Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 69

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 69)

Глава 31 РАННЯЯ СТАДИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ Периодические, квааипериодические, почти периодические и апериолические движении; еьпредельное множество; аттракторы; внергетический спектр; устой. чнвость по Ляпунову; странные аттракторы; аттрактор Лоренца; сильво типичные, типичные, нетипичные и сильно нетипичные свойства систем. Првдваритвльнмв сведения: гл. 29. В прикладной гидродинамике турбулентным называют течение со столь высокой степенью хаотичности, что для изучения достаточно широкого набора его характеристик можно использовать статистические методы.

Турбулентность в этом смысле возникает при существенно более высоких числах Рейнольдса, чем те, которые мы будем рассматривать. Например, для вполне развитой турбулентности в воздухе с полностью сформировавшимся так называемым инерцнальным интервалом необходимы более суровые условия, чем те, которых можно достичь в большинстве аэродинамических труб, и такая турбулентность наблюдается главным образом в открытой атмосфере. Между ламинарным течением и турбулентностью существует нечетко определенная область состояний, называемая переходным режимом или установлением турбулентности.

Мы познакомимся с этим режимом только при совсем низких числах Рейнольдса. Слово вранняя» в названии главы относится к такому реальному течению, для которого число Рейнольдса растет со временем очень медленно. Рассматриваемые нами течения являются простыми и гладкими, но, несмотря на это, они отражают определенные характерные свойства непредсказуемости и хаотичности на совсем ранних стадиях.

31.1. МОДЕЛЬ ЛАНДАУ ХОПФА Схематически эта модель перехода описана в книге Ландау и Лифшица 119541. Предполагается, что хотя бы для некоторых задач существует последовательность закритических бифуркаций, схематически образующих дерево, изображенное на рис. 31.1.

После первой бифуркации движение в общем случае является периодическим, после второй оно в общем случае будет квазипериодическим с двумя периодами и т. д, Квазипериодичегкая функция с т перио- 3! Л, Модель Ландау — Хоифа 319 дами имеет вид Р(1) й(еа,(, ео,г,, ев„(), (31,1.1) где функция д(,, ..., ) периодична по каждому из своих аргументов с периодом 2п, а частоты еа; несоизмеримы, что означает необращение в нуль линейной комбинации с,м,+... +с„в с рациональными коэффициентами с„..., с„, если хотя бы один из них отличен от нуля.

Если а„..., еа соизмеримы, то число Рис. 31.1. дерево бифуркаций. независимых частот меньше ле, Предположим, например, что т =2 и еае!ео, = р!д, где р и д †цел числа. Тогда для (е = 2н (Чдае + Р1еое) (31.1.2) будем иметь еоА=4пд и еоег,=4пр, так что 1(1) — зто периодическая (а не только квазипериодическая) функция с периедом, равным величине (31.1,2). В последнем параграфе предыдущей главы было показано, что если первая бифуркация приводит к замкнутой траектории, то вторая может привести к притягивающему инвариантному тору в фазовом пространстве И. Если, кроме того, движение таково, что его траектория плотно покрывает тор, то результирующие функции времени (такие, как одна из координат в фазовом пространстве) Гл. ад Ранняя стадия турбулентности будут квазипериодическими с двумя периодами.

Точнее говоря, на торе можно определить две внутренние угловые координаты О и у так, что О=о,!+сопя!, ар=в,!+сопя(, и траектория плотно покроет тор тогда и только тогда, когда са, и ы, несоизмеримы. После следующей бифуркации может возникнуть движение на трехмерном торе и т. д. Реальный выбор ветви дерева, изображенного на рис. 31.1, зависит от структуры инфинитезимальиого возмущения, вызывающего отклонение от основного или ламинарного течения в тот момент, когда число Рейиольдса достигло первого критического значения.

В более общем случае фазы, связанные с различными частотами, случайным образом зависят от такого возмущения, так что (31.1.!) лучше переписать в виде ) (1)=д(ы,1+Д„..., са„1+9„). (31.1.3) Идея, отражаемая моделью Ландау — Хоцфз, состоит в том, что при наличии многих независимых частот движение в момент своего зарождения столь иррегулярно, что с точки зрения приложений оио должно рассматриваться как хаотическое. В ряде случаев эта модель может оказаться неподходящей. 1.

Одна из бифуркаций в изображенной на рис. 31.1 последовательности может быть докритической; тогда непосредственно после превышения числом Рейнольдса соответствующего критического значения для системы не найдется близкого к устойчивому движения, а будет иметь место так называемый взрывной переход к движению, связывающему более или менее отдаленные части фазового пространства. 2. Для некоторых задач, таких, как течение в круглой трубе, основное течение устойчиво по отношению к инфинитезимальиым возмущениям при всех числах Рейнольдса, но неустойчиво по отношению к конечному возмущению довольно небольшой амплитуды, и с ростом числа Рейнольдса характеризующая наступление неузтойчивости амплитуда уменьшается, приближаясь к нулю, так что практически не удается получить устойчивое течение из-за наличия малых, но конечных возмущений.

