Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2. При любом г ) 1 имеются две дополнительные неподвижные точки Р,: Х=У = — РгЬ(г — !), Л=г — 1, (31.9.6) Р;. Х = г' = 'геЬ (г — ! ), 3 = г — ! . Следовательно, при г= ! происходит первая бнфуркация описанного в ц 29.9 типа. Чтобы ответить на вопрос об устойчивости новых неподвижных точек, положим Х=Х,+Х„где Х,— одна из точек (31.9.6), Гл, И. Ранняя стадия ткрбрлентвкти и проведем линеаризацию относительно Х„после чего получим У; г — Л, — 1 — Х, У, .
(31.9.7) Если подставить сюда Х„У, и 2, из (31.9.6), то матрица этой системы примет вид Π— )г Ь(г — 1) — Ь она имеет одно вещественное отрицательное и два комплексно сопряженных собственных значения. Комплексные собственные значения будут находиться в левой полуплоскости (и тем самым новые неподвижные точки будут устойчивыми), если г(гт где ге = а (а + Ь + 3)/(а — Ь вЂ” 1) = 24. 74, (31.9.8) Следовательно, при г=г, имеет место вторая бифуркация, а ее тип совпадает с описанным в 5 29.!О, так что она приводит к периодическим решениям. Однако, как показывают вычисления Марсдена и Мак-Кракена 11976), эта бифуркация является докритической.
Следовательно, периодические решения имеются только при г(ге и неустойчивы, а при г)ге следует ожидать взрывного перехода к чему-то иному. Как мы увидим ниже, оказывается, что переход на самом деле не будет «взрывным» благодаря наличию другого аттрактора (в действительности странного аттрактора) в близкой окрестности в ке (см. Э 31.17).
При г)ге с каждой из точек Р, и Р, связаны одномерное устойчивое и двумерное неустойчивое многообразия. На последнем решения раскручиваются по спирали из неподвижной точки. Близкие решения также раскручиваются по спирали и в то же самое время быстро движутся к неустойчивому многообразию благодаря тому, что с устойчивым многообразием связано большее по модулю отрицательное собственное значение. З1.16.
АТТРАНТОР ЛОРЕНЦА. ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ Чтобы исследовать поведение системы после второй бифуркации при г=г,=24.74, Лоренц численно нашел решения системы (31.9.1) при г=28. Он установил, что после прохождения участков относительно быстрого изменения траектории оказываются лежащими, насколько это позволяют утверждать расчеты, на ветвящейся поверхности йт схематически изображенной на рис.
31.3а, где указаны также и направления движения. Грубо говоря, эта поверхность 31.10. Аттрактор Лоренца. Общее описание имеет сердцевидную форму и расположена очень близко к вертикальной плоскости Х=У, содержащей неподвижные точки Р, и Р„определенные в (31.9.6). Она симметрична по отношению к отражению относительно оси Я и имеет два отверстия — по одному вокруг каждой из неподвижных точек Р, и Р,. Ниже линии ветвления ВВ, которая соединяет эти два отверстия и проходит несколько ниже горизонтали Р,Р„поверхность представляет собой сплошной лист. Над ним расположены два листа: один чуть левее и сзади, другой чуть правее и спереди. Они соединяются по средней части линии ветвления ВВ, изображенной жирной прямой.
0) о Рнс. Зцза. Ветвящаяся поверхность. Поверхность 1., ограничена частью относящегося к нулю неустойчивого многообразия, которая состоит из двух траекторий Ф7 и Ф7, выходящих из нуля в противоположных направлениях. Эти траектории в дальнейшем уходят внутрь поверхности ум но перед этим онн обойдут указанные отверстия и затем пересекут линию ветвления ВВ в концах ее средней части. Неподвижные точки Р, и Р, находятся в отверстиях, и если бы поверхность В, закрыла отверстия, то траектории раскручивались бы по спирали на их месте; на рисунке тем не менее видно, что вошедшая в Е, траектория уже никогда не выйдет на отверстия.
Каждая траектория пересекает линию ветвления ВВ сверху вниз; после пересечения ВВ в центральной точке она асимптотическн стремится к состоянию покоя в нуле; в противном случае она обходит одно из отверстий и снова пересекает ВВ и т. д. Мы определим отображение Пуанкаре з- фа(з) отрезка ВВ следующим образом. Пусть з — параметр вдоль ВВ (например, длина дуги), причем для центральной точки з=0. Если траектория пересекает ВВ прн з=з,Ф0, то в следующий раз она пересечет ВВ при а=тра(зт); значение $е(9) не определено.
