Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Пусть е/ есть К-мерный вектор, у которого 1-я компонента равна 1, а все остальные компоненты равны О. Тогда дхч/дх =(/ хч '/; 80.2. Построение инеариантних нногаобраоий )ь)| Х ь)7., тогда ьь)! будет целым положительным числом, Если у ь )с))=1, то и совпадает с одним из векторов е . Теперь подставим и в виде (30.2.7) и и в виде (30.2.11) в эволюционное уравнение (29.4.3) и приравняем полные коэффициенты при х' в обеих частях для каждого зЕ.У. Тогда, вопервых, если з — один из векторов е„то квадратичные члены не дают никакого вклада и поэтому к ~ а;,Ми, — 7и, =0 (1=1, ..., К).
(30.2.12) ьеь «7 еь Но мы уже знаем, что и. =ьр,; отсюда и из (30.2.1) следует, что е — е, / Хь при 1=1, ) 0 при 1'чь 1, Тогда с точностью до первого порядка при малых хм ..., х„ (30.2.9) дает х7 .сопз1 ехр(Х 1)„чего н следовало ожидать. Во-вторых, если а не совпадает ни с одним из еь, т. е. если ! а)) 1, мы получаем при помощи (30.2.13) < к К Х З7ХьМ вЂ” 1.) )и. = — Х Х ь71аье е «Мио+Х В(и„и, и), ь' ь ьмь / ьчь (30.2.14) где через ~" обозначена сумма по всем таким ь( Е Я, для которых з+е,— ь) также принадлежит .у и ь) чьз, а через сумма по всем таким и Е.У, для которых з — и также принадлежит .У; обе этн суммы содержат конечное число слагаемых.
Теперь покажем, что эти уравнения, будучи определенным образом упорядоченными по зЕ.9', позволяют индуктивно определить неизвестные функции ре и неизвестные коэффициенты а;,. Предположим, что уравнения (30.2.14) расположены в таком порядке, что все уравнения с данным значением (з) всегда идут раньше уравнений с ббльшим значением ~з) и для каждого из уравнений все входящие в него функции и коэффициенты, входившие и в предыдущие уравнения, уже определены. (Порядок следования уравнений с одним и тем же значением )з) не имеет значения.) Мы утверждаем, что тогда впервые появившиеся в правой части (30.2,14) и, уже известны. Действительно, там для большинства членов (ь)(((з(, кроме тех, для которых п=з+ +е — е, при 1~1 (назовем такое ь) не равным з); однако член с таким значением ь) содеРжит коэффициент аыр Равный нУлю в силу (30,2.13); следовательно, все ич, впервые появляющиеся в правой части уравнения, можно считать известными.
Поэтому зю Гэ. Зд. Оээарианоо)ыэ э)ноэоодраэаэ о эадачэ Тэрэора неизвестными в каждом уравнении будут функция и, и коэффициенты аи (1=1, ..., К). Чтобы определить коэффициент а), при некотором 1=1,..., К, умножим скалярно обе части (30.2,14) на вектор )(р Тогда в левой части получится нуль, а в правой части все члены из первой суммы будут равны нулю, кроме тех, для которых и =е, и /=1; следовательно, После того как эти коэффициенты найдены для 1=1, ..., К, уравнение (30.2.14) можно разрешить относительно и,. Таким путем определяется инвариантное К-мерное многообразие М в той окрестности нуля пространства Н, в которой сходятся ряды (30.2.7) и (30.2.9).
Именно этот метод применяется в работах Дэви [1962[, Дэви, Ди Примы н Стюарта [1968) и Иглза [1971). Хотя эти авторы не описывают метод таким образом, его основная отличительная черта — это построение неустойчивого многообразия, происходящего из нуля пространства Н; тогда уравнения (30.2.9) представляют конечномерную динамическую систему на этом многообразии и могут изучаться любым из стандартных методов как аналитически относительно неподвижных точек и циклов, так и численно, когда траектории получаются в результате решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Важным моментом в их методе является предположение об ортогональности всех и (кроме тех, для которых [я[=1) системе сопряженных функций )(„ ..., тю У нас это предположение отражено в виде равенств (30.2.6) и (30.2.6) просто как удобный способ задания координат х„ ..., х„ на неустойчивом многообразии, однако оно имеет более глубокий смысл и представляет собой тот главный фактор, который делает применение метода успешным.
Каждая функция и, определяется через известные величины с помощью неоднородного уравнения (30.2.! 4), которое на практике оказывается дифференциальным уравнением с граничными условиями. Для некоторых из этих уравнений, когда число Рейнольдса близко к одному нз критических значений, оператор в левой части становится почти вырожденным н на самом деле вырождается, когда число Рейнольдса совпадает с этим значением. Согласно теореме об альтернативе Фредгольма из линейной алгебры, которая применяется также и к линейным уравнениям в гкльбертовом пространстве, вырожденное неоднородное линейное уравнение имеет решение только тогда, когда его правая часть ортогональна всем решениям соответствующего транспоннрованиого однородного уравнения, которыми в данном случае будут функции )(),..., Х„с если это так, то решение не однозначно, но может 80.8.
Циеиндриееоние ноординоти зс! быть сделано таковым, если потребовать, чтобы оно также было ортогонально функциям Хь ..., Хю Без этого или какого-либо другого сходного с ним предположения функции ич могут оказаться неприемлемо большими для представляющих интерес значений чисел Рейнольдса, что, по-вндимому, будет препятствовать сходимости ряда (30.2.7).
