Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Модель Федгенбагма взрывного перехода в тот момент„когда неподвижные точки Р, и Р, утрачивают устойчивость. Однако при медленном возрастании г после прохождения еь движение на аттракторе Т. происходит без какого-либо взрывного перехода, за исключением разве того случая, когда внезапное возникновение движения на Т. может рассматриваться как взрыв. Описанный аттрактор соответствует е=28. Если г, уменьшаясь, становится меньше е„то оба отверстия на ветвящейся поверхности Т., уменьшаются, стягиваясь к неподвижным точкам Р, и Р,. При еще меньших значениях г (меньших 13.96) ~. продолжает существовать как инвариантное множество для движения (хотя уже не будет аттрактором), но оно достигает неподвижных точек Р, и Р, только при Г=г,, При г, лишь немного превышающих бн траектория, исходящая из Р, и Р„сразу же становится траекторией на Е.
В этом смысле бифуркация при е, происходит как внезапный переход от стационарной траектории в точке Р, нли Р, к движению на аттракторе Т.. ЗЫ1Э. МОДЕЛЬ ФЕЙГЕИБАУМА В то время как аттрактор Лоренца появился в связи с докритической бифуркацией Хопфа, в моделях Ландау — Хопфа и Рюэля — Такенса предполагается существование последовательности закритических бифуркаций, приводящих к инвариантным торам все более высокой размерности (произвольно высокой в первой модели и по меньшей мере четвертой во второй). Однако, согласно теореме Пейксото, существование такой последовательности представляется маловероятным.
Как было указано в конце 9 29.10, нельзя утверждать, что при возникновении инвариантного двумерного тора в бифуркации от периодической траектории на нем найдутся такие траектории, каждая из которых плотно покроет этот тор. Вместо этого типичным будет возникновение конечного числа периодических траекторий и неподвижных точек. Другие траектории асимптотически стремятся к этим периодическим траекториям и неподвижным точкам. Возникновение инвариантного трехмерного тора в следующей бифуркации, по-видимому, зависит от существования траектории, плотной на двумерном торе. Следовательно, бифуркация к инвари.
антному трехмерному тору представляется маловероятной. Если периодическая траектория на двумерном торе обойдет его до замыкания п раз, то бифуркация называется субаармонической и характеризуется внезапным и-кратным увеличением периода в момент бифуркации (см. 9 29.11). Недавно Фейгенбаум разработал модель, основанную на последовательности субгармоннческих бифуркаций с удвоением периода (см. работу Фейгенбаума (19801 и цитируемые в ней источники). Оказывается, что такие удвоения встречаются во многих примерах итерированных отображений и Гл. Зд Ранняя стадия турбулентности 352 простзях динамических систем.
Более того, с ростом числа п удвое. ний поведение системы начинает подчиняться определенным асимптотическим законам, в формулировку которых входят универсальные постоянные и функции, не зависящие от изучаемой системы, К тому же эти асимптотические законы начинают выполняться совершенно точно при сравнительно небольших значениях п. В частности, значениЯ Рт безРазмеРного паРаметРа (ь, ПРи котоРых пРоисходят бифуркации (удвоения), сходятся к значению р„как геометрическая прогрессия, причем для больших п (р„„— ра)/(р„— р„,) ж 0.21416938. Прн и —, по крайней мере в изученных случаях, энергетический спектр движения аппроксимирует непрерывный спектр с определенными универсальными свойствами.
При р=р„движение, по-видимому, становится апериодическим и происходит на странном аттракторе. Теперь уже известно (см. работу Лоренца П981]), что примером такого поведения служит система Лоренца при значительно ббльших значениях безразмерного параметра г, чем те значения, которые вначале рассматривал Лоренц. А именно, странный аттрактор, который возникает при я=24.74, сохраняется вплоть до значения г=г* (ж250). При г, значительно превосходящих г", существует периодическая траектория, и при уменьшении г в сторону гз существует последовательность удвоений при значениях г=г„.
Последовательность (г„) сходится сверху к значению г*, причем (г„+,— г„)/(г„— г„,) 0,214. Прнноженме н гнаве зт [разделы А — 31. ТИПИЧНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ В настоящем приложении обьясняются н нспользуются понятия типичных н нетипичных свойств систем. Можно подумать, что в ряде разделов фнзнкн зтн понятна в некотором смысле заменят вероятность. Мы придем к выводу, что зто не так, но что онн могут оназаться важным путеводителем в дальнейшем развитии наших представлений о роли вероятности в фнзнке. 3СА.
ПРОСТРАНСТВА СИСТЕМ По той причине, что физическая система не может быть задана точно, н по ряду других причин часто желательно рассматрнвзть не конкретную систему, а большое семейство систем. Если каждая система характеризуется значениями и параметров ао ..., ая, то тем самым ей ставятся в соответствне некоторая ТОЧКИ Прсетраяетна П". Й ОбРатНО, Каждая тОЧКа З ПЯ НЛН В НЕКОтОрОй Обпа. стя Я Г Рч может соответствовать единственной системе семейства.
