура этого возмущения представляет собой ряд кольцевых вихрей, равномерно расположенных вдоль оси г, как схематически показано на рис, 29.1 в предыдущей главе. Тейлор установил, что экспериментально наблюдаемые вихри (которые можно сделать видимыми прн помощи взвешенных частиц) в жидкости качественно согласуются с вычислениями; в частности, их осевое разделение согласуется со значением а из (30.1.3), для которого возмущение впервые становится неустойчивым (т.
е. возмущение устойчиво при меньших значениях Я,). При )х„ ненамного превосходящем свое критическое значение, вихри (называемые теперь вихрями Тейлора) будут устойчивыми; вместе с основным течением, на которое они накладываются, они образуют новое стационарное течение (в каждой точке пространства вектор скорости жидкости не зависит от времени), которое будет существовать до тех пор, пока цилиндры не перестанут вращаться. ззз Тл. дд.
Ияварааяоояле лвяогоодроеия в вадаве Тейлора Тейлор наблюдал экспериментально, что при достижении параметром Й, следующего критического значения вихри становятся волнистыми и вращаются вокруг оси со скоростью, примерно равной средней угловой скорости (!в,+Й,)!2. Анализ Тейлора, будучи линейным, годится лишь для исследования течения только до достижения параметром )(, первого критического значения и непосредственно после этого; он не позволяет судить об устойчивости или неустойчивости вихрей Тейлора, а лишь фиксирует факт их возникновения.
Очевидно, для интервала значений )сь при которых экспериментально наблюдаются вихри Тейлора, экспоненцнальный рост собственного колебания (30.1.3) благодаря влиянию нелинейностей происходит лишь до некоторой конечной амплитуды. Последующие более тонкие теоретические и экспериментальные исследования в общем подтвердили результаты Тейлора. Однако Тейлор рассматривал только осесимметричные возмущения, а Крюгер, Гросс и Ди Прима [1966) показали, что в случае противоположно вращающихся цилиндров прн достаточно больших по модулю значениях отношения !ввЯ, (выходящих за ту область, которая экспериментально изучалась Тейлором) собственное колебание, которое первым становится неустойчивым, не является осесиммет.
ричным, а зависит от угла по закону е' 'з, где т, возрастая, принимает значения 1, 2, 3, ... по мере роста по модулю отношения Р.,7Р,. Следовательно, левая часть кривой на рис. 30.1 должна быть опущена вниз, но весьма незначительно, так как устойчивость собственного колебания в случае сравнительно близко расположенных цилиндров (г,lг,=0,880), изучавшемся Тейлором, очень слабо зависит от гп. Эти предварительные выводы были экспериментально подтверждены Снайдером 119701, который показал также, что если возникают неосесимметричные собственные колебания, то онн являются винтовыми.
(В рамках линейной теории нельзя отличить винтовые вихри от волнистых кольцевых вихрей: все четыре собственных колебания, содержащие еа'"'еь' о, одинаково возможны и при своем объединении дают вещественную зависимость либо вида,вя',мг "" гиО, либо вида,",в(сва ~гпй), и только нелинейная теория позволяет сказать, какая из этих возможностей реализуется. За последние десятилетия при помощи нелинейной теории, разрабатывавшейся Дэви 11962), Дэви, Ди Примой и Стюартом 11968) и Иглзом (1971), удалось понять структуру и устойчивость вихрей Тейлора с конечной амплитудой, вторую бифуркацию к волнистым вихрям и структуру н устойчивость волнистых вихрей, как это будет описано ниже. Для задач, подобных этой, когда имеется последовательность бифуркаций, теория представляет собой идеальное чередование 80.е. Построение инвариантньи многооораэил 307 линейного и нелинейного анализа.
После каждой бифуркации структура и амплитуда нового течения находятся с помощью нелинейного анализа. Затем его устойчивость исследуется путем линеаризации уравнений в окрестности этого нового течения и изучения роста инфинитезимальных возмущений, чтобы найти следующую бифуркацию, и т. д. Заде ПОстРОение инвАРиАнтных мнОГООБРАзиЙ (Хп Мфн) =б~н.
(30.2,3) Пусть неустойчивое многообразие М является К-мерным, и пусть координаты точки и Е М, как и в 9 29.7, получаются путем проектирования на М„ а именно хе=*()(н, Ми) (э'.=1, ..., К). (30.2.4) Поэтому для ис М к и = Х хнэрн+ и', 4=1 (30.2.5) где вектор и' ортогонален )(„..., Х„, т. е, ()(нр Ми')=0 (А=1, 2, ..., К). (30.2.6) Нам нужно найти функцию и(х,...., хн), или, для краткости, и(х), со значениями в Н, которая дает точку из М с координатами х„..., хк хотя бы в некоторой окрестности нуля. Предположим, что эта функция является аналитической и, следовательно, может быть представлена в виде степенного ряда: и(х) = 2' хаич, (ч в.й) (30.2.7) В этом параграфе мы опишем в общих чертах метод построения неустойчивого многообразия, разработанный упомянутыми выше авто.
рами на основе более ранней работы Стюарта и Ватсона. Возьмем эволюционное уравнение в виде (29.4.3); тогда собственные значения и собственные функции линеаризованной задачи будут удовлетворять уравнениям Л,Мф,=-г.,р, ()=1, 2, ...), (30.2.1) Как и в 3 29.6, будем считать, что система функций эР полна в Н, а сопряженные функции, удовлетворяющие уравненйям ЛМ'ХГ=(.')(Г ()=1, 2, ...), (30.2.2) образуют по отношению к ф биортогональную систему в том смысле, что Г ь од. Иыварыанн(ныа многообразна в выдано Тейлора где х и (1 суть К-мерные векторы и суммирование проводится по множеству .У = ((1: каждое (1( — неотрицательное целое н хотя бы одно (), > О), (30.2.8) хо — сокращенное обозначение произведения хо)оаон...хк, а кажок дый коэффициент и является элементом из Н.
Согласно (30.2.5) и (30.2,6), коэффициенты и линейных членов в (30.2.7) — это первые К собственных функций ф„ тогда как остальные и ортогональны )(„..., у в смысле (30.2,6). Эти последние ич не являются собственными функциями, а удовлетворяют некоторым неоднородным уравнениям, которые будут приведены ниже; поэтому (30.2.7) не будет разложением по собственным функциям. Предположим, что функции из (29.7,4), описывающие дина. мическую систему в Я, также аналнтичны и могут быть разложены в степенные ряды по хг, ..., хк, так что х/ — — Х а(,х" (/=1, ..., К), (ро.н) следовательно, к й Х Х ()/а(рхр" а '/иа (Р, ов в)у=( к Х х* Х Х (1/а/р+в чин, (рв.я) (= ( (о) / (30,2,1 1) где через Х' обозначена сумма по всем таким и Е Я, для которых з+е — (1 также принадлежит .У (при заданном з она содержит лйшь конечное число слагаемых).
Для векторов из множества Я удобно ввести норму, положив где а;,— скалярные коэффициенты. Из (30.2.7) и (30.2.9), используя правило дифференцирования сложной функции, найдем и=((и/(((, а затем подставим и и и в эволюционное уравнение (29.4.3) и будем рассматривать этот результат как тождество по х,, ..., х„, Этого достаточно для определения коэффициентов и и а;, Чтобы найти и из (30.2.7), нужно продифференцнровать хо по х/ для каждого 1, а затем использовать (30,2,9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
