Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В соответствующем гидродинамической системе гильбертовом пространстве Н для функций р, и, и, го (давления и компонент поля скоростей) приходится допускать комплексные значения, тогда как для физических течений они вещественны, и поэтому физические решения должны лежать в вещественном подпространстве Н, пространства Н. Так как уравнения Навье— Стокса вещественны, собственные значения линеаризованной задачи либо вещественны, либо образуют комплексно сопряженные пары. Можно считать, что собственная функция ф вещественна, если вещественно ).и, и что ф и ф,, являются комйлексно сопряженными, если таковыми являются )св и Х„,.
Тогда в представлении и=~„с ф элемента из Н нужно считать с„вещественными для вещественных )с и комплексно сопряженными для комплексно сопряженных Х вЂ” при этом и будет принадлежать Н,. При таком подходе многообразие М будет вещественной К-мерной поверхностью, касающейся в нуле вещественного линейного подпространства М,с:Н„а координаты х„в М, задаваемые при помощи (29.7.3), также либо будут вещественными для вещественных )чв, либо хи =х,, если Х =Х„,. 29.а. ВИсРУРКАЦИЯ К НОВОМУ СТАЦИОНАРНОМУ СОСТОЯНИЮ В более простой из двух классических теорем Хопфа о бнфуркацнях предполагается, что одно простое вещественное собственное значение )с,()с) переходит в правую полуплоскость (т. е. проходит через нуль) в тот момент, когда число Рейнольдса, увеличиваясь, проходит через критическое значение )4,. Итак, 29.8, Бифурнация и новому стационарному состоянию 295 Я а ! 1 1 Я а ! и ! 1 1 ! Я,— с в в м м \ я в — нх е о Рнс.
29.5. пусть )„(Я,)-о, л;ж.)-Р>о. (29.8.1) В этом случае неустойчивое многообразие одномерно, а описывающая движение система (29.7,4) сведется к одному уравнению х=г (х; Я), (29.8.2) в котором у х опущен нижний индекс 1 и учтена зависимость от Я. Прн помощи (29.7.5) и (29.8.1) это уравнение можно переписать в виде х = р (Й вЂ” тс,) х+ члены высшего порядка, (29.8.3) Стационарные траектории х=О представляются точками кривой Р(х; )с)=О в плоскости х, Я. Это гео- °,Ф Ф метрическое место точек состоит из Ф отрезка оси Я и кривой, проходящей через точку х=О, Я =)с,; три возможных случая представлены на рис.
29мн а, био. Если следующий по порядку малости член в (29.8.3) равен ах', то имеет место несимметричная бифуркация; если он равен ах', то бнфуркацяя симметрична — она будет зак- Рнс. 29.6. ритической при а~О и докритической при а>0. Устойчивость определяется знаком х в точках вблизи кривых. Например, на рис. 29.6 показано стрелками движение точек в 296 Гв.
сУ. Бифуркации в выдачах видродинамичсской устойчивости ЗКЭ. ВИВУРКАЦИЯ К ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ Во второй классической теореме Хопфа о бнфуркациях предполагается, что одна пара комплексно сопряженных собственных значений переходит в правую полуплоскость в тот момент, когда ~,', увеличиваясь, проходит через Яс, а все остальные собственные значения находятся в левой полуплоскостн.
Пусть переходят значения А„)., = о + ко = о Я) ~ ко Я), (29.9.1) о()~,) =О, о'Я,) ) О, вф,)-АО. (2992) где Теперь многообразие М двумерно. Вместо комплексно сопряженных координат хс и х, мы введем в М вещественные координаты х и у, так что х,=х+(у, х,=х — су. В первом приближении движение в М, согласно (29.7с() и (29.7.5), описывается уравнением г((х+(у)Д(1 =)ч (х+ су) (о+ св) (х+ (у). Вблизи нуля траектории приближенно будут выглядеть как спирали: (х+(у) ж сопз1 асс (созвс+(з1пвс). В полярных координатах мы имеем с = ос+ О (г'), О =*в+ 0 (г). (29.9.3) Отсюда следует, что в некоторой окрестности нуля на любой траектории О всегда возрастает, а с всегда положителен; г может как возрастать, так и убывать; вблизи нуля с возрастает при о~О и убывает при о(0.
Теперь попробуем понять, что будет чуть дальше от нуля. плоскости х, Я в случае несимметричной бифуркации. Во всех случаях восходящие ветви устойчивы, а нисходящие нет, тогда как решение к=О всегда неустойчиво при Я))ч'с. В докритической бифуркации, которую иллюстрирует рис. 29.5, в, нет устойчивого равновесия в окрестности решения х=О при )Ь.)ч,. Если в этом случае )г, очень медленно возрастая, проходит через )г„то типичная траектория переводит систему из точки хжО в далекие точки конфигурационного пространства за относительно короткий промежуток времени, как только сг превышает )г,.
Это явление называется взровным переходом и противоположно переходу в аиде адиабатической последовательности устойчивых состояний, которые характеризуют траекторию в других случаях. уудд. Вофууконнн к иноорианотому тору Определим для нашей задачи отображение Луанкаре как отображение х- Ф(х) оси х в )И, полагая, что если траектория имеет координаты х, 0 при некотором й то она будет иметь координаты Ф(х), О, когда 8 увеличится на 2п. Заметим, что х и Ф(х) могут быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными.