В более общем случае системы семейства могут быть представлены точкамн а банаховом нлн гнльбертовом пространстве, нлн в ненотором более общем метрическом пространстве, нлн же в некотором еще более общем топологнческом пространстве, которое мы будем называть простраяслыол систем. Пригож. к гл. 3А Тиличнмг аюпслма вислым Например, наждая система семейства может быть динамической системой на плоскости: «=Х(х, у), у )»(х, у), где Х н У вЂ” компоненты заданного гладкого векторного поля Х (х». Тогда каждое такое векторное поле определяет систему к может быть представлена точкой в банаховом пространсгве В с выбранной надлежащим образом нор.
мой (! Х (.)(!. Ясно, что В бесконечномерно, так кэк ннкакнм конечным набором параметров невозможно полностью задать векторное поле. Вообще говоря, мы будем предполагать, что пространство снстем является по меньшей мере метрическим. Тогда если расстояние «((Хх, Хэ) между двумя системами мало, то можно считать, что одна иэ ннх получается иэ другой при помощи малого возмущения. Мы даже будем обычно предполагать, что пространство систем является нормированным, так что «((Х„Х») !Хх — Хэ(!.
ТСВ. ОТСУТСТВИЕ МЕРЫ ЛЕЕЕГА В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ГИЛЬВЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Если система описывается конечным набором параметров аы ..„«хв, распределенных в й согласно некоторому непрерывному вероятностному закону, н если некоторое свойство снстемы имеет место во всем Й», за исключением множества лебеговой меры нуль, то мы говорим, что оно выполняется для почтя всех систем илн чта вероятность того, что она не проявится, равна нулю. Если и †» а», так чта при этом Яв заменяется бесконечномерным гильбертовым пространством, то, как было показано в $ 13.11 тома 1, нельзя определить меру Лебега для предельного пространства; следовательно, вероятностные утверждения приведенного выше типа теряют силу.
(Нелебеговы вероятностные меры обсуждаются в раза. 31.3 в конце этого приложения.) РБВ. ТИПИЧНЫЕ СВОЯСТВА СИСТЕМ В любом пространстве систем независимо от того, определена в нем лебегава мера илн нет, но в предположении, что оно является по крайней мере топо- логическим, можно определить, что означают типичные и нетипичные свойства систем. Это часто делается с таким расчетом, чтобы нетипичными свойствами можно было пренебречь в некоторых отношениях. Подмножество пространства называется баров«хим множеством, если оно является пересечением счетного чнсла плотных открытых подмножеств.
Дополнение баронского множества называется тощим множеством; оно представляет собой объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств. Свойство системы называется глиличным, если оно выполняется на баронском множестве пространства систем. Свойство называется нгтиличн»»м, еслн оно выполняется на тощем множестве.
Заметим, что «нетнпичность» не означает простое отрицание «типичности», так как множество может оказаться нн бэровсннм, нн тощим, например палупрастранство х, > О в й». Теорема Бэрг о категориях утверждает, что баронское множество плотно в полном метрическом пространстве, но й тощее множество также может быть плотным; следовательно, различне не основывается на плотности. Более того, в случае канечномерного пространства баронское множество может нметь лебегову меру нуль; следовательно, различие не основывается также н на мере (см.
ниже равд. 3!.Ж). Если свойство а типично, то отрицание а — нетнпичное свойство; если свойства а н Ь типичны, то типично и свойство «а н Ь». Два противоположных свойства не могут одновременно быть типичными. ГА АА ранняя стадия турбулентности 31.Г. СИЛЬНАЯ ТИПИЧНОСТЬ. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ Мы ае будем пркводнть физической интерпретации типичности, за исключением следующего специального случая. Свойство называется сильна типичным, если оно имеет место на плотном открытом множестве пространства систем, т. е. не только нз счетном пересечении таких множеств. (Заметим, между прочим, что пересечение конечного числа плотных открытых множеств снова будет плотным открытым множеством.) Если свойство сильно типично, если Х вЂ” лю. бая система и если е,— любое положительное число, то при помощи возмущении системы Х, по норме не превосходящего е,, можно получить систему У (3 'г' — Х [[чС е,), которая обладает этим свойством.
Более того, тогда найдется такое другое положительное число еэ (< ед), что система сохрэнит это свойство при любом произвольном дополнительном возмущении, не превосходящем по норме ез. Ничего нельзя сказать о том, наскально трудным мажет оказаться поиск первого зоамущення. (Могут также существовать возмущения системы Х, по норме не превосходящие ех, которые не приводят к системе с нужным свойством.) Однако все достаточно тщательно подобранные системы обладают этим свойством; следовательно, такое свойство не может быть отнесено к числу тех, которые не могут проявиться на практике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