Рис. 31.3б схематически поясняет это определение. Путем численного построения траекторий можно прове- Гл. 31. Ранняя сна«дня турбулентности рить, что такое отображение обладает свойством, названным Вильямсом [19771 «несохраиением близости» ') и состоящим в следующем: если 7 — любой интервал з,(з<зв+е (он может быть сколь угодно малым), то п-кратное отображение 7 при некотором а будет совпадать с ВВ.
Иначе говоря, независимо от того, насколько близки две траектории на (.е одна к другой вначале, с течением времени они в конце концов станут вполне разделенными. В этом можно убедиться, например показав, что при подходящем выборе параметра и для всех з справедлива оценка»р;(з))сопз1)1. Траектория, которая пересекает линию ветвления ВВ слева от ее центра, обходит точку Р, по часовой стрелке, перед тем как вернуться к ВВ, а если перете! сечение было справа от цент- 1 1 ра, траектория обойдет против часовой стрелки точку Р,. Число обходов траекто- 1 1 рией одной из точек Р, или Р„ перед тем как перейти к другой, зависит от того, как 1 быстро она раскручивается по ! спирали относительно этой 1 точки, а также от критического пути или от того, как далеко от центра она впервые пересекла ВВ после прихода Рнс.
31.3б, Отображение Пуанкаре. с другой сторОны. Суп1ность открытия Лоренца состоит в том, что последовательные числа оборотов Относительно этих точек изменяются псевдослучайным образом, так что движение является апериодическим. Как отметил сам Лоренц, картина, основанная на ветвящейся поверхности е'.„Не может быть точной, потому что две траектории, пересекающие линию ветвления ВВ в одной и той же точке, должны были бы после этого полностью совпасть, что противоречит однозначной обратимости траекторий. Следовательно, два листа поверхности не могут сливаться в один лист, а должны оставаться разведенными на очень небольшое расстояние.
После того как траектории сделают еще по одному обороту, два листа превратятся в четыре и т. д. Отсюда следует, что аттрактор должен состоять из бесконечного множества листов, возможно как-то связанных вместе в единую структуру в ет», которая называется аттракгларом Лоренца и обозначается через В. Однако, по крайней мере для значений параметров, исследованных Лоренцам (а=10, б=е!„с=28), приведенная выше детализация структуры в действительности является вполне '! В оригинале !оса!!у еиеп1иапу оп1о,— Прим. нерее. 3!.1Д Аоияракеяор Лоренца.
Ляериодикеекие движения 335 исчерпывающей: разделение листов оказывается настолько незначительным, что с точностью примерно до четырех десятичных знаков ветвящаяся поверхность ьа вместе с движениями иа ней, как они были схематически изображены, полностью описывает аттрактор. 31.11.
АттРАктОР лОРенцА. АпеРНОдические движения Лоренц заметил, что случайность движения можно оценивать, рассматривая последовательные максимумы 2„, и = 1, 2, ..., координаты 2 (1) полученной численно траектории. 1Из третьего уравнения системы (31.9.1) видно, что эти максимумы имеют место 48 42 40 38 36 Зо 28 28 80 32 34 36 ЗВ 40 42 44 46 48 $0 Рас.
31.4. График Лорекка. при пересечениях траектории с гиперболоидом, заданным урав- НЕНИЕМ 2=(1~0) Х)е.) ЛсрЕНц уСтаНОВИЛ, ЧтО ТОЧКИ (2„, Я„+,) образуют представленную на рис. 31.4 кривую Я„,=Г" (Я,), кото. рая является гладкой всюду, за исключением центральной точки возврата. Как отметил Лоренц, к„ 1 не может быть в точности однозначной функцией от Е„, так как ее значение, вообще говоря, зависит также от значений Х (г) и У(е), взятых в тот момент, когда Я (е) = 2,. Следовательно, график Лоренца должен быть слегка размытым и иметь некоторую поперечную структуру, хотя возможно, и в очень узких пределах.
Эта структура отражает тонкую структуру аттрактора е'., и ее можно начать раз- зп!/. Аттроктор Лоренца, Аяериодиееекие движения 337 Чтобы получить значения ь(В'), введем функции ере (2) и Че(а), обратные для восходящей и нисходящей частей /(2), как показано на рис. 31.5. Тогда из (3!.11.2) видно, что функция ь(йГ) должна удовлетворять уравнениям Ь(Ф')=ер,(Ь(29е)), если 0<27<'/„ Ь(!е')=<ре(Ь(2 — 2Уй')), если е/,<!Р(1. Из этих уравнений Ь(Ж') последовательно вычисляется для двоичных значений (р, взятых в таком порядке: К О, 1, '/„'/4, '/„ '/„..., начиная с ь(0)=0 и ~(1)=*1, а затем это делается для других значений на основании условия непрерывности, Полученный результат представлен иа рис. 3!.ба, а на рис. 31.6б представлен результат применения преобразования ~(йр) к графику Лоренца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