Пусть Ф (х) = х (1 + о (х)). (29,9.4) Структура траектории зависит от свойств функции д(х). Нз формул, описывающих спираль вблизи нуля, вытекает, что !+8(О)= знтн; (29.9.5) в частности, д'(0)=0 прн )с=)т„поскольку тогда а=О. Следовательно, разложив д(х) в ряд Тейлора по х и по разности )! — )т„ мы будем иметь у(х)-д(х; 1~')=ах+Ья — р,)+схо+.... (29.9.6) Коэффициент а должен быть равен нулю, так как в противном случае функция у(х, )х,) имела бы противоположные знаки при х)0 и х 0 вблизи точки х=О, а отсюда следовало бы, что траектория должна быть самопересекающейся, т. е.
ее второй виток с одной стороны был бы дальше от нуля, чем первый, а с другой ближе. Коэффициент Ь положителен, так как, согласно предположению (29.9.2) относительно о, траектории вблизи нуля раскручиваются по спирали при Р))т, и скручиваются при )!С)т,.
Рассмотрим на плоскости х, )1 множество точек, удовлетворяющих уравнению я(х, )7)=0. Если х„)1, — одна из таких точек, то при )1 =)1о будем иметь Ф(х,) =х„, т. е. существует замкнутая траектория, пересекающая ось х при х=х,. Это множество содержит точку х=О, )т=)1;, вблизи этой точки оно представляет собой кривую, которая пересекает ось 1! горизонтально; эта кривая направлена вверх, как на рис. 29.5, б, если сСО, и направлена вниз, как на рис. 29.5, в, если с)0. Бифуркация называется закритической в первом из этих двух случаев и докритической во втором.
Как и в предыдущем параграфе, следует ожидать взрывного перехода, если с О. ЗЭЛВ. БИФУРКАЦИЯ ОТ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ К ИНВАРИАНТНОМУ ТОРУ Следующая бифуркация после той, которая привела к замкнутой траектории, т. е. к периодическому движению,, может привести к двумерному инвариантиому тору, как это показывает пример Хопфа [19481. Теоремы об этой бифуркации приводятся у различных автоов, включая Наймарка [19591, Саккера [1964), Рюэля и Такенса 19711 и Ланфорда П9731.
Такие теоремы основываются главным 298 Гв. 29. Бифуркации в задачах гидродииаиичггкой уагаойчивоаяи образом на теории Флоке, но мы выберем более наглядный подход, опирающийся на понятие отображения Пуанкаре. Пусть )с,— критическое значение числа Рейнольдса ь"",, характеризующее первое появление периодических траекторий в закритической бифуркации, обсуждавшейся в предыдущем параграфе. Предположим, что прн некотором )с ) Гс, размерность неустойчивого многообразия М равна К. Многообразие М содержит двумерное многообразие, описанное в предыдущем параграфе, и мы предположим, что координаты в М выбраны так, что первые две нз них — это координаты х, у нз предыдущего параграфа; остальные координаты обозначим через х„..., хк. Рис.
29.7. Тогда, если )т лишь немного превосходит )св, то замкнутые траектории обходят нуль в подпространстве х, у и каждая из них один раз пересекает положительную и отрицательную полуоси оси х. Пусть )7 есть (К вЂ” 1)-мерная гнперповерхность в М, заданная уравнением у=О; тогда )г дважды пересекается замкнутой траекторией, как схематически показано на рис. 29.7, и мы обозначим одно из этих пересечений как х=9=$(Р), где х есть (К вЂ” 1)-мерный вектор с компонентами х, х„..., хю Для х, близких к $, определим Ф(х) как вторую по счету точку пересечения )7 с той траекторией, которая начинается в х (см.
рисунок). Тогда Ф: х — Ф(х) — отображение Пуанкаре, определенное в некоторой окрестности точки 9 в )г, Отметим, что Ф(9)=9. Для х, близких к 9, после линеаризации будем иметь Ф(х) — $ М(х — $)+члены высших порядков, (29,10.1) где М вЂ” матрица размера (К вЂ” 1)х(К вЂ” 1). яуЛО. Бифурнияия и инвириинвному вору Теперь предположим, что М имеет одну пару собственных значений а( а(Р)) и а с соответствующими им собственными векторами ч, ч, такую, что )а()ся) ~ = 1 для некоторого Я, > )с,, (29.10.2) й ! а(Я) //сЯ /н я, > О, (29.10.3) тогда как все прочие собственные значения М лежат внутри единичной окружности. Когда Р возрастает, замкнутая траектория теряет устойчивость при Р > )г,; следовательно, при )г = )г, имеет место новая бифуркация.
Согласно й 29.7, при Р > 7!, отображение Ф в У имеет двумерное инвариантное неустойчивое многообразие или поверхность Я в У, касающуюся в точке $ линейного многообразия Я„натянутого на векторы ч и ч. Чтобы сделать наши рассуждения более наглядными, будем считать поверхность У двумерной; тогда Я=У и 5 инвариантна относительно Ф; следовательно, можно считать Ф отображением в 3. Пусть и и о — такие вещественные координаты в 5, что проекция элемента х — й из Я на Я, равна (и+!о)ч+(и — !о)ч, и пусть г и+!о. Тогда отображениеПуанкаре примет вид г — г' =аг+ члены высших порядков, или, точнее, Ф: г — г'=аг 1+ Х д гУги, (29.10.4) ;иигм где д — некоторые коэффициенты (в общем случае комплексные), а суммирование происходит по всем целым неотрицательным ! и й, для которых ! + й > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