3, Хотя при второй бифуркации обычно появляется инвариантный тор, траектория не обязательно будет плотно покрывать его; оиа может вернуться в свою первоначальную точку после конечного числа оборотов вокруг оси тора; тогда траектория будет замкнутой, а движение периодическим, как уже отмечалось в 9 29.11.

В действительности на основании теоремь> Пейксото (см. приложение к этой главе) теперь создается впечатление, что замкнутые траектории на торе менее вероятны, чем плотно покрывающие его. Это может указывать на справедливость модели Фейгенбаумз (см. 3 31.19). 4. Ситуация, обсуждавшаяся Рюэлем и Такеисом [19711, заключается в том, что после нескольких бифуркаций в фазовом прост- алг.

Г!Ример хаа!Ра ранстве появляется инвариантное множество точек, которое представляет собой не тор, а так называемый странный аттрактор; тогда, как это обьясняется ниже, движение будет не квазииериоди. ческим, а апериодическим. 3!.1. Г!РИМЕР ХОПФм В 1948 г. Хопф привел пример простой динамической системы, у которой имеется бесконечная последовательность бифуркаций, причем каждая из них приводит к притягивающему тору размерности на единицу большей, чем у предыдущего.

Пусть и(х, Г) и г(х, г)— комилекснозначные в общем случае функции вещественных переменных х и й периодические по х с периодом 2л. Зги функции должны удовлетворять системе уравнений ди/д! = — гои — ио ! +ид'и!дх', дг/д! = гои+ гоР'+ рдаг/дх'! здесь кружком обозначена свертка: в общем случае ~од = До й) (х) = ~1/(2л)~ $ ~ (х — у) д (д) а(у; о ио! — это в точности среднее значение функции и, р — положительная постоянная, а г"=г (х) — заданная комплекснозначная четная периодическая функция. Эту систему можно рассматривать как простой аналог уравнений Навье — Стокса на компактном многообразии (на окружности) с представлением нелинейностей в виде сверток, а не в виде адвективных членов.

Функция Р(х) обозначает силу, а р (вязкость)— это тот параметр, который можно варьировать. Решения этой системы можно найти с помощью разложения Ф всех функций в ряды Фурье по х (нанример, и (х, !) = ~', и„(!) ее""; обозначения для остальных функций аналогичны). 1ак как преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению их преобразований Фурье, члены, соответствующие различным и, нельзя группировать. В этом отношении система (31.2.1) отличается от уравнений Навье — Стокса, но зато ее решения можно получить в явном виде.

Нужно наложить лишь ограничения на описывающую силу функцию Р(х), чтобы эта система не оказаласьслишком специальной, т. е. нетипичной. А именно если Ф Р (х) = У (а, + (Ь„) е'"", (31.2.2) 322 Гл. зд Ранняя стадия турбулентности то предполагается, что бесконечно многие из ря будут больше нуля, что отношение любых б„ не является рациональным числом (т. е. любое конечное их множество линейно независимо над полем рациональных чисел) и что среди величин а„!пе нет равных. Критические значения параметра р — это числа а„!пе, которые можно упорядочить в виде последовательности р,)р,)р,) ... — О.

Общее решение представляет движущуюся в бесконечномериом пространстве йс точку с координатами и„((), ея((), п=О, ~1, ~-2,... .... Хопф доказал, что при р)р, неподвижная точка в нуле пространства й притягивает все остальные решения, так что и„-нО и г„-нО при Г-+со; при прохождении уменьшающегося р через р, это решение станет неустойчивым и произойдет бифуркация к притягивающей периодической траектории, которая развивается из нуля; когда р, уменьшаясь, будет проходить через р„эта траектория также станет неустойчивой и произойдет бифуркация к притягивающему тору (размерности 2), который развивается из этой траектории, и т.

д. После я-й бифуркации получится й-мерный притягивающий тор и каждая лежащая на нем траектория плотно покроет его, 31.3. мОдель еюяля тдиенсд В модели ранней стадии турбулентности, предложенной Рюэлем и Такенсом 1!971), предполагается, как и в модели Ландау — Хопфа, что первые четыре бифуркации являются закритическими и что оии приводят к инвариантным торам 7Я, Я=1, 2, 3, 4, каждый из которых будет притягивающим с момента своего появления и до следующей бифуркации. Вопроса о существовании этих торов мы коснемся при обсуждении модели Фейгенбаума в 5 31.19.

Характеристики

Список файлов книги