30.3. цилиндрические кООРдинАты Уравнения Навье — Стокса имеют вид (см. (29.3.4) и (29.3.5)) дп/д!+(й Ч)п+(и Ч)й+(и Ч) и+Чр — оЧеп=О, (30 3,1) Ч =О, (30.3.2) где й(х) соответствует основному ламинарному течению (для за- дачи Тейлора это течение Куэтта). Введем цилиндрические коор- динаты г, О, г в соответствующие компоненты вектора скорости и, и, со. Тогда (30.3.3) п и1с„+ о)со+ сок„ где к„(со, 1с,— единичные векторы по направлениям возрастания г, О и г соответственно. В цилиндрических координатах операторы Ч' и и Ч имеют вид дг ! д ! дг дг Ч' = — + — — + — — + —, дге е дг ее две дг' ' д о д д п.Ч=и — + — — +со —. де г дд дг' (30.3.4) Когда эти операторы применяются к векторному полю вида (30.3.3), нужно учитывать зависимость единичных векторов й, и 1со от О: д(с,/дО = 1сго д1се/дО = — 1с„.
Для задачи Тейлора основное ламинарное течение в силу (30.1,1) определяется из уравнений и=0, со=О и о=о(г) = Аг+ В/г. (30.3.5) Приведенные выше уравнения, будучи объединенными, образуют систему уравнений в частных производных относительно величин и, о, со и р, рассматриваемых как функции переменных г, О, г и й Для практического применения изложенного в предыдущем параграфе метода удобно представить эти уравнения в форме, указанной Иглзом (19711, — путем введения шестимерных векторов с), Ч и т.
д., где компоненты вектора 1) это функции р, дп/дг, дсо/дг, и, о, со. Тогда наша система запишется в виде д()/дг — А)) — Л4 д()/д! — К(Щ В =О, зщ Гл. ЗО. Инеарианттле анеаообразиа в задаче Тейлора где А, М и К($)) — операторнозначные матрицы размера бхб, содержащие д/д9 и д/дг, но не содержащие д/дг. [Для достижения последнею используется уравнение неразрывности 7 и=О, прн помощи которого производная ди/дг исключается так, чтобы она осталась только в первом члене левой части (30.3.6).) Эти матрицы выписаны в приложении к настоящей главе; они по существу те же самые, что и в статье Иглза, и лишь слегка отличаются обозначениями.
Все элементы матриц М н К(()) равны нулю, кроме тех, которые расположены в правой верхней четверти матрицы. Чтобы объяснить обозначение К(Щ, рассмотрим выражение К(б) Ч; в нем элементы матрицы линейно зависят от компонент вектора () и действуют линейно на компоненты вектора Ч. 30.4. ГИЛЬБЕР1ОВО ПРОС1Рамс1ВО и возьмем в качестве Н гильбертово пространство /.з(Я)' со ска- лярным произведением ((), Ч) = ~~~ ОЧе(гс(94(г.
М (30.4.2) При таком выборе скалярного произведения задача на собственные значения, сопряженная задаче д()/дг — А() — ХМ() =О, (/е=(/,=(/о=О при г =г, и г=г„ (30,4.3) имеет вид д()/де — А*() — ХМч() = О, (30.4,4) (/,=(/, (/,=О при г г, и г г„ где А' н М' получаются транспонированием матриц А и М с заменой д/д9 и д/дг на — д(д9 и — д/дг. Как и в предыдущем параграфе, предположим, что: Для задачи Тейлора теория и эксперимент одинаково показывают, что если вихри Тейлора (а также волнистые или винтовые вихри) уже образовались, то полное течение будет периодическим в направлении оси г с периодом, примерно равным удвоенному расстоянию между цилиндрами, по крайней мере в том случае, когда цилиндры очень длинны, и в таком приближении, когда краевыми эффектами пренебрегают.
Здесь же мы просто предположим, что такая периодичность имеет место, и будем также считать известным волновое число а, так что период будет равен 2л/а. Будем рассматривать нашу задачу в области ае: г,<г <ем 0<9<2П, 0<г<2п/а (30,4А) аад. Раздевание аеременнык в цивиндричееки» координатах 3!3 1) для данного ). задача (30.4.3) имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение задача (30.4.4); 2) каждая из задач имеет полную систему собственных функций, так что ие нужно рассматривать обобщенные собственные функции более высокого порядка, например решения уравнения (д!дг — А — )чМ)е $) =0 и т. д.
Такие предположения подтверждаются, насколько это возможно, численными расчетами, в которых рассчитывалось около 40 первых собственных функций. Собственные функции ()'~' для прямой задачи и () "~' для сопряженной задачи могут быть выб. раны так, чтобы оии были биортогоиальиыми в том смысле, что ($)+'и, М()о')= 5,.
(30.4.5) Выбор скалярного произведения в форме (30.4.2) связан с иекоторым произволом. Например, может показаться более естествеииым взять там где вместо е(г. Тогда несколько изменится уравиеяие в сопряженной задаче (30.4.4) и будут другими сопряжеииые функции 1)+®, ио соотношения биортогоиальиости (30.4.5) останутся верными. Однако только эти соотношения и имеют значение: оии используются для построения проекций точек яеустойчивого многообразия М иа соответствующее линейное многообразие М„касательиое к М в нуле. Скалярное произведение нельзя выбрать так, чтобы операторы были самосопряжеииыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